能量守恒定律在板块模型、传送带模型、曲线运动中的应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

能量守恒定律在板块模型、传送带模型、曲线运动中的应用专项训练 能量守恒定律在板块模型、传送带模型、曲线运动中的应用专项训练 考点目录 能量守恒定律在板块模型中的应用 能量守恒定律在传送带模型中的应用 能量守恒定律在曲线运动中的应用 考点一 能量守恒定律在板块模型中的应用 解题思路点拨：选定板块整体，分析摩擦力做功；分清系统动能变化、摩擦产生内能，依据能量守恒，初态总能量转化为末态动能与摩擦内能，列式求解。 例1．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图所示，光滑水平平台高，BC为一段光滑圆弧轨道，其圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，为60°，BC的高度差。一不计厚度、质量的长木板静止于粗糙水平面上，左端置于C点，右端与D点固定的竖直挡板相距。质量的小物块压缩弹簧至K点，弹簧与小物块不拴接，形变在弹性限度内。释放小物块，弹簧恢复原长后小物块从A点滑离平台，恰好能无碰撞地从B点进入圆弧形轨道，然后经过C点滑上长木板，继续运动。长木板向右运动与挡板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），以原速率返回。碰撞后立即撤去挡板，运动过程中小物块始终未滑离长木板。已知物块与长木板间动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，取。求： (1)小物块由A到B的运动时间t（结果可以保留根号）； (2)弹簧被压缩至K点时具有的弹性势能； (3)全程小物块与长木板因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3)87J 【详解】（1）小物块离开平台后做平抛运动，设从A到B的时间为t，由平抛运动规律得 解得 （2）设物体从A点抛出时的水平速度为v0，则在B点处有 解得 根据功能关系得弹簧的弹性势能 （3）设物块到达C点时速度为vC，物块由A到C由动能定理得 代入数据解得vC＝14m/s 物块在木板上滑行做匀减速运动，其加速度为a1，则有 对长木板由牛顿第二定律得：μ1mg﹣2μ2mg＝ma2 解得 设经时间t1长木板与挡板相撞，由 得t1＝2s 此时物块和长木板速度分别为v1、v2，则有v1＝vC﹣a1t1＝8m/s，v2＝a2t1＝4m/s 物块的位移为： 物块距离木板左端为 长木板与挡板相撞后，物块继续向右做匀减速运动，长木板向左减速运动，设其加速度为a3，则有μ1mg+2μ2mg＝ma3 代入数据解得 经时间t2长木板速度为零，则 此时物块的速度为v3，则v3＝v1﹣a1t2＝5m/s 物块向右的位移 木板减速向左的位移 在此过程中物块相对木板向右的位移为 设又经时间t3两者速度相等为v4，即v4＝a2t3＝v3﹣a1t3 解得：t3＝1s，v4＝2m/s 在这段时间内物块与长木板的位移分别为 物块与长木板的相对位移 以后两个以相同的加速度向右做匀减速运动，直到速度为零 故Q=μ1mgL=87J 例2．（24-25高一下·广东东莞·月考）哈尔滨冰雪大世界的冰块采集自松花江，步骤为开锯、切分、打捞、运送。图甲是某次运送冰块的示意图，水平冰面AB段由于清理了积雪可视为光滑冰面、BC段动摩擦因数。长方体冰块长，质量均匀分布且总质量为开始时，静止在AB段内，现给冰块一个水平向右的初速度使冰块向着BC运动，重力加速度求： (1)冰块中点到达B点时，冰块的加速度大小a； (2)冰块静止时，冰块右端与B点的距离d； (3)如图乙，在冰块静止后，质量为，可视为质点的破冰工具，以的速度从冰块左端水平向右滑上冰块，恰能到达冰块最右端，最终一同静止在BC段冰面上，求整个运动过程冰块与地面摩擦产热Q。 【答案】(1) (2)1.25m (3)37.5J 【详解】（1）根据牛顿第二定律 由 解得 （2）设冰块进入段长度为时，冰块所受摩擦力 由式子可知此阶段摩擦力正比于冰块进入段的长度，则此阶段克服摩擦力做功 根据能量守恒定律 由 解得 （3）设破冰工具与冰块的动摩擦因数为 假设冰块不动，则有 即 对工具， 解得，不符合假设，说明冰块滑动。 对冰块 工具到达最右端恰好共速 位移关系 解得 对冰块 共速后，工具和冰块相对静止一起减速，加速度为，有 冰块减速位移 解得 冰块与地面摩擦产热 例3．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，水平地面上固定放置一光滑斜面，紧靠斜面右侧有一小车，其上表面与点等高，斜面末端与小车左端平滑连接。小车上表面右端固定有一轻弹簧，初始时弹簧处于原长，水平地面距小车右端m处有一固定的竖直墙壁，墙壁与小车等高处安装一锁定装置。现将一可视为质点的物块从斜面顶端点由静止开始滑下，从点滑上小车，当小车运动到墙壁时立即被锁定。已知、两点高度差为m，物块质量为kg，小车质量kg、长度m，物块与小车上表面的动摩擦因数，弹簧原长m，物块向右运动过程中弹簧的最大压缩量m，水平地面光滑，重力加速度m/s²。求： (1)物块刚滑到点时的速度大小； (2)物块刚与弹簧接触时的速度大小； (3)物块最终停止的位置与小车左端的距离。 【答案】(1) (2)1m/s (3)1.45m 【详解】（1）由机械能守恒定律 得 （2）对滑块由牛顿第二定律得μmg = ma1 对小车由牛顿第二定律得μmg = Ma2 解得 设经过时间t0共速，则vB - a1t0 = a2t0 解得 小车位移： 则此时小车刚好运动到墙壁并锁定 滑块位移： 有 s1-s2=L-l0 此时物块恰好与弹簧接触 则v 1=vB - a1t0 =1 m/s （3）从刚接触到弹簧最短，功能关系 滑块返回过程得 d=L-s0+x-x2=1.45 m 变式1．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图所示，质量为的足够长木板放在粗糙水平面上，长木板的左端紧靠一平台且上表面与光滑平台平齐。半径为的光滑圆弧形轨道固定在平台上，且圆弧底端与平台相切。质量为、可视为质点的物体由距离平台高处静止释放，物体刚好由圆弧轨道的最高点进入圆弧轨道，物体运动到最低点时对轨道的压力为。现将物体从处静止释放，经过一段时间后从圆弧滑下，经光滑平台滑上长木板；当物体在长木板上相对长木板滑动的距离为时，物体与长木板达到共同速度，且该过程中物体运动的位移是长木板运动位移的4倍。重力加速度取。求： (1)物体的质量； (2)物体与长木板之间的动摩擦因数，长木板与水平面之间的动摩擦因数； (3)试判断物体与木板共速后各自的运动性质，要求写出判断理由；并求出共速后到静止的过程中，木板损失的机械能。 【答案】(1) (2)， (3)物体与木板共速后将一起以加速度向右做匀减速直线运动，直至停下来， 【详解】（1）根据题意可知，对物体，从释放到滑动到轨道最低点的过程中，由机械能守恒定律得 在最低点时，由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律得 解得 （2）同理，物体从处静止释放后，设其运动到轨道最低点时的速度为，根据机械能守恒定律得 解得 根据题意可知，物体在木板上滑动。当它们达到共速前，设物体相对地面运动的位移为，木板相对于地面运动的位移；该过程中 对物体，根据动能定理可得 对木板，根据动能定理可得 根据题意知 联立各式解得， （3）物体与木板共速后，对整体而言，根据牛顿第二定律得 解得 对物体而言，其相对木板滑动的临界加速度 因为，可判断物体与木板共速后将一起以加速度向右做匀减速直线运动，直至停下来。 则共速后木板损失的机械能就等于木板减小的动能，即 变式2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点，不计空气阻力），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的半径的粗糙圆弧轨道，其中轨道C端切线水平，当小物块运动到轨道末端C时对轨道的压力大小为。随后小物块滑上静止在粗糙水平面的长木板上，已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，半径与竖直半径间的夹角。取，求： (1)小物块运动至B点时的速度大小； (2)小物块在粗糙圆弧轨道上运动的过程中，摩擦力所做的功？ (3)若长木板长为，则自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量及地面与长木板间产生的热量各为多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据运动的分解可知 （2）在C点对物体受力分析，根据牛顿第二定律可得 由题意可知 代入数据，联立解得 小物块从B到C的过程中，根据动能定理可得 代入数据解得 （3）小物块在长木板上滑动过程中，设小物块和长木板的加速度大小分别为、，根据牛顿第二定律可得， 解得， 假设小物块与长木板可以达到共速时，且所用时间为，由运动学公式有 解得， 时间内小物块和长木板的位移大小分别为， 二者的位移差 假设成立，由于，所以共速之后二者将共同做匀减速运动，加速度大小为 从共速到停下来通过的位移为 自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量为 地面与长木板间产生的热量为 变式3．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平面上，其半径R=0.45m，质量M=2kg的足够长的长木板静止在光滑水平面上，圆弧轨道的末端恰好与长木板的上表面相切。一质量为m=1kg的物块（可看成质点）从圆弧A点由静止滑下，从左端冲上木板，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度。求： (1)物块刚滑到圆弧轨道底端时，圆弧轨道对物块支持力的大小； (2)木块与长木板共速时速度的大小； (3)由于物块与木板摩擦所产生的热量Q。 【答案】(1)FN=30N (2)1m/s (3)3J 【详解】（1）物块下滑过程，由动能定理可得 解得v=3m/s 物块在轨道底端时，对其受力分析，由牛顿第二定律可得 解得FN=30N （2）对物块和木板受力分析，根据牛顿第二定律可得， 解得， 两者达到共同速度时有 解得 （3）根据能量守恒定律有 解得 考点二 能量守恒定律在传送带模型中的应用 解题思路点拨：分析物体初末速度、高度变化，明确重力势能、动能改变量；计算物体与传送带间相对位移，求出摩擦生热，按能量守恒统筹各类能量变化列方程。 例1．（25-26高一下·江苏南通·期中）快递公司自动分拣系统是由多个相同水平传送带组合而成。如图为该装置中一部分的俯视图，每个传送带上表面都是正方形，运行速度大小都为。可视为质点的一质量的快件沿与传送带1速度垂直的方向滑上传送带，滑上的初速度大小，恰好从传送带1左侧中点滑上传送带2，滑上传送带2的速度方向与传送带2速度方向垂直，快件与传送带间动摩擦因数，重力加速度。求： (1)快件刚滑上传送带1时受到的摩擦力大小f； (2)传送带的边长l； (3)该传送带系统因传送该快件多消耗的电能E。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由 解得 （2）以传送带为参考系，快件初速度，方向与水平方向成，摩擦力方向与相对运动方向相反，快件相对传送带做匀减速直线运动 根据， 解得 快件在竖直方向位移为 传送带的边长 （3）快件在传送带1上产生热量 快件与传送带1共速后，以滑上传送带2，快件在传送带2上的运动情况与在传送带1上相同． 则快件在传送带2上产生热量 故传送带多消耗的电能 解得 例2．（25-26高一下·江苏常州·月考）如图所示，水平传送带在电动机带动下始终保持以速度匀速运动，某时刻一质量为的物块轻放在传送带的左端。在物块轻放上传送带到物块与传送带相对静止的过程中，求： (1)传送带对物块做的功； (2)物块对传送带所做的功； (3)物块与传送带间由于摩擦而产生的热量； (4)传送该物块电动机需要多做的功 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）物块在滑动摩擦力作用下从静止加速到速度，根据动能定理，传送带对物块做的功等于物块动能的增加量，即 （2）物块对传送带的摩擦力方向向左，与传送带运动方向相反，大小为 物块加速时间 此过程中传送带位移 物块对传送带做功。 （3）物块加速过程中的位移 传送带位移 相对位移 摩擦产生的热量 （4）根据能量守恒定律，电动机多做的功转化为物块增加的动能和系统产生的内能，即 例3．（25-26高一下·江苏盐城·月考）某种弹射装置左端固定的轻弹簧处于压缩状态且被锁定，弹簧具有的弹性势能Ep0=18J，质量m=1kg的小滑块静止于弹簧右端，光滑水平导轨OA的右端与水平传送带平滑连接，传送带长度L=10m，传送带以恒定速率v0=10m/s顺时针转动。某时刻解除锁定，滑块被弹簧弹射后滑上传送带，并从传送带右端水平滑离落至地面P点。已知滑块到达A点前已经离开弹簧，滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.4，取g=10m/s2。则： (1)求滑块进入和离开传送带时的速度大小v1和v2； (2)求电动机传送滑块多消耗的电能E； (3)若每次开始时弹射装置具有不同的弹性势能Ep，要使滑块滑离传送带后总能落至P点，求弹性势能Ep的取值范围。 【答案】(1)6m/s，10m/s (2)40J (3) 【详解】（1）根据能量守恒定律可得 代入数据解得 滑上传送带后，根据牛顿第二定律可得 若与传送带达到共速，则 之后滑块做匀速直线运动，所以离开传送带时的速度大小为 （2）根据能量守恒定律可得，电动机传送滑块多消耗的电能等于滑块增加的动能与摩擦产生的热量之和，所以 代入数据解得 （3）要使滑块滑离传送带后均落至P点，滑块滑出传送带时要与传送带共速，滑块刚好加速到与传送带共速时离开传送带，所对应的弹性势能最小，有， 联立解得 同理可得，滑块刚好减速到与传送带共速时离开传送带，所对应的弹性势能最大，有， 联立解得 所以弹性势能的取值范围为。 变式1．（24-25高一下·甘肃张掖·月考）如图是利用传送带装运煤块的示意图，其中传送带的从动轮与主动轮圆心之间的距离为，传送带与水平方向间的夹角，煤块与传送带间的动摩擦因数，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运煤车底板间的竖直高度，与运煤车车箱中心的水平距离。现在传送带底端由静止释放一质量为m=1kg煤块（可视为质点）。煤块在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，取，，，求： (1)传送带匀速运动的速度； (2)摩擦产生的热量为多少 (3)因传送煤块电动机多消耗的能量。‍ 【答案】(1)1m/s (2)8J (3)26.5J 【详解】（1）由题意，煤块在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，则有， 代入数据解得 对煤块根据牛顿第二定律得 代入数据解得 由，得 即煤块到达顶端之前已与传送带取得共同速度，故传送带的速度为 （2）由，解得煤块加速运动的时间 该过程传送带匀速运动的位移为 则摩擦产生的热量为 （3）根据能量守恒定律，可得煤块在传送带上运动的整个过程中，因传送煤块电动机多消耗的能量为 变式2．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）如图所示，在倾角为的粗糙斜面MN底端固定一个被压缩且锁定的轻弹簧，轻弹簧的上端静止放一质量的滑块（滑块视为质点），滑块与斜面顶端N点相距。现将弹簧解除锁定，滑块离开弹簧后经N点离开斜面，恰水平飞上速度为逆时针匀速转动的传送带，传送带足够长且水平放置，其上表面距N点所在水平面高度为，滑块与斜面动摩擦因数，滑块与传送带间的动摩擦因数为，g取。（计算结果可以保留根号）求： (1)滑块从离开N点至飞上传送带的时间； (2)弹簧锁定时储存的弹性势能； (3)滑块在传送带上运动时由于摩擦产生的热量。 【答案】(1)0.2s (2)17.6J (3) 【详解】（1）由题意，滑块离开弹簧后经N点离开斜面，恰水平飞上传送带，可把滑块等效看作反方向的平抛运动，根据 代入数据，解得滑块从离开N点至飞上传送带的时间 （2）滑块到N点时的速度大小为 滑块从弹簧解除锁定到到达N点的过程中，根据能量守恒定律有 联立，代入数据解得弹簧锁定时储存的弹性势能 （3）滑块冲上传送带时的速度大小为 由题意，可知滑块冲上传送带后先做匀减速直线运动至到速度为零，接着做反方向的匀加速直线运动从传送带左端以飞出，根据功能关系可得滑块在传送带上减速运动时由于摩擦产生的热量为 其中 物块和传送带位移大小为， 由速度公式和牛顿第二定律得， 滑块在传送带上反向加速运动时由于摩擦产生的热量为 其中 联立，代入数据求得滑块在传送带上运动时由于摩擦产生的热量 变式3．（24-25高一下·贵州·月考）渔业作业中，鱼虾分离装置可实现机械化分离鱼和虾，降低人工成本。其物理模型如下图所示，传送带与水平方向夹角，以恒定速率顺时针转动。鱼和虾从分离器出口下落到C点时速度立即减为零，落点C到传送带上端点B的距离为L=6m。鱼和虾与传送带之间的动摩擦因数分别为和，不考虑鱼和虾之间的相互作用，，重力加速度大小，求： (1)鱼和虾刚落在传送带传送时，它们的加速度大小分别是多少； (2)在传送鱼过程中，鱼相对传送带的路程； (3)每传送1kg的鱼到鱼收集箱，传送带多消耗的电能。 【答案】(1)， (2)5m (3) 【详解】（1）鱼刚落在传送带传送时，鱼向上运动，根据牛顿第二定律有 解得 虾刚落在传送带传送时，虾向下运动，根据牛顿第二定律有 解得 （2）在传送鱼过程中，设经位移，鱼的速度刚好与传送带的速度相等，则有 解得 说明鱼先向上做匀加速直线运动，再向上做匀速运动； 鱼先向上做匀加速直线运动，所用的时间为 则传送带运动的位移为 则在加速阶段，鱼相对传送带的路程 鱼再向上做匀速运动，相对传送带静止，相对路程为零 故在传送鱼过程中，鱼相对传送带的路程为5m。 （3）每传送的鱼到鱼收集箱，因摩擦产生的热量为 根据能量守恒可知，每传送的鱼到鱼收集箱，传送带多消耗的电能为 代入数据解得 考点三 能量守恒定律在曲线运动中的应用 解题思路点拨：选取运动全过程，只有重力、弹力等保守力做功时，只分析动能与重力势能、弹性势能的相互转化；忽略中间复杂轨迹，直接用初末状态能量守恒列式计算。 例1．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图所示，粗糙水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相切，导轨半径为。一质量为的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨恰好运动至最高点C。已知物块与水平面间的动摩擦因数，AB之间的距离为，物块沿半圆形导轨由B运动至C过程中损失的机械能为，重力加速度取。不计空气阻力影响。求： (1)物体在C点的速度的大小； (2)物块刚进入圆轨道B点时所受到的支持力大小； (3)弹簧最初压缩时储存的弹性势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物体恰好运动至半圆形导轨最高点，此时重力提供圆周运动的向心力，由向心力公式 代入， 解得 （2）设在B点的速度大小为，从B点到C点过程中由能量守恒定律 解得 根据牛顿第二定律 得 得 （3）物块从A到B的过程中，根据功能关系 解得弹簧最初压缩时储存的弹性势能 例2．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）如图所示，圆弧轨道AB与水平轨道BCP相切于B点，其中BC段粗糙，其余段均光滑。轻质弹簧右端固定于P点，左端自然伸长到C点。现用一小球向右压缩弹簧至某一位置后由静止释放，小球沿轨道向左运动，已知圆弧轨道AB半径R=1m，BC段长度L=2m，与小球间动摩擦因数μ=0.1；小球质量m=2kg，可视为质点；释放小球时弹簧弹性势能EP=25J；重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小球第一次到达A点时，对A点的压力大小。 (2)在某次极限运动表演时，某一极限跳伞运动员从离地H=80m高处悬停的飞机上无初速度下落，为确保安全落地，当速度达到v=22m/s后打开降落伞，获得加速度大小a1=15m/s2，此时运动员离地高度h=16m。若运动员打开伞的同时，从飞机上静止释放一物体，物体下落加速度a2=7m/s2，求物体落地前和运动员间最远的竖直距离。已知重力加速度g=10m/s2，运动员和物体运动均沿竖直方向。 【答案】(1)2N (2)75m 【详解】（1）小球运动到A的过程中，根据能量守恒定律，则有 在A点由牛顿第二定律可得 联立解得小球受到的支持力为 FN =2N 由牛顿第三定律可知，小球对A点的压力为=2N （2）当物体与运动员速度相等时，两者竖直距离最远。则有   解得 t=1s 此时，运动员下落    代入数据可得 h1=14.5m<h，可判断运动员还未落地。 物体下落 则物体落地前和运动员间最远的竖直距离 代入数据解得Δh=75m 例3．（24-25高一下·河南·阶段练习）“水流星”是一项中国传统民间杂技艺术。如图甲，为演员在表演水流星的某个时刻，此时可认为演员手握轻绳的中点，绳端连接两个物体A、B（可视为质点）在同一个水平面内做匀速圆周运动，建模如图乙所示。已知轻绳总长 物体A、B的质量均为 竖直转轴顶端O点离地面的高度 一侧轻绳与转轴的夹角为θ。空气阻力不计，重力加速度 g 取 (1)当夹角θ稳定在 时，求轻绳中的拉力大小； (2)当夹角θ稳定在 时突然剪断轻绳，求物体A 落地点与转轴顶端O 在水平地面投影 点的距离； (3)改变转速使夹角θ从 缓慢增大到 的过程中，求演员通过轻绳对物体A 做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对其中一个物体受力分析得 代入数据得 （2）对物体A受力分析得 解得 绳断后物体A平抛的运动时间为t，则 平抛水平位移为 物体A落地点与转轴顶端O在水平地面投影点O'的距离 联立得 （3）对物体A受力分析得， 由能量守恒定律有 得 变式1．（24-25高一下·广东汕尾·月考）如图所示，质量为的滑块（可视为质点）放在光滑平台上，向左缓慢推动滑块压缩轻弹簧至P点，释放后滑块以一定速度从点水平飞出后，恰好从点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，然后从点进入与圆弧轨道相切于点的水平面，同一竖直平面内的光滑半圆轨道与水平面相切于点。已知圆弧轨道的半径，两点的高度差，光滑圆弧对应的圆心角为，滑块与部分的动摩擦因数，重力加速度。求： (1)滑块从到点所用的时间； (2)弹簧对滑块做的功； (3)滑块到达圆弧末端时对轨道的压力； (4)滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，轨道的半径满足条件。 【答案】(1) (2) (3)，方向向下 (4)或 【详解】（1）滑块从点做平抛运动，根据 解得时间为 （2）在点，滑块速度的竖直分量为 且 解得 则弹簧对滑块做的功 解得 （3）从点到点，根据机械能守恒得 其中 解得 在点，根据牛顿第二定律 解得轨道对滑块的支持力为 根据牛顿第三定律可得滑块对轨道的压力大小为，方向向下 （4）滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，有两种情况， 情况1：滑块刚好能达到半圆轨道圆心等高处，从点到该点，根据能量守恒可得 解得 即轨道的半径应满足 情况2：滑块刚好能达到半圆轨道最高处，从点到该点，根据能量守恒可得 最高点的速度满足 解得 联立解得 综上所述，轨道的半径满足或 变式2．（24-25高一下·四川成都·月考）如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面与长为的水平面平滑连接于点，右端连接内壁光滑、半径的四分之一细圆管，管口端正下方直立一根劲度系数的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为的小球放在曲面上，现从距的高度处静止释放小球，它与间的动摩擦因数，小球进入管口端时，它对上管壁有的作用力，通过后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能。重力加速度取。求： (1)小球第一次进入管口端时的速度大小； (2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能； (3)小球最终停止的位置到B点的距离。 【答案】(1) (2) (3)0.2m 【详解】（1）小球进入管口C端时，它对上管壁有的作用力，对小球由牛顿第二定律有 解得 （2）在压缩弹簧过程中，合力为零时，速度最大，此时小球动能也是最大值，设该位置为零势能面，弹簧的压缩量为x，由平衡条件 由能量守恒有 解得 （3）设BC段克服摩擦力做功为，对整个过程分析可知，设共经过N次BC段，有 又 解得 即小球最后从B位置向C位置运动最终停下，设小球最终停在距离B位置为s，有 解得 变式3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨运动。重力加速度 为g。 (1)若物体经过B点进入半圆形导轨的瞬间，导轨对其的支持力大小是重力的9倍，之后恰能到达最高点C，求物体从B点运动至C点的过程中摩擦力所做的功； (2)若竖直面内的半圆形导轨光滑，为保证物体能滑上半圆形导轨且中途不脱离导轨，求在A点静止释放物体时弹簧弹性势能的取值范围； (3)若竖直面内的半圆形导轨光滑，在A点静止释放物体时弹簧弹性势能为，求物体脱离导轨时距离水平面AB的高度。 【答案】(1) (2)或者 (3) 【详解】（1）设物体在B点的速度为vB，所受支持力为FNB，据牛顿第二定律可得 设物体在C点的速度为vC，由于恰能到达最高点C，由牛顿第二定律可得 物体由B点运动到C点的过程中，由动能定理得 解得 （2）当物体不能从最高点C点飞出时，要保证始终不脱离轨道，则最高能运动到圆弧轨道的中点，弹簧的弹性势能最大值 当物体能从最高点C点飞出时，要保证始终不脱离轨道，弹簧的弹性势能至少为 故弹簧弹性势能大小的取值范围为或 （3）若竖直面内的半圆形导轨光滑，物体脱离导轨时一定处于圆心的上方，设脱离导轨时物体与圆心连线与水 平方向的夹角为θ，此时物体的速度为v，根据动能定理可得 脱离导轨时有 联立解得 则物体脱离导轨时距离水平面AB的高度 2 学科网（北京）股份有限公司 $能量守恒定律在板块模型、传送带模型、曲线运动中的应用专项训练 能量守恒定律在板块模型、传送带模型、曲线运动中的应用专项训练 考点目录 能量守恒定律在板块模型中的应用 能量守恒定律在传送带模型中的应用 能量守恒定律在曲线运动中的应用 考点一 能量守恒定律在板块模型中的应用 解题思路点拨：选定板块整体，分析摩擦力做功；分清系统动能变化、摩擦产生内能，依据能量守恒，初态总能量转化为末态动能与摩擦内能，列式求解。 例1．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图所示，光滑水平平台高，BC为一段光滑圆弧轨道，其圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，为60°，BC的高度差。一不计厚度、质量的长木板静止于粗糙水平面上，左端置于C点，右端与D点固定的竖直挡板相距。质量的小物块压缩弹簧至K点，弹簧与小物块不拴接，形变在弹性限度内。释放小物块，弹簧恢复原长后小物块从A点滑离平台，恰好能无碰撞地从B点进入圆弧形轨道，然后经过C点滑上长木板，继续运动。长木板向右运动与挡板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），以原速率返回。碰撞后立即撤去挡板，运动过程中小物块始终未滑离长木板。已知物块与长木板间动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，取。求： (1)小物块由A到B的运动时间t（结果可以保留根号）； (2)弹簧被压缩至K点时具有的弹性势能； (3)全程小物块与长木板因摩擦产生的热量。 例2．（24-25高一下·广东东莞·月考）哈尔滨冰雪大世界的冰块采集自松花江，步骤为开锯、切分、打捞、运送。图甲是某次运送冰块的示意图，水平冰面AB段由于清理了积雪可视为光滑冰面、BC段动摩擦因数。长方体冰块长，质量均匀分布且总质量为开始时，静止在AB段内，现给冰块一个水平向右的初速度使冰块向着BC运动，重力加速度求： (1)冰块中点到达B点时，冰块的加速度大小a； (2)冰块静止时，冰块右端与B点的距离d； (3)如图乙，在冰块静止后，质量为，可视为质点的破冰工具，以的速度从冰块左端水平向右滑上冰块，恰能到达冰块最右端，最终一同静止在BC段冰面上，求整个运动过程冰块与地面摩擦产热Q。 例3．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，水平地面上固定放置一光滑斜面，紧靠斜面右侧有一小车，其上表面与点等高，斜面末端与小车左端平滑连接。小车上表面右端固定有一轻弹簧，初始时弹簧处于原长，水平地面距小车右端m处有一固定的竖直墙壁，墙壁与小车等高处安装一锁定装置。现将一可视为质点的物块从斜面顶端点由静止开始滑下，从点滑上小车，当小车运动到墙壁时立即被锁定。已知、两点高度差为m，物块质量为kg，小车质量kg、长度m，物块与小车上表面的动摩擦因数，弹簧原长m，物块向右运动过程中弹簧的最大压缩量m，水平地面光滑，重力加速度m/s²。求： (1)物块刚滑到点时的速度大小； (2)物块刚与弹簧接触时的速度大小； (3)物块最终停止的位置与小车左端的距离。 变式1．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图所示，质量为的足够长木板放在粗糙水平面上，长木板的左端紧靠一平台且上表面与光滑平台平齐。半径为的光滑圆弧形轨道固定在平台上，且圆弧底端与平台相切。质量为、可视为质点的物体由距离平台高处静止释放，物体刚好由圆弧轨道的最高点进入圆弧轨道，物体运动到最低点时对轨道的压力为。现将物体从处静止释放，经过一段时间后从圆弧滑下，经光滑平台滑上长木板；当物体在长木板上相对长木板滑动的距离为时，物体与长木板达到共同速度，且该过程中物体运动的位移是长木板运动位移的4倍。重力加速度取。求： (1)物体的质量； (2)物体与长木板之间的动摩擦因数，长木板与水平面之间的动摩擦因数； (3)试判断物体与木板共速后各自的运动性质，要求写出判断理由；并求出共速后到静止的过程中，木板损失的机械能。 变式2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点，不计空气阻力），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的半径的粗糙圆弧轨道，其中轨道C端切线水平，当小物块运动到轨道末端C时对轨道的压力大小为。随后小物块滑上静止在粗糙水平面的长木板上，已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，半径与竖直半径间的夹角。取，求： (1)小物块运动至B点时的速度大小； (2)小物块在粗糙圆弧轨道上运动的过程中，摩擦力所做的功？ (3)若长木板长为，则自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量及地面与长木板间产生的热量各为多少？ 变式3．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平面上，其半径R=0.45m，质量M=2kg的足够长的长木板静止在光滑水平面上，圆弧轨道的末端恰好与长木板的上表面相切。一质量为m=1kg的物块（可看成质点）从圆弧A点由静止滑下，从左端冲上木板，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度。求： (1)物块刚滑到圆弧轨道底端时，圆弧轨道对物块支持力的大小； (2)木块与长木板共速时速度的大小； (3)由于物块与木板摩擦所产生的热量Q。 考点二 能量守恒定律在传送带模型中的应用 解题思路点拨：分析物体初末速度、高度变化，明确重力势能、动能改变量；计算物体与传送带间相对位移，求出摩擦生热，按能量守恒统筹各类能量变化列方程。 例1．（25-26高一下·江苏南通·期中）快递公司自动分拣系统是由多个相同水平传送带组合而成。如图为该装置中一部分的俯视图，每个传送带上表面都是正方形，运行速度大小都为。可视为质点的一质量的快件沿与传送带1速度垂直的方向滑上传送带，滑上的初速度大小，恰好从传送带1左侧中点滑上传送带2，滑上传送带2的速度方向与传送带2速度方向垂直，快件与传送带间动摩擦因数，重力加速度。求： (1)快件刚滑上传送带1时受到的摩擦力大小f； (2)传送带的边长l； (3)该传送带系统因传送该快件多消耗的电能E。 例2．（25-26高一下·江苏常州·月考）如图所示，水平传送带在电动机带动下始终保持以速度匀速运动，某时刻一质量为的物块轻放在传送带的左端。在物块轻放上传送带到物块与传送带相对静止的过程中，求： (1)传送带对物块做的功； (2)物块对传送带所做的功； (3)物块与传送带间由于摩擦而产生的热量； (4)传送该物块电动机需要多做的功 例3．（25-26高一下·江苏盐城·月考）某种弹射装置左端固定的轻弹簧处于压缩状态且被锁定，弹簧具有的弹性势能Ep0=18J，质量m=1kg的小滑块静止于弹簧右端，光滑水平导轨OA的右端与水平传送带平滑连接，传送带长度L=10m，传送带以恒定速率v0=10m/s顺时针转动。某时刻解除锁定，滑块被弹簧弹射后滑上传送带，并从传送带右端水平滑离落至地面P点。已知滑块到达A点前已经离开弹簧，滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.4，取g=10m/s2。则： (1)求滑块进入和离开传送带时的速度大小v1和v2； (2)求电动机传送滑块多消耗的电能E； (3)若每次开始时弹射装置具有不同的弹性势能Ep，要使滑块滑离传送带后总能落至P点，求弹性势能Ep的取值范围。 变式1．（24-25高一下·甘肃张掖·月考）如图是利用传送带装运煤块的示意图，其中传送带的从动轮与主动轮圆心之间的距离为，传送带与水平方向间的夹角，煤块与传送带间的动摩擦因数，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运煤车底板间的竖直高度，与运煤车车箱中心的水平距离。现在传送带底端由静止释放一质量为m=1kg煤块（可视为质点）。煤块在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，取，，，求： (1)传送带匀速运动的速度； (2)摩擦产生的热量为多少 (3)因传送煤块电动机多消耗的能量。‍ 变式2．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）如图所示，在倾角为的粗糙斜面MN底端固定一个被压缩且锁定的轻弹簧，轻弹簧的上端静止放一质量的滑块（滑块视为质点），滑块与斜面顶端N点相距。现将弹簧解除锁定，滑块离开弹簧后经N点离开斜面，恰水平飞上速度为逆时针匀速转动的传送带，传送带足够长且水平放置，其上表面距N点所在水平面高度为，滑块与斜面动摩擦因数，滑块与传送带间的动摩擦因数为，g取。（计算结果可以保留根号）求： (1)滑块从离开N点至飞上传送带的时间； (2)弹簧锁定时储存的弹性势能； (3)滑块在传送带上运动时由于摩擦产生的热量。 变式3．（24-25高一下·贵州·月考）渔业作业中，鱼虾分离装置可实现机械化分离鱼和虾，降低人工成本。其物理模型如下图所示，传送带与水平方向夹角，以恒定速率顺时针转动。鱼和虾从分离器出口下落到C点时速度立即减为零，落点C到传送带上端点B的距离为L=6m。鱼和虾与传送带之间的动摩擦因数分别为和，不考虑鱼和虾之间的相互作用，，重力加速度大小，求： (1)鱼和虾刚落在传送带传送时，它们的加速度大小分别是多少； (2)在传送鱼过程中，鱼相对传送带的路程； (3)每传送1kg的鱼到鱼收集箱，传送带多消耗的电能。 考点三 能量守恒定律在曲线运动中的应用 解题思路点拨：选取运动全过程，只有重力、弹力等保守力做功时，只分析动能与重力势能、弹性势能的相互转化；忽略中间复杂轨迹，直接用初末状态能量守恒列式计算。 例1．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图所示，粗糙水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相切，导轨半径为。一质量为的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨恰好运动至最高点C。已知物块与水平面间的动摩擦因数，AB之间的距离为，物块沿半圆形导轨由B运动至C过程中损失的机械能为，重力加速度取。不计空气阻力影响。求： (1)物体在C点的速度的大小； (2)物块刚进入圆轨道B点时所受到的支持力大小； (3)弹簧最初压缩时储存的弹性势能。 例2．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）如图所示，圆弧轨道AB与水平轨道BCP相切于B点，其中BC段粗糙，其余段均光滑。轻质弹簧右端固定于P点，左端自然伸长到C点。现用一小球向右压缩弹簧至某一位置后由静止释放，小球沿轨道向左运动，已知圆弧轨道AB半径R=1m，BC段长度L=2m，与小球间动摩擦因数μ=0.1；小球质量m=2kg，可视为质点；释放小球时弹簧弹性势能EP=25J；重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小球第一次到达A点时，对A点的压力大小。 (2)在某次极限运动表演时，某一极限跳伞运动员从离地H=80m高处悬停的飞机上无初速度下落，为确保安全落地，当速度达到v=22m/s后打开降落伞，获得加速度大小a1=15m/s2，此时运动员离地高度h=16m。若运动员打开伞的同时，从飞机上静止释放一物体，物体下落加速度a2=7m/s2，求物体落地前和运动员间最远的竖直距离。已知重力加速度g=10m/s2，运动员和物体运动均沿竖直方向。 例3．（24-25高一下·河南·阶段练习）“水流星”是一项中国传统民间杂技艺术。如图甲，为演员在表演水流星的某个时刻，此时可认为演员手握轻绳的中点，绳端连接两个物体A、B（可视为质点）在同一个水平面内做匀速圆周运动，建模如图乙所示。已知轻绳总长 物体A、B的质量均为 竖直转轴顶端O点离地面的高度 一侧轻绳与转轴的夹角为θ。空气阻力不计，重力加速度 g 取 (1)当夹角θ稳定在 时，求轻绳中的拉力大小； (2)当夹角θ稳定在 时突然剪断轻绳，求物体A 落地点与转轴顶端O 在水平地面投影 点的距离； (3)改变转速使夹角θ从 缓慢增大到 的过程中，求演员通过轻绳对物体A 做的功。 变式1．（24-25高一下·广东汕尾·月考）如图所示，质量为的滑块（可视为质点）放在光滑平台上，向左缓慢推动滑块压缩轻弹簧至P点，释放后滑块以一定速度从点水平飞出后，恰好从点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，然后从点进入与圆弧轨道相切于点的水平面，同一竖直平面内的光滑半圆轨道与水平面相切于点。已知圆弧轨道的半径，两点的高度差，光滑圆弧对应的圆心角为，滑块与部分的动摩擦因数，重力加速度。求： (1)滑块从到点所用的时间； (2)弹簧对滑块做的功； (3)滑块到达圆弧末端时对轨道的压力； (4)滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，轨道的半径满足条件。 变式2．（24-25高一下·四川成都·月考）如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面与长为的水平面平滑连接于点，右端连接内壁光滑、半径的四分之一细圆管，管口端正下方直立一根劲度系数的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为的小球放在曲面上，现从距的高度处静止释放小球，它与间的动摩擦因数，小球进入管口端时，它对上管壁有的作用力，通过后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能。重力加速度取。求： (1)小球第一次进入管口端时的速度大小； (2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能； (3)小球最终停止的位置到B点的距离。 变式3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨运动。重力加速度 为g。 (1)若物体经过B点进入半圆形导轨的瞬间，导轨对其的支持力大小是重力的9倍，之后恰能到达最高点C，求物体从B点运动至C点的过程中摩擦力所做的功； (2)若竖直面内的半圆形导轨光滑，为保证物体能滑上半圆形导轨且中途不脱离导轨，求在A点静止释放物体时弹簧弹性势能的取值范围； (3)若竖直面内的半圆形导轨光滑，在A点静止释放物体时弹簧弹性势能为，求物体脱离导轨时距离水平面AB的高度。 2 学科网（北京）股份有限公司 $