第26章 反比例函数（知识清单，5知识4易错3重难）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第26章 反比例函数 知识点01反比例函数的概念 1.定义：形如________（ ___ 0，常数）的函数叫反比例函数，自变量 ___ 0，函数值 ___ 0。 2.反比例函数三种等价形式：________、________、________。 3.判断反比例函数的关键：、的乘积为________。 知识点02反比例函数的图象与性质 1.反比例函数图象是________，图象与坐标轴________交点，关于________对称。 2.当时，图象分布在___、___象限，每个象限内随增大而___； 3.当时，图象分布在___、___象限，每个象限内随增大而___。 知识点03反比例函数解析式的确定 1.求反比例函数解析式的方法：________； 2.通用解题步骤：____→____→____→____。 知识点04比例系数k的几何意义 1.双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积：________； 2.该点与原点连线形成的三角形面积：________。 知识点05反比例函数综合应用 1.反比例函数与一次函数结合：联立解析式求________，利用________求解图形面积； 2.实际应用解题时，除列函数关系式，还需要明确________。 易错点1：忽略增减性前提“每个象限内”（最高频易错） 错误例题：反比例函数，因为，所以随增大而减小。 错因分析：未牢记增减性限制条件，跨象限不满足增减规律。 正确解析：必须强调在每一个象限内；若取，，可得，，，但，跨象限y不随x增大而减小。 易错点2：求解参数时忽略前提 错误例题：若是反比例函数，求m的值。解：，解得。 错因分析：遗漏比例系数不能为0的条件。 正确解析：需同时满足两个条件：①次数；②系数，最终解得。 易错点3：概念混淆，误判反比例函数 错误例题：判定为反比例函数。 错因分析：对反比例函数定义理解模糊。 正确解析：反比例函数分母只能是单纯自变量，该函数分母为，属于分式函数，不是反比例函数。 易错点4：k的几何意义遗漏绝对值 错误例题：函数图象上一点，作坐标轴垂线，围成矩形面积为-3。 错因分析：面积为非负数，忽略绝对值。 正确解析：几何面积公式为，该矩形面积。 重难点1：反比例函数性质应用——函数值大小比较 通用解题方法 1.定象限：根据k的符号，判断各点所在象限； 2.分正负：一、三象限函数值为正，二、四象限函数值为负，正数永远大于负数； 3.判增减：同一象限内，利用函数增减性比较大小。 1．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知点和点在反比例函数的图像上，如果，那么__________．（填“>”、“=”、“<”） 3．已知点，，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，，的大小关系用“”连接为______． 4．已知反比例函数()的图像经过点，那么在每一象限内随着的增大而____．（填“增大”或“减小”）． 5．已知反比例函数的图像上有两点，如果时，那么___________．（填“”或“”） 6．若点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，其中，则_______．（填“”“”或“”） 重难点2：k的几何意义——面积求k值 解题技巧 1.熟记基础模型：矩形面积，直角三角形面积； 2.不规则图形：采用割补法，拆分、拼接为规则矩形、三角形； 3.判断符号：根据图象所在象限，确定k的正负。 7．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，矩形与矩形的位置如图所示，点、在轴上，点、在轴上，反比例函数的图象经过点，若，则空白部分的面积的值为_____． 9．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 10．如图，点在反比例函数（）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则______． 11．如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于________． 12．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 _____． 14．如图，直线y＝x与双曲线y＝平交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y＝交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝_________． 15．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，在第一象限内与反比例函数图像交于点，垂直于轴，垂足为点，且，设点是该反比例函数图像上一点，若的面积是6，求点的坐标． 16．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C． (1)求a、k的值； (2)连接，如果，求的面积． 17．如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数的图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 重难点3：反比例与一次函数综合压轴 解题步骤 1.求交点：联立一次函数、反比例函数解析式，解二元方程组； 2.算面积：找出直线与坐标轴交点，分割三角形，分段计算面积求和； 3.比大小：观察图象，直线在双曲线上方则一次函数值大，反之则小，分区间书写取值范围。 18．定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线与双曲线交于点A、B两点．那么双曲线关于直线的割距是______________ 19．已知正比例函数和反比例函数的图象有两个交点，如果其中一个交点的横坐标为1，求a及两个交点的坐标． 20．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 21．如图，已知在平面直角坐标系中，直线和双曲线都经过点和点B． （1）求线段AB的长； （2）如果点P在y轴上，点Q在此双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出P、Q的坐标． 22．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．点C为函数的图像上一点，过点C作轴，交反比例函数的图像于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点C的坐标； (3)如果，求点D的坐标． 23．已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上． (1)求k的值； (2)如果将绕的中点旋转得到． ①请直接写出点P的坐标； ②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 反比例函数 知识点01反比例函数的概念 1.定义：一般地，形如 （ 是常数，）的函数，叫做反比例函数。其中为比例系数，自变量取值范围：，函数值取值范围：。 2.三种等价形式 分式形式： 乘积形式：（积定不变，判断核心） 负指数形式： 3.判断依据：关系式可化为标准形式，且自变量次数为-1，比例系数。 知识点02反比例函数的图象与性质 1.图象特征：图象为双曲线，由两支曲线组成；无限靠近坐标轴，永远不与坐标轴相交；图象关于原点中心对称，同时关于直线、轴对称。 2.函数性质对照表 k的符号 图象分布象限 增减性（限定单个象限内） 图象特征 第一、三象限 y随x的增大而减小 双曲线从左向右下降 第二、四象限 y随x的增大而增大 双曲线从左向右上升 知识点03反比例函数解析式的确定 1.常用方法：待定系数法（必考基础方法） 2.解题步骤 一设：设反比例函数解析式； 二代：将函数图象上已知点坐标代入解析式； 三求：解方程求出比例系数的值； 四写：回代系数，写出完整函数解析式。 知识点04比例系数k的几何意义 1.基础模型：若点为双曲线上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线。 2.面积公式 围成矩形面积：； 连接原点O，围成直角三角形面积：。 3.补充结论：数值越大，双曲线距离坐标轴越远。 知识点05反比例函数综合应用 1、与一次函数综合 交点求解：联立两个函数解析式，组成二元方程组，求解方程组即可得到交点坐标； 面积计算：采用割补法，结合k的几何意义，简化不规则图形面积计算； 图象比较：根据图象上下位置，判断函数值大小，确定自变量取值范围。 2、实际生活应用 常见模型：行程问题（路程固定，速度与时间成反比）、工程问题（工作总量固定，工作效率与工作时间成反比）、几何面积（面积固定，边长成反比）； 解题要点：找出题目中的固定常量，建立反比例函数模型，注意自变量实际取值范围（正数、整数等）。 易错点1：忽略增减性前提“每个象限内”（最高频易错） 错误例题：反比例函数，因为，所以随增大而减小。 错因分析：未牢记增减性限制条件，跨象限不满足增减规律。 正确解析：必须强调在每一个象限内；若取，，可得，，，但，跨象限y不随x增大而减小。 易错点2：求解参数时忽略前提 错误例题：若是反比例函数，求m的值。解：，解得。 错因分析：遗漏比例系数不能为0的条件。 正确解析：需同时满足两个条件：①次数；②系数，最终解得。 易错点3：概念混淆，误判反比例函数 错误例题：判定为反比例函数。 错因分析：对反比例函数定义理解模糊。 正确解析：反比例函数分母只能是单纯自变量，该函数分母为，属于分式函数，不是反比例函数。 易错点4：k的几何意义遗漏绝对值 错误例题：函数图象上一点，作坐标轴垂线，围成矩形面积为-3。 错因分析：面积为非负数，忽略绝对值。 正确解析：几何面积公式为，该矩形面积。 重难点1：反比例函数性质应用——函数值大小比较 通用解题方法 1.定象限：根据k的符号，判断各点所在象限； 2.分正负：一、三象限函数值为正，二、四象限函数值为负，正数永远大于负数； 3.判增减：同一象限内，利用函数增减性比较大小。 1．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限， 在每一象限随的增大而减小， 而， 点在第一象限，、点在第三象限， ． 即． 故选：D． 2．已知点和点在反比例函数的图像上，如果，那么__________．（填“>”、“=”、“<”） 【答案】 【详解】解：的图象如图示， 当，根据图象可得：， 故答案为：． 3．已知点，，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，，的大小关系用“”连接为______． 【答案】 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 4．已知反比例函数()的图像经过点，那么在每一象限内随着的增大而____．（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【详解】解：把点代入解析式可得， ， ∵， ∴在每一象限内随着的增大而减小； 故答案案为减小． 5．已知反比例函数的图像上有两点，如果时，那么___________．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∵反比例函数的图像上有两点，且， ∴； 故答案为：． 6．若点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，其中，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数图象的性质判断和的正负，进而比较两者大小． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ 反比例函数的图象分别位于第一、三象限，第三象限内点的纵坐标为负，第一象限内点的纵坐标为正． ∵ ， ∴ 点在第三象限，点在第一象限， ∴ ，即． 重难点2：k的几何意义——面积求k值 解题技巧 1.熟记基础模型：矩形面积，直角三角形面积； 2.不规则图形：采用割补法，拆分、拼接为规则矩形、三角形； 3.判断符号：根据图象所在象限，确定k的正负。 7．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点， ∴，， ∴，， 如图，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：． 8．在平面直角坐标系中，矩形与矩形的位置如图所示，点、在轴上，点、在轴上，反比例函数的图象经过点，若，则空白部分的面积的值为_____． 【答案】6 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，四边形与是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 10．如图，点在反比例函数（）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作轴、轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，则______． 【答案】 【详解】解：根据题意得： 当时，，则， 当时，，则， ， 故答案为：． 11．如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于________． 【答案】 【详解】解：点A在反比例函数的图象上， 设点， 轴， 点的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， ， 轴， 点的横坐标为， 点C在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为： 12．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 _____． 【答案】2 【详解】解：过点A作轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上， 矩形的面积为：1，矩形的面积是3， 矩形的面积为：， 故答案为：2． 14．如图，直线y＝x与双曲线y＝平交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y＝交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝_________． 【答案】6 【详解】解：如图所示，过点A作AM⊥x轴于M，过点O作OK⊥AB交BC于K，过点K作KT⊥x轴于T，设直线BC与y轴交于J，连接OC， 设，则，， ∴由反比例函数的对称性可知，OB=OA， ∵∠ABC=45°，OK⊥AB， ∴OK=OB=OA， ∵∠OTK=∠AOK=∠AMO=90°， ∴∠KOT+∠AOM=90°，∠AOM+∠OAM=90°， ∴∠KOT=∠OAM， ∴△KOT≌△OAM（AAS）， ∴，， ∴点K的坐标为， 设直线BC的解析式为， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为， ∴J点坐标为， 设C点坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：6． 15．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，在第一象限内与反比例函数图像交于点，垂直于轴，垂足为点，且，设点是该反比例函数图像上一点，若的面积是6，求点的坐标． 【答案】或 【详解】解：设反比例函数为， 直线与轴交于点，则， 由可得， ，即， 则，即， 设，到的距离为， 由的面积是6可得， 解得或， 即或 16．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C． (1)求a、k的值； (2)连接，如果，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）把点代入反比例函数得，， 解得， ∴点， 将点B代入得，， ∴正比例函数的关系式为； （2）当时，代入得，， 解得， ∴， 当代入得，， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数的图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 【答案】(1) (2)或，的面积为6 【详解】（1）解：点在函数的图像上，点的坐标为， ∴， 点坐标为． 点在反比例函数的图像上， ，解得． 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，当点在点上方时， 轴，点坐标为， ． 点为第一象限内直线上一点， 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴； 当点在点下方时，如图： 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴ ， 综上所述，点的坐标为或，的面积为6． 重难点3：反比例与一次函数综合压轴 解题步骤 1.求交点：联立一次函数、反比例函数解析式，解二元方程组； 2.算面积：找出直线与坐标轴交点，分割三角形，分段计算面积求和； 3.比大小：观察图象，直线在双曲线上方则一次函数值大，反之则小，分区间书写取值范围。 18．定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线与双曲线交于点A、B两点．那么双曲线关于直线的割距是______________ 【答案】 【详解】由题意得： ， 解方程组并检验得： 或， ∴，， 如图，作轴，轴，两线交于点D， ∴在中，， 故答案为：． 19．已知正比例函数和反比例函数的图象有两个交点，如果其中一个交点的横坐标为1，求a及两个交点的坐标． 【答案】，，． 【详解】解：函数和的图象有两个交点，且一个交点的横坐标为1， 联立得，， 则， ∴函数的解析式为，，， ∴，解方程组得，，， ∴这两个函数图象的交点坐标分别是，． 20．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：把代入得， ∴． 把代入得． （2）解：联立得， 即， 解得或， 当时，， ． 21．如图，已知在平面直角坐标系中，直线和双曲线都经过点和点B． （1）求线段AB的长； （2）如果点P在y轴上，点Q在此双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出P、Q的坐标． 【答案】（1）；（2），，或，或，． 【详解】解：（1）点在直线上， ． ， 直线的解析式为①， 点在双曲线上， ， 双曲线的解析式为②， 联立①②解得，或， ， ， ； （2）由（1）知，双曲线的解析式为， 点在双曲线上， 设， 点在轴上， 设， 由（1）知，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当与为对角线时， ，， ，， ，， ②当与是对角线时， ，， ，， ，， ③当与是对角线时， ，， ，， ，， 即满足条件的点，的坐标分别为，或，或，． 22．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．点C为函数的图像上一点，过点C作轴，交反比例函数的图像于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点C的坐标； (3)如果，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)C（4，6） (3)D（10，1）． 【详解】（1）解：∵一次函数y＝x+4的图象与反比例函数(x＞0)的图像交于点B（a，5）， ∴5=a+4， ∴a=2， ∴点B（2，5）， ∴m=2×5=10， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵一次函数y＝x+4的图像与y轴交于点A， 令 则 ∴A（0，4）， ∵点B（2，5），BC=AB， ∴C（4，6）； （3）设，则， 如图，过B作于H， ∵B（2，5），BC=BD， 轴， ∴CD的中点的坐标为（c，5）， ∴ 整理得： 解得c1=2，c2=10， 经检验：它们都是原方程的根，但是不符合题意，舍去， ∴D（10，1）． 23．已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ， 将代入一次函数的图像得， ， 解得：； （2）解：直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D， ， 解得，， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， 如图，作轴，轴， ，点A的坐标为， ，， 点C的坐标为 ，， 在和中， ， ， ． （3）点B的坐标为，点C的坐标为， ， 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点在点的右侧，时，点的坐标为； 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点E的坐标为、、时，是以为腰的等腰三角形． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上． (1)求k的值； (2)如果将绕的中点旋转得到． ①请直接写出点P的坐标； ②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由． 【详解】（1）解：∵沿直线翻折得到， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ， 联立得： ， 解得 ， ∴， 把代入得：； （2）解：①设中点为D， ∵，， ∴点D坐标横坐标，点D纵坐标， ∴ ， 设P点坐标， ∵， ∴ ， 解得∶ ， ∴P点坐标为； ②由①可知，， ∴双曲线的表达式为， 当时，， ∴点P在双曲线上． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $