18.1矩形（5知识点+14题型+过关检测）【同步课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

18.1矩形 （5知识点+14题型+过关检测） 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 3 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 4 【题型4 根据矩形的性质求面积】 5 【题型5 利用矩形的性质证明】 6 【题型6 在坐标系中的矩形】 8 【题型7 矩形与折叠问题】 9 【题型8 矩形的判定定理理解】 11 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 12 【题型10 证明四边形是矩形】 13 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 14 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 15 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 17 【题型14 斜边的中线等于斜边的一半】 18 1. 概念认知：理解矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，厘清矩形与平行四边形的包含关系，掌握矩形的图形特征与对称性。 2. 性质掌握：熟练掌握矩形专属性质，区分平行四边形通用性质与矩形特殊性质；掌握直角三角形斜边上的中线核心定理及适用条件。 3. 判定应用：熟记矩形三种判定方法，能根据已知条件灵活选择定义法、角判定、对角线判定，完成矩形的证明与判定。 4. 解题能力：能利用矩形性质求解角度、线段长度、图形面积；熟练解决矩形折叠、坐标系矩形、几何证明等高频题型。 5. 综合应用：结合直角三角形性质、全等三角形、坐标系知识，解决矩形综合计算题与证明题，掌握题型通用解题思路。03 知识•梳理 知识点1. 矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 关键解读：矩形首先是平行四边形，具备平行四边形所有性质，额外增加“一个直角”的特殊条件，是特殊的平行四边形。 知识点2. 矩形的性质（必考） ① 继承平行四边形所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。 ② 矩形专属特殊性质 · 角的性质：矩形的四个角都是90°（直角）。 · 对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分（平行四边形仅平分、不相等）。 · 对称性：矩形是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）；同时是中心对称图形，对称中心为对角线交点。 知识点3. 矩形的三大判定定理 · 判定1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（最常用、万能判定） · 判定2（角判定）：有三个角是直角的四边形是矩形。（无需先证平行四边形） · 判定3（对角线判定）：对角线相等的平行四边形是矩形。（必须先满足是平行四边形） 知识点4. 重要推论：直角三角形斜边中线定理（重难点） 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何结论：Rt△中，斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形。 适用场景：所有直角三角形求边长、证线段相等、求角度题型，是矩形衍生核心考点。 知识点5. 矩形周长与面积公式 · 周长：（a、b为矩形长和宽） · 面积：（长×宽） 易错核心辨析 · 对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是平行四边形+对角线相等才是矩形。 · 矩形对角线互相平分且相等，但不垂直（正方形除外）。 · 矩形四个角都是直角，因此矩形中所有三角形均为直角三角形或等腰三角形。 04 题型•讲练 【题型1 矩形性质理解】 解题技巧 1. 解题核心：牢记“平行四边形性质+两大专属性质”双重体系，不混淆通用性质与特殊性质。 2. 正误秒杀：看到“矩形对角线互相垂直”直接错；看到“矩形四个角相等、对角线相等”直接对。 3. 核心口诀：对边平行且相等，四角直角全相等，对角线平分又相等，两条对称轴最稳定。 【典例1】．关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 【变式1】．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【变式3】．如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（   ） A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形 B．矩形绕点旋转后，能与自身重合 C．对角线、是矩形的对称轴 D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形 【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题技巧 1. 基础依据：矩形四角均为90°，对角线相等平分，可构造等腰三角形、直角三角形。 2. 通用步骤：①利用直角拆分角度；②由对角线相等得等腰三角形，底角相等；③结合三角形内角和、对顶角、余角计算。 3. 高频结论：矩形对角线夹角为60°/120°时，必出现等边三角形，可直接套用角度结论。 【典例2】．如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 【变式3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题技巧 1. 核心思路：对边相等、对角线相等且平分，拆分线段进行等量代换。 2. 常用方法：对角线一半相等、直角三角形勾股定理、斜边中线定理三线结合求解。 3. 秒杀技巧：矩形对角线交点平分对角线，故，快速转化线段长度。 【典例3】．在矩形中，，平分交边于点，，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 【变式1】．如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在矩形中，，，P是边上任意一点，于点E，于点F，则的值为_____． 【变式3】．如图，在矩形中，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题技巧 1. 基础公式法：已知长宽直接用 。 2. 间接求解法：通过勾股定理、线段关系求出长宽，再代入公式；对角线可拆分矩形为四个等面积三角形。 3. 面积规律：矩形对角线分成的四个三角形面积全部相等，均为矩形面积的。 【典例4】．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【变式2】．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【变式3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题技巧 1. 证明线段相等：优先用矩形对边相等、对角线平分相等、等腰三角形边长相等。 2. 证明角相等/垂直：利用矩形直角、等腰三角形底角相等、直角三角形余角互余推导。 3. 标准答题模板：先证四边形为矩形→列出矩形性质→等量代换→得出结论。 【典例5】．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【变式1】．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【变式2】．如图，矩形中，E是边上的一点，连接，且． (1)求证：平分； (2)若，求边的长． 【变式3】．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 【题型6 在坐标系中的矩形】 解题技巧 1. 坐标核心规律：矩形邻边分别平行于x轴、y轴，水平边纵坐标相同，竖直边横坐标相同。 2. 边长求法：水平边长=横坐标差值，竖直边长=纵坐标差值。 3. 对角线特征：矩形对角线中点坐标相同，对角线长度可用平面两点距离公式求解。 4. 解题步骤：定顶点坐标→求长宽→算周长面积→结合动点规律求解动态问题。 【典例6】．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【变式1】．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【变式3】．如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为____________，点C的坐标为______，则点D的坐标为____． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题技巧 1. 核心本质：折叠为轴对称变换，折叠前后边角完全相等，折痕为对称轴。 2. 万能解题法：设未知数→利用折叠相等标注边角→结合矩形直角+勾股定理列方程求解。 3. 高频结论：矩形折叠常出现等腰三角形、全等三角形，角度多为30°、45°、60°、90°特殊角。 4. 易错提醒：折叠后线段重叠部分长度需用总长相减，不可直接默认边长不变。 【典例7】．如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点C与点A重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合，此时与的比是_________． 【变式2】．在矩形纸片中，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，和相交于点，求的长； (2)图①中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)如图②将矩形纸片折叠，使与重合，求折痕的长． 【变式3】．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点落在点处，如图（1），连接．设与相交于点，证明； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，如图（2），使点与点重合，折痕为，则：________，________； (4)将图（2）中的矩形放在平面直角坐标系中，如图（3）所示，点与原点重合，落在轴上，落在轴上，点在直线上，在直线上存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点的坐标： ． 【题型8 矩形的判定定理理解】 解题技巧 1. 三大判定精准区分：已知平行四边形优先用“一个直角”或“对角线相等”；普通四边形优先用“三个直角”。 2. 易错陷阱：①对角线相等的四边形≠矩形；②有一个直角的四边形≠矩形；必须满足对应前提条件。 3. 判定口诀：平行加直角、平行加等对角线、四边三角直，三者皆可判矩形。 【典例8】．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 【变式1】．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【变式2】．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【变式3】．当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 解题技巧 1. 已知是平行四边形：可添条件：①有一个角为90°；②对角线相等。 2. 已知是普通四边形：可添条件：三个内角为直角；或先证平行四边形再补直角/等对角线。 最优答题技巧：填空题优先写“对角线相等”或“∠A=90°”，简洁且百分百得分。【典例9】．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，平行四边形，要使四边形为矩形，需添加一个条件为________．（只需填一个你认为正确的条件即可）． 【变式3】．如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【题型10 证明四边形是矩形】 解题技巧 1. 方法一（最快）：先证平行四边形→再证一个直角/对角线相等。适合绝大多数大题。 2. 方法二（直接法）：直接证明四边形有三个内角是直角，无需证平行。 3. 得分关键：严格区分判定前提，步骤完整，不跳步、不混用判定条件。 【典例10】．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，求的面积． 【变式1】．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【变式2】．如图，是的中线，，且，连接，． (1)求证：； (2)当满足条件 时，四边形是矩形． 【变式3】．已知：如图，，，垂足为D，是的外角的平分线，，垂足为E．求证：四边形是矩形． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题技巧 1. 解题流程：先判定图形为矩形→套用矩形直角、对角线性质→结合三角形、平行线性质求角度。 2. 核心思路：先定性、后定量，判定矩形是解题前提，性质应用是解题核心。 3. 常用推导：利用矩形等腰三角形模型，等边对等角，快速换算角度。 【典例11】．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    【变式3】．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题技巧 1. 解题步骤：①证明四边形是矩形；②得到对边相等、对角线相等平分；③结合勾股定理、斜边中线定理求线段。 2. 高频组合：矩形判定+勾股定理+斜边中线，是期末必考综合模型。 3. 简化技巧：判定矩形后，直接利用对角线互相平分且相等，快速转化未知线段。 【典例12】．学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，信息如下： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图甲）； ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为7米（如图乙）．设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 【变式2】．如图，在直角梯形中，，，，则梯形的周长为______． 【变式3】．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题技巧 1. 通用思路：先证矩形→求出长和宽→代入面积公式求解。 2. 不规则面积：利用矩形面积加减三角形面积、折叠重叠面积，求解阴影面积。 3. 秒杀结论：矩形内任意过中心的直线，均可将矩形分成面积相等的两部分。 【典例13】．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【变式2】．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【变式3】．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 【题型14 斜边的中线等于斜边的一半】 解题技巧 1. 定理适用条件：必须是直角三角形，非直角三角形不成立。 2. 核心公式：若Rt△斜边为c，斜中线为m，则：。 3. 两大推论：①斜中线将Rt△分为两个等腰三角形；②若三角形一边中线等于该边一半，此三角形为直角三角形（逆定理可判直角）。 4. 解题场景：矩形对角线题型、直角三角形求边长、角度证明、动点几何高频使用。 【典例14】．如图，在四边形中，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值为（） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 【变式2】．如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为____km． 【变式3】．阅读材料：若一个三角形中有两个内角成倍数关系，则该三角形具有特殊性质．在三角形中，若一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，我们称这样的三角形为2倍角三角形．小德同学通过作辅助线探究其相关性质，并进行如下证明． 在上取一点E，使，连接， ，，，， ，，， ，，即 请根据小德发现的规律，解决下列问题： (1)如图1，已知：在中，，，，，_____________ (2)如图2，已知：在中，，，E为的中点，若，求的长． (3)如图3，在平行四边形中，对角线、相交于点O，于点H，交于点P，，，，求的面积． 05 过关•检测 1．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边在轴上，点在轴正半轴上，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为(    ) A．39 B．40 C．41 D．42 5．如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 6．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．在六边形中，，，，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则六边形为正六边形 D．若垂直平分，则四边形为矩形 8．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 11．如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    12．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    13．如图，在矩形中，，，，，，分别在边，，，上（不与、、、重合）．则四边形周长的最小值为________． 14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法一定正确的是_______． ① ② ③ ④    15．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 16．在学习了矩形的相关知识后，甲同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线上一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形，它们面积相等． 根据甲同学的发现，完成以下作图和填空： (1)如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过D作于点F．请用尺规过点B作的垂线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：矩形，于点F，于点G．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，______① ∴． ∵______②，， ∴， ．∴． 在和中，， ∴． ∴______③． 而，______④． ∴． 17．如图，矩形的对角线与交于点，点是的一点，，延长至点，使交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求和的长度． 18．综合与实践：矩形中的折叠探究 【活动背景】 数学活动课上，同学们以矩形纸片为载体开展折纸探究，在动手操作中感悟图形性质，发展几何直观与推理能力． 【动手操作】 如图1，将矩形纸片对折，与重合，展平后得到折痕，再次折叠纸片使点B落在上．并使折痕经过点C，得到折痕，点B、F的对应点分别为、，展平纸片，连接、、． 【观察猜想】 (1)观察的边与角，猜想的形状为：_____； (2)观察图中，直接写出它们的数量关系：_____； (3)【推理论证】 证明（1）中形状的猜想，并以此证明（2）中的数量关系； (4)【拓展应用】 如图2，矩形纸片中，，点是边上的任意点，折叠纸片，使点落在边的点处，并且折痕经过点，交于点，把纸片展平，若，试求线段的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． (1)如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； (2)已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 20．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在四边形ABCD中，，，点E是边BC上一点，且，连接AE，将四边形ABCD沿直线AE折叠，点B落在点F处，延长EF交AD于点G． 数学思考： (1)猜想AG与EG的数量关系，并说明理由． 初步探究： (2)勤思小组在图1的基础上，将绕点A逆时针旋转得到点F，G的对应点分别是，，连接． ①如图2，若点恰好落在边AD边上，连接并延长，交于点H，求证：； ②在旋转的过程中，当直线经过点D时，请直接写出线段的值． 21．如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 22．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 23．如图，点E是矩形的对角线上的一点，且，，，点P为直线上的一点，且于点于点．如图①，当点为线段中点时，易证得 (1)如图②，当点P为线段上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其他条件不变，则是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图（3），当点P为线段延长线上的任意一点时，其他条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1矩形 （5知识点+14题型+过关检测） 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 4 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 7 【题型4 根据矩形的性质求面积】 10 【题型5 利用矩形的性质证明】 13 【题型6 在坐标系中的矩形】 20 【题型7 矩形与折叠问题】 24 【题型8 矩形的判定定理理解】 33 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 35 【题型10 证明四边形是矩形】 37 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 41 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 46 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 49 【题型14 斜边的中线等于斜边的一半】 55 1. 概念认知：理解矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，厘清矩形与平行四边形的包含关系，掌握矩形的图形特征与对称性。 2. 性质掌握：熟练掌握矩形专属性质，区分平行四边形通用性质与矩形特殊性质；掌握直角三角形斜边上的中线核心定理及适用条件。 3. 判定应用：熟记矩形三种判定方法，能根据已知条件灵活选择定义法、角判定、对角线判定，完成矩形的证明与判定。 4. 解题能力：能利用矩形性质求解角度、线段长度、图形面积；熟练解决矩形折叠、坐标系矩形、几何证明等高频题型。 5. 综合应用：结合直角三角形性质、全等三角形、坐标系知识，解决矩形综合计算题与证明题，掌握题型通用解题思路。03 知识•梳理 知识点1. 矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 关键解读：矩形首先是平行四边形，具备平行四边形所有性质，额外增加“一个直角”的特殊条件，是特殊的平行四边形。 知识点2. 矩形的性质（必考） ① 继承平行四边形所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。 ② 矩形专属特殊性质 · 角的性质：矩形的四个角都是90°（直角）。 · 对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分（平行四边形仅平分、不相等）。 · 对称性：矩形是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线）；同时是中心对称图形，对称中心为对角线交点。 知识点3. 矩形的三大判定定理 · 判定1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（最常用、万能判定） · 判定2（角判定）：有三个角是直角的四边形是矩形。（无需先证平行四边形） · 判定3（对角线判定）：对角线相等的平行四边形是矩形。（必须先满足是平行四边形） 知识点4. 重要推论：直角三角形斜边中线定理（重难点） 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何结论：Rt△中，斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形。 适用场景：所有直角三角形求边长、证线段相等、求角度题型，是矩形衍生核心考点。 知识点5. 矩形周长与面积公式 · 周长：（a、b为矩形长和宽） · 面积：（长×宽） 易错核心辨析 · 对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是平行四边形+对角线相等才是矩形。 · 矩形对角线互相平分且相等，但不垂直（正方形除外）。 · 矩形四个角都是直角，因此矩形中所有三角形均为直角三角形或等腰三角形。 04 题型•讲练 【题型1 矩形性质理解】 解题技巧 1. 解题核心：牢记“平行四边形性质+两大专属性质”双重体系，不混淆通用性质与特殊性质。 2. 正误秒杀：看到“矩形对角线互相垂直”直接错；看到“矩形四个角相等、对角线相等”直接对。 3. 核心口诀：对边平行且相等，四角直角全相等，对角线平分又相等，两条对称轴最稳定。 【典例1】．关于矩形的性质，下列说法不一定正确的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．四个角都相等 【答案】A 【详解】解：矩形的对边相等，对角线相等，四个角都相等，但对角线不一定互相垂直． 【变式1】．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 【变式2】．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，额外具有四个角为直角，对角线相等的特有性质， ∴选项B，C，D中的性质都是矩形和一般平行四边形共有的，只有选项A的对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质. 【变式3】．如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（   ） A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形 B．矩形绕点旋转后，能与自身重合 C．对角线、是矩形的对称轴 D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形 【答案】D 【详解】A、在矩形中，， 两条对角线把矩形分割成四个等腰三角形，故A错误； B、矩形绕点旋转后，能与自身重合，故B错误； C、对角线、不是矩形的对称轴，故C错误； D、将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形，故D正确； 故选：D． 【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题技巧 1. 基础依据：矩形四角均为90°，对角线相等平分，可构造等腰三角形、直角三角形。 2. 通用步骤：①利用直角拆分角度；②由对角线相等得等腰三角形，底角相等；③结合三角形内角和、对顶角、余角计算。 3. 高频结论：矩形对角线夹角为60°/120°时，必出现等边三角形，可直接套用角度结论。 【典例2】．如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 【变式2】．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出及，结合已知条件求出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数；由利用等腰三角形性质求出的度数，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题技巧 1. 核心思路：对边相等、对角线相等且平分，拆分线段进行等量代换。 2. 常用方法：对角线一半相等、直角三角形勾股定理、斜边中线定理三线结合求解。 3. 秒杀技巧：矩形对角线交点平分对角线，故，快速转化线段长度。 【典例3】．在矩形中，，平分交边于点，，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【分析】先求出，再求出，则可得，进而得出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得对角线互相平分且相等，从而得到，结合可判定是等边三角形，进而求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在矩形中，，，P是边上任意一点，于点E，于点F，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 设对角线、相交于点，连接，利用矩形的性质结合勾股定理可得，进而可得，求解可得的值． 【详解】解：设对角线、相交于点，连接， 四边形是矩形， 、、、， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 、， ， ， ， ． 【变式3】．如图，在矩形中，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______． 【答案】3 【分析】先根据矩形性质求出的长度，再利用三角形中位线定理，结合、是中点，得出与的数量关系，进而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，， ． ，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， ． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题技巧 1. 基础公式法：已知长宽直接用 。 2. 间接求解法：通过勾股定理、线段关系求出长宽，再代入公式；对角线可拆分矩形为四个等面积三角形。 3. 面积规律：矩形对角线分成的四个三角形面积全部相等，均为矩形面积的。 【典例4】．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据中位线的性质得，根据即可求解． 【详解】解：∵点、分别是的中点， ∴， 由题意可得：， ∴． 【变式2】．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【答案】 【分析】作于M，交于N，根据矩形的性质可得 即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ∴ 【变式3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题技巧 1. 证明线段相等：优先用矩形对边相等、对角线平分相等、等腰三角形边长相等。 2. 证明角相等/垂直：利用矩形直角、等腰三角形底角相等、直角三角形余角互余推导。 3. 标准答题模板：先证四边形为矩形→列出矩形性质→等量代换→得出结论。 【典例5】．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 【变式1】．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 【变式2】．如图，矩形中，E是边上的一点，连接，且． (1)求证：平分； (2)若，求边的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得，进而得出，再根据“等边对等角”得，然后说明，则此题可解； （2）先根据矩形的性质得，再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 【变式3】．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）矩形中，可得，，则，进而证明，由，即可证明； （2）由，可得，，可得，证明，从而可得结论； （3）连接，证明四边形是矩形，可得，求解，分为当点E，F相遇前，当点E，F相遇后，逐步分析解答即可； 【详解】（1）证明：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， 解得； 如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得， 综上所述，四边形为矩形时，或； 【题型6 在坐标系中的矩形】 解题技巧 1. 坐标核心规律：矩形邻边分别平行于x轴、y轴，水平边纵坐标相同，竖直边横坐标相同。 2. 边长求法：水平边长=横坐标差值，竖直边长=纵坐标差值。 3. 对角线特征：矩形对角线中点坐标相同，对角线长度可用平面两点距离公式求解。 4. 解题步骤：定顶点坐标→求长宽→算周长面积→结合动点规律求解动态问题。 【典例6】．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或， 设，则，； ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又， ， ， 解得：或， 或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ． 综上，或或． 【变式1】．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 【变式2】．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【变式3】．如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为____________，点C的坐标为______，则点D的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，轴对称和中心对称图形的性质．根据轴对称和中心对称的性质，得出对称点的坐标关系是解答本题的关键．根据题意，可知A、B两点关于x轴对称，B、D两点关于原点O对称，B、C两点关于y轴对称，然后由轴对称的性质求出A、C、D三点的坐标． 【详解】解：长方形的两条对称轴作为x轴，y轴． 、B两点关于x轴对称，，，则点A坐标为； B、C两点关于y轴对称，，，则点C坐标为； B、D两点关于原点O对称，，，则点D坐标为； 故答案为：；；． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题技巧 1. 核心本质：折叠为轴对称变换，折叠前后边角完全相等，折痕为对称轴。 2. 万能解题法：设未知数→利用折叠相等标注边角→结合矩形直角+勾股定理列方程求解。 3. 高频结论：矩形折叠常出现等腰三角形、全等三角形，角度多为30°、45°、60°、90°特殊角。 4. 易错提醒：折叠后线段重叠部分长度需用总长相减，不可直接默认边长不变。 【典例7】．如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点C与点A重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式1】．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合，此时与的比是_________． 【答案】 【分析】设纸的边长为a，利用矩形的边长关系和折叠性质，推导第二次折叠后各线段的表达式．因为要求与的比，所以需要用设定的参数表示出的长度，再通过比例运算得出结果，可能用到勾股定理建立线段间的等量关系． 【详解】设矩形中，， 第一次折叠后点B落在上的处，，且， ∴四边形是正方形， ∴． 第二次折叠后点E与D重合，， ∴， ∴． 设， 则， ∴． 在中，， ∴ ， 代入得 ， 展开整理得， 解得． ∴ ， ∴． 【变式2】．在矩形纸片中，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，和相交于点，求的长； (2)图①中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)如图②将矩形纸片折叠，使与重合，求折痕的长． 【答案】(1)cm (2)等腰梯形，见解析 (3)cm 【分析】（1）通过折叠的性质，和矩形对边平行的性质，得到，从而得到，再设参数，利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，再通过折叠的性质，和矩形对边相等的性质，得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，先通过折叠的性质，和矩形的性质，确定和互相垂直平分，利用（1）的结论，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质，得， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （2）解：等腰梯形．理由如下： 由折叠性质，得，， 在矩形中，，， ∴，， 由（1），得， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴， 又与不平行， ∴四边形是梯形， 又， ∴四边形是等腰梯形． （3）解：如图，连接，设交于点O，则由折叠的性质，得，，且点O为中点， 在矩形中，， ∴， 又，， ∴， ∴，， 由（1），得， ∴， ∴， 同（1）理，得， 在中，， 解得， ∴． 【变式3】．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点落在点处，如图（1），连接．设与相交于点，证明； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，如图（2），使点与点重合，折痕为，则：________，________； (4)将图（2）中的矩形放在平面直角坐标系中，如图（3）所示，点与原点重合，落在轴上，落在轴上，点在直线上，在直线上存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点的坐标： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰梯形，理由见解析 (3)； (4)或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，则，由折叠的性质可得，因此，命题得证； （2）结合矩形的性质和折叠的性质可得，，．由（1）可知，，则，由结合等腰三角形的性质可得，则，由图可知，与不平行，因此四边形是等腰梯形； （3）连接交于点，设，由折叠的性质可得，，，，则．在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此．使用勾股定理可计算出，，容易证明，则，因此； （4）先根据题意列出各点的坐标，再利用待定系数法求出直线与的解析式．设点， ，分三类讨论，当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质和中点公式可得，求解即可；同理，当或为平行四边形的对角线时，调整一下方程并求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，即， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵，且与不平行， ∴四边形是等腰梯形； （3）解：如图，连接交于点，设， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，设与的交点为， 根据题意，点的坐标为，点的坐标为， 由（2）可知，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为， ①当为平行四边形的对角线时， ∴与互相平分，即中点重合， 根据中点公式，可列方程：， 解得， ∴点的坐标为； ②当为平行四边形的对角线时， 同理， 解得， ∴点的坐标为； ③当为平行四边形的对角线时， 同理， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【题型8 矩形的判定定理理解】 解题技巧 1. 三大判定精准区分：已知平行四边形优先用“一个直角”或“对角线相等”；普通四边形优先用“三个直角”。 2. 易错陷阱：①对角线相等的四边形≠矩形；②有一个直角的四边形≠矩形；必须满足对应前提条件。 3. 判定口诀：平行加直角、平行加等对角线、四边三角直，三者皆可判矩形。 【典例8】．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 【答案】C 【分析】根据平行四边形和矩形的判定规则，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； B：对角相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； C：四边形内角和为，若三个角都为，则第四个角也为，四个角都是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意． 【变式1】．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 【变式2】．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【变式3】．当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形为矩形 【分析】因为闸门抬起变平放时，平行四边形的一个内角变为直角，所以可依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判断． 【详解】解：∵停车场闸门的结构对边始终平行，本身是平行四边形； ∴闸门放平后，平行四边形出现了一个直角，根据矩形的判定定理，此时该平行四边形成为矩形． 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 解题技巧 1. 已知是平行四边形：可添条件：①有一个角为90°；②对角线相等。 2. 已知是普通四边形：可添条件：三个内角为直角；或先证平行四边形再补直角/等对角线。 最优答题技巧：填空题优先写“对角线相等”或“∠A=90°”，简洁且百分百得分。【典例9】．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题．   【详解】解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知选项D正确，  故选：D． 【变式1】．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 【变式2】．已知，平行四边形，要使四边形为矩形，需添加一个条件为________．（只需填一个你认为正确的条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定定理：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形填空即可． 【详解】解：①根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可填或或或， ②根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可填． 【变式3】．如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，进而可得． 【详解】解：绕着点旋转得到， 、， 四边形是平行四边形， 当时，， ， 即， 平行四边形是矩形， 因此，添加的条件可以是． 【题型10 证明四边形是矩形】 解题技巧 1. 方法一（最快）：先证平行四边形→再证一个直角/对角线相等。适合绝大多数大题。 2. 方法二（直接法）：直接证明四边形有三个内角是直角，无需证平行。 3. 得分关键：严格区分判定前提，步骤完整，不跳步、不混用判定条件。 【典例10】．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理． （1）通过证明和可得出且，继而证出四边形是平行四边形，又因为，所以四边形为矩形． （2）由（1）可得出的面积与四边形面积相等，．通过过三角形中位线定理可求出的长度，进而求得的面积． 【详解】（1）证明：， ， 点，分别是，的中点， ， 在和中， ， ，， 同理可得， ，， ，， 四边形为矩形． （2）解：点，分别是，的中点， ， 由（1）可得，， ． 【变式1】．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 【变式2】．如图，是的中线，，且，连接，． (1)求证：； (2)当满足条件 时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)(答案不唯一) 【分析】（1）根据中线的性质得，再结合得到四边形是平行四边形，最后由平行四边形的对边相等求解； （2）先证得四边形是平行四边形，再利用是等腰三角形时四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：当满足时，四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ， ， 平行四边形是矩形． 【变式3】．已知：如图，，，垂足为D，是的外角的平分线，，垂足为E．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】已知四边形中已有两个直角，只需要证明有一组对边平行即可，根据等腰三角形的性质，和外角平分线的性质，利用内错角相等两直线平行证明，从而得到另外一个直角，根据判定：有三个直角的四边形是矩形，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 由题意，可知， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题技巧 1. 解题流程：先判定图形为矩形→套用矩形直角、对角线性质→结合三角形、平行线性质求角度。 2. 核心思路：先定性、后定量，判定矩形是解题前提，性质应用是解题核心。 3. 常用推导：利用矩形等腰三角形模型，等边对等角，快速换算角度。 【典例11】．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【变式1】．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式2】．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．    【答案】或或 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式3】．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题技巧 1. 解题步骤：①证明四边形是矩形；②得到对边相等、对角线相等平分；③结合勾股定理、斜边中线定理求线段。 2. 高频组合：矩形判定+勾股定理+斜边中线，是期末必考综合模型。 3. 简化技巧：判定矩形后，直接利用对角线互相平分且相等，快速转化未知线段。 【典例12】．学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，信息如下： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图甲）； ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为7米（如图乙）．设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出米，米，米，，则可得的长，再在中，利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：由题意得：米，米，米，， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴米， ∴在中，，即． 【变式1】．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 【答案】A 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 【变式2】．如图，在直角梯形中，，，，则梯形的周长为______． 【答案】 【分析】作于点，得到四边形是矩形，是等腰直角三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵直角梯形，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴梯形的周长为． 【变式3】．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）先证，再由勾股定理求出，然后由矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ∴． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题技巧 1. 通用思路：先证矩形→求出长和宽→代入面积公式求解。 2. 不规则面积：利用矩形面积加减三角形面积、折叠重叠面积，求解阴影面积。 3. 秒杀结论：矩形内任意过中心的直线，均可将矩形分成面积相等的两部分。 【典例13】．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】过点作，分别交于点，根据矩形的性质得到，，通过证明四边形是矩形，得到，同理可得：四边形、、都是矩形，则有，，，再根据图形面积之间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：四边形、、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式1】．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 【变式2】．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 【变式3】．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，，然后根据角平分线的定义得到， ，进而得到，根据三个角都是直角的四边形是矩形即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，然后根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求出长解答即可； （3）取的中点即可，连接与交于点，根据矩形的对角线互相平分即可得解． 【详解】（1）证明：，是的角平分线， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， ， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：如图所示，连接与交于点，连接，则即为所求． 四边形是矩形， ，即是的中点， 是的中线， 平分面积． 【题型14 斜边的中线等于斜边的一半】 解题技巧 1. 定理适用条件：必须是直角三角形，非直角三角形不成立。 2. 核心公式：若Rt△斜边为c，斜中线为m，则：。 3. 两大推论：①斜中线将Rt△分为两个等腰三角形；②若三角形一边中线等于该边一半，此三角形为直角三角形（逆定理可判直角）。 4. 解题场景：矩形对角线题型、直角三角形求边长、角度证明、动点几何高频使用。 【典例14】．如图，在四边形中，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，再由折叠的性质解答即可． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：． 【变式1】．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值为（） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再由直角三角形斜边上中线的性质得到，由垂线段最短得到当时，取得最小值，也取得最小值，根据的面积求出的最小值，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值． 当时，取得最小值， 此时，即， ∴的最小值为， ∴最小值为． 【变式2】．如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为____km． 【答案】 0.5 【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算即可． 【详解】解： ， ， ∴为直角三角形， 在中，根据勾股定理，得 ， 是的中点 ， ． 【变式3】．阅读材料：若一个三角形中有两个内角成倍数关系，则该三角形具有特殊性质．在三角形中，若一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，我们称这样的三角形为2倍角三角形．小德同学通过作辅助线探究其相关性质，并进行如下证明． 在上取一点E，使，连接， ，，，， ，，， ，，即 请根据小德发现的规律，解决下列问题： (1)如图1，已知：在中，，，，，_____________ (2)如图2，已知：在中，，，E为的中点，若，求的长． (3)如图3，在平行四边形中，对角线、相交于点O，于点H，交于点P，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据题意得，，再由勾股定理求解即可； （2）根据题意得：，得出，，即可求解； （3）根据平行四边形得出，满足题中条件，确定，设，则，结合图形得出，，取的中点E，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得出，再由等角对等边得出即，确定，结合图形利用勾股定理及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴根据题意得：，， ∴； （2）根据题意得：， ∴ ∵E为的中点， ∴， ∴； （3）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 取的中点E，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 05 过关•检测 1．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的边长和甲乙的速度，计算出两人每次相遇时甲所走的路程，进而确定相遇点的坐标，找出相遇点坐标的变化规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：由图可知，矩形的长为，宽为， 故矩形的周长为， 因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为， 由题意知：第一次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是； 第二次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是； 第三次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在点相遇，相遇地点的坐标是；⋯， 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ， 故两个物体运动后的第2026次相遇地点与第一次相遇的地点重合，此时相遇点的坐标为：． 2．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边在轴上，点在轴正半轴上，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形为矩形，可求得，再推出，求得即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，， 四边形为矩形， ，， 正六边形， ，， ， ，， ， ． 4．如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为(    ) A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】根据题意可得必过矩形的对角线交点，连接，交于点，取的中点，的中点，连接，，过点作于，设与的交点为，根据三角形中位线定理可得，，，，再由勾股定理可得的长，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：过点的一条直线平分该组合图形的面积， 必过矩形的对角线交点， 连接，交于点，取的中点，的中点，连接，，过点作于，设与的交点为， 四边形是矩形， ， 又点是的中点， ，， ， 同理：，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 5．如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 6．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出①正确； ②求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确； ③求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出③正确； ④利用全等三角形的性质得到，利用矩形的性质和证明，证明得到，然后结合，可得，判断出④正确； ⑤判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误． 【详解】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵在矩形中，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以④正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故⑤错误； 综上所述：结论正确的是①②③④，共4个． 7．在六边形中，，，，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则六边形为正六边形 D．若垂直平分，则四边形为矩形 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，正六边形的定义，线段垂直平分线的性质对题目进行分析，再对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：由， ， ，即， ∵，， ∴， ∴选项A正确； 由得，， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴选项B正确； 若，则，但不能满足六边形的内角都相等， ∴选项C错误： 若垂直平分，则， ∴， ∵． ∴． ∴， ∴四边形为矩形，∴． ∴四边形为矩形， ∴选项D正确． 8．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且， ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 综上，正确的有①③，共2个． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 11．如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    【答案】 【分析】根据折叠的性质，结合线段垂直平分线的性质得出，可得当点与点重合时，取最大值，取最小值，则，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，    ∵将矩形纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为， ∴是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，取最小值， ∵当点与点重合时，取最大值， ∴当点与点重合时，取最大值，取最小值， 设则， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 12．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 13．如图，在矩形中，，，，，，分别在边，，，上（不与、、、重合）．则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【分析】如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接、、、、、，根据矩形的性质及垂直平分线的性质得，，，证明四边形是矩形得，根据勾股定理得，根据两点之间线段最短得，可得答案． 【详解】解：如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交的延长线于点，在的延长线取点，使，连接、、、、、， ∴，垂直平分， ∴， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴，， ， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴的最小值为的长，最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法一定正确的是_______． ① ② ③ ④    【答案】①②③ 【分析】本题考查矩形的性质，由题意可得四边形和四边形均为矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：由矩形的性质可知，①正确； 由题意知，矩形中， ，， 四边形和四边形均为矩形， ，，②正确； ， ，③正确； ，， 现有条件无法得出， ，④错误； 故答案为：①②③． 15．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【答案】 【分析】解题关键是利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得出为等腰三角形，求出的度数，再结合构造的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．在学习了矩形的相关知识后，甲同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线上一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形，它们面积相等． 根据甲同学的发现，完成以下作图和填空： (1)如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过D作于点F．请用尺规过点B作的垂线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：矩形，于点F，于点G．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，______① ∴． ∵______②，， ∴， ．∴． 在和中，， ∴． ∴______③． 而，______④． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）证明，得到，利用面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． ∴． 而，． ∴． 17．如图，矩形的对角线与交于点，点是的一点，，延长至点，使交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求和的长度． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】（1）根据题意得到是的中位线，证明，即可得到结论； （2）证明四边形是矩形，求出，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 又， 是的中位线， ， 又， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． ． 18．综合与实践：矩形中的折叠探究 【活动背景】 数学活动课上，同学们以矩形纸片为载体开展折纸探究，在动手操作中感悟图形性质，发展几何直观与推理能力． 【动手操作】 如图1，将矩形纸片对折，与重合，展平后得到折痕，再次折叠纸片使点B落在上．并使折痕经过点C，得到折痕，点B、F的对应点分别为、，展平纸片，连接、、． 【观察猜想】 (1)观察的边与角，猜想的形状为：_____； (2)观察图中，直接写出它们的数量关系：_____； (3)【推理论证】 证明（1）中形状的猜想，并以此证明（2）中的数量关系； (4)【拓展应用】 如图2，矩形纸片中，，点是边上的任意点，折叠纸片，使点落在边的点处，并且折痕经过点，交于点，把纸片展平，若，试求线段的取值范围． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）（2）根据题意猜想结论即可； （3）由折叠的性质得到，则可证明是等边三角形得到，据此可求出，再证明，得到，据此可证明； （4）求出和点T与点B重合时的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想是等边三角形； （2）解： 根据题意可猜想； （3）证明：由折叠的性质可得， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图3所示，当时，则， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图4所示，当点T与点B重合时，此时， ∴当时，． 19．在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． (1)如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； (2)已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)(1) ① ，；②；③或 (2)且 【分析】(1) ①利用点关于直线的对称公式求出各点对称点，再判断是否在矩形内部或边上． ②先由关联点条件确定的横坐标范围，再对三边两两相等进行分类讨论，求出所有符合条件的点个数． ③以为腰包含和两种情况，分别求出的值． (2) 矩形的边上有且只有个强关联点，即矩形关于直线对称后的图形与原矩形恰有个交点在边上，通过找对称轴过矩形顶点的临界状态确定的范围． 【详解】（1）①解：矩形中，，，，， 直线：， 点关于的对称点为，不在矩形内， 点关于的对称点为，在矩形内部， 点关于的对称点为，在矩形的边上， 点关于的对称点为，不在矩形内， 是矩形关于直线的关联点的是，． ②解：点关于直线的对称点为， ， 点是矩形关于直线的关联点， 点在矩形的内部或边上， ，即， 点的横坐标满足，纵坐标为， 是等腰三角形，，， 当时，， ， 或（舍去）， 此时，符合题意， 当时，， ， （舍去）或， 此时，符合题意， 当时，， ， ， ， 此时，符合题意， 符合条件的点有个． ③解：由②知，当时，， 与关于直线对称， ， 当时，， 与关于直线对称， ， 的值为或． （2）解：矩形的顶点为，，，， 对称轴为直线， 当直线过点时， ， ， 当直线过点和时， ， ， 当直线过点时， ， ， 当时，直线与边重合，此时矩形的边上所有点都是强关联点，不符合题意， 的取值范围为且． 【点睛】新定义题首先要"翻译"定义，把对称关系用坐标公式表达出来；其次要建立参数范围，通过分类讨论或临界分析确定满足条件的参数区间；最后要注意检验边界情况，排除导致个数发生突变的特殊值． 20．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在四边形ABCD中，，，点E是边BC上一点，且，连接AE，将四边形ABCD沿直线AE折叠，点B落在点F处，延长EF交AD于点G． 数学思考： (1)猜想AG与EG的数量关系，并说明理由． 初步探究： (2)勤思小组在图1的基础上，将绕点A逆时针旋转得到点F，G的对应点分别是，，连接． ①如图2，若点恰好落在边AD边上，连接并延长，交于点H，求证：； ②在旋转的过程中，当直线经过点D时，请直接写出线段的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由折叠的性质可知，由矩形的性质可知，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可得； （2）①由旋转的性质可知，，，根据三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证，根据等角的余角相等，可证，根据等角对等边可证，等量代换可证结论成立； ②过点作，利用旋转的性质和勾股定理可以求出的长度，再根据和的位置关系，分情况求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下： 由折叠可知， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）①证明：四边形是矩形， ， 由折叠可知， 由旋转可知， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：如下图所示，过点作， 四边形是矩形， ，， ， ， 设， ， ， ， 整理可得：， 解得：， ， 由折叠可知，，， ，， ， ； 如下图所示， ，，， ， ， ； 综上所述，或． 21．如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的定义得到四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵过点E作于点H， ∴ ∴ 22．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 23．如图，点E是矩形的对角线上的一点，且，，，点P为直线上的一点，且于点于点．如图①，当点为线段中点时，易证得 (1)如图②，当点P为线段上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其他条件不变，则是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图（3），当点P为线段延长线上的任意一点时，其他条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)结论仍成立，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点．先由矩形的性质及勾股定理求出的长，再由三角形面积求出的长，然后通过等量代换即可求解； （2）仿照（1）的解法可得． 【详解】（1）解：结论仍成立． 证明：如图，连接，过点作于点． ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 且， ． ， ， ， ； （2）解：图（3）中的结论是．理由如下： 过作交于，连接， ， 即， ， ， 所以图3中的结论是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $