圆锥曲线中的范围、最值问题 课件-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的范围、最值 重难解读 　　解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的 重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面 图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算. 目录/ CONTENTS 考点一 利用不等关系求最值（范围） 01 考点二 利用基本不等式求最值（范围） 02 考点三 利用函数性质求最值（范围） 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 利用不等关系求最 值（范围） 目 录 （2023·全国甲卷21题）已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝ 2px（p＞0）交于A，B两点，｜AB｜＝4 . （1）求p； 解：设A（xA，yA），B（xB，yB）， 由 可得，y2－4py＋2p＝0，Δ＝16p2－8p＞0，即p＞ ，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 又｜AB｜＝ ｜yA－yB｜＝ × ＝4 ， 即2p2－p－6＝0，因为p＞ ，解得p＝2. 高中总复习·数学 目 录 （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且 · ＝0，求△MFN面 积的最小值. 解：因为F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由 可得，y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0， 因为 · ＝0，所以（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝0， 即（my1＋n－1）（my2＋n－1）＋y1y2＝（m2＋1）·y1y2＋m（n－1） 高中总复习·数学 目 录 （y1＋y2）＋（n－1）2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，4（m2＋n）＝（n－1）2＞0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2 或n≤3－2 . 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝ ， ｜MN｜＝ ｜y1－y2｜＝ ＝ ＝2 ｜n－1｜， 所以△MFN的面积S＝ ×｜MN｜×d＝ × ×2 ｜n－ 1｜＝（n－1）2，而n≥3＋2 或n≤3－2 ， 所以当n＝3－2 时，△MFN的面积Smin＝ ＝12－8 . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用不等关系求最值（范围）的三种方法 高中总复习·数学 目 录 练1 （2026·甘肃白银模拟）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0） 的渐近线方程为y＝± x，且其焦距为2 . （1）求双曲线C的方程； 解：∵渐近线方程为y＝± x，∴a2＝2b2. 又∵a2＋b2＝c2＝3，∴a＝ ，b＝1， ∴双曲线C的方程为 －y2＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）若直线l：y＝kx＋t（kt≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q， 且在由点P，Q与M（0，1）构成的三角形中，∠MPQ＝∠MQP，求实数 t的取值范围. 解：∵直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q， 由 得（1－2k2）x2－4ktx－2t2－2＝0， ∴Δ＝16k2t2－4（1－2k2）（－2t2－2）＞0，且1－2k2≠0， ∴t2＋1＞2k2，且k≠± . 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 高中总复习·数学 目 录 ∴y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝ ＋2t＝ ， ∴线段PQ的中点坐标为（ ， ）， ∴线段PQ的垂直平分线的方程为y－ ＝－ （x－ ），即y＝ － x＋ ， 又在由点P，Q与M（0，1）构成的三角形中，∠MPQ＝∠MQP， ∴点M不在直线PQ上，而是在线段PQ的垂直平分线上， ∴1≠t，1＝ ，∴1－2k2＝3t， 高中总复习·数学 目 录 又t2＋1＞2k2，k≠± ， ∴3t＜1且t2＋3t＞0，解得t＜－3，或0＜t＜ ， ∴实数t的取值范围是（－∞，－3）∪（0， ）. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 利用基本不等式求最值（范围） 目 录 已知椭圆E： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，设过点F2且倾 斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时直线l 的方程. 解：由题知，F2（2，0），｜F1F2｜＝4， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x＝my＋2， 联立 消去x可得（m2＋3）y2＋4my－2＝0， Δ＝16m2＋8（m2＋3）＝24（m2＋1）＞0， 高中总复习·数学 目 录 由根与系数的关系可得y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ， 所以 ＝ ｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝2 ＝ 2 ＝ ， 令t＝ ≥1，则 ＝ ＝ ≤ ＝2 ， 当且仅当t＝ 时，即当m＝±1时，等号成立， 此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 构造基本不等式求最值的步骤 高中总复习·数学 目 录 练2 已知椭圆E： ＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若A和B为椭圆 E上在x轴同侧的两点，且 ＝λ ，求四边形ABF1F2面积的最大值. 解：由 ＝λ ，得AF2∥BF1，如图，延长BF1，AF2，交椭圆于C，D两点， 根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四 边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的 面积的一半. 由题知，BF1的斜率不为零， 故设BF1的方程为x＝my－ ， 高中总复习·数学 目 录 联立 得（m2＋3）y2－2 my－1＝0，设B（x1，y1），C（x2，y2）， ∵Δ＞0，∴y1＋y2＝ ，y1y2＝ ， 故｜BC｜＝ ·｜y1－y2｜＝ ，O到BF1的距离d＝ ， ＝ S四边形ABCD＝ ×4S△OBC 设B（x1，y1），C（x2，y2）， 高中总复习·数学 目 录 ＝2× ×｜BC｜·d＝｜BC｜·d ＝ · ＝2 · ＝2 · ＝2 · ≤2 × ＝ ， 当且仅当 ＝ ，即m＝±1时取等号， ∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为 . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 利用函数性质求最值（范围） 目 录 已知点A，B分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的 右焦点，点P（ ， ）在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到 直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 解：∵M是椭圆长轴AB上的一点， 设M（m，0），m∈[－6，6]， ∵A（－6，0），P（ ， ），∴lAP：x－ y＋6＝0， ∵M到直线AP的距离等于｜MB｜，∴ ＝6－m， 高中总复习·数学 目 录 即｜m＋6｜＝12－2m，∵m∈[－6，6]， ∴m＋6＝12－2m，解得m＝2， 设Q（x，y）为椭圆任一点，则满足 ＋ ＝1，即y2＝ ， 则d＝｜QM｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 故当x＝ 时d有最小值为 . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用函数性质求最值（范围）的方法 　　根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或导数等 分析函数的单调性，从而确定最值（范围）. 高中总复习·数学 目 录 练3 （2026·湖北武汉模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），点Q （ ，m）为E上一点，且Q到E的准线的距离等于其到坐标原点O的 距离. （1）求E的方程； 解：设抛物线焦点F（ ，0），由题意｜QO｜＝｜QF｜，故 ＝2× ， 解得p＝1， 故抛物线的标准方程为y2＝2x. 高中总复习·数学 目 录 （2）设AB为圆（x＋2）2＋y2＝4的一条不垂直于y轴的直径，分别延长 AO，BO交E于C，D两点，求四边形ABCD面积的最小值. 解：由题意，直线AC斜率存在且不为0，设直线AC的方程为：y＝kx，设 点A（x1，y1），C（x2，y2），联立 得（k2＋ 1）x2＋4x＝0，由x1≠0，得x1＝ ， 联立 得k2x2－2x＝0，由x2≠0，得x2＝ ， 故｜AC｜＝ ｜x2－x1｜＝ . 高中总复习·数学 目 录 因为AC⊥BD，用－ 代替k，得｜BD｜＝ ＝ ， 故四边形ABCD的面积S＝ ｜AC｜·｜BD｜＝ ＝ ，令｜k｜＋ ＝t（t≥2），S＝ ＝6t＋ ， 设函数f（t）＝6t＋ （t≥2），f'（t）＝6－ ＝ ＞0，故f（t）单 调递增， 故当t＝2，即｜k｜＝1时，S取到最小值16，所以四边形ABCD面积的最 小值是16. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：62分） 目 录 1. （15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（a， 2 ）在抛物线C上. （1）若｜MF｜＝6，求抛物线C的标准方程； 解：由题意及抛物线的定义得：a＋ ＝6， 又因为点M（a，2 ）在抛物线C上，所以20＝2pa， 由 可得 或 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为（1，0），且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于 ，求p的取值范围. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 消去y可得x2－2（p＋t）x＋t2＝0， 则x1＋x2＝2p＋2t，x1x2＝t2，因为NA⊥NB， 所以 · ＝（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝（x1－1）（x2－1）＋（t－ x1）（t－x2） 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 ＝2x1x2－（t＋1）（x1＋x2）＋t2＋1＝0， 所以2t2－（t＋1）（2p＋2t）＋t2＋1＝0，可得2p＝ ， 由原点O到直线AB的距离不小于 ，可得 ≥ ，解得t≥2或t≤ －2，因为p＞0，所以t≤－2不成立，所以t≥2， 因为2p＝ ＝t＋1＋ －4在[2，＋∞）上单调递增， 所以2p≥ ＝ ，所以p≥ ， 即p的取值范围为［ ，＋∞）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）（2026·陕西西安模拟）已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞ 0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，且点（ ， ）在E上. （1）求椭圆E的方程； 解：由椭圆E的离心率为 ，得 ＝ ，即a2＝ b2， 由点（ ， ）在E上，得 ＋ ＝1，解得a2＝4，b2＝3， 所以椭圆E的方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）过点B（1，0）作直线l交椭圆E于M，N两点，且点M位于x轴上 方，设点N关于x轴的对称点为N1，求△BMN1面积的最大值. 解：依题意，直线l不垂直于坐标轴，设直线l方程为x＝ty＋1，t≠0， 设点N（x1，y1），M（x2，y2），y2＞0，则N1（x1，－y1），｜NN1｜ ＝－2y1， 由 消去x得（4＋3t2）y2＋6ty－9＝0，Δ＝36（4＋4t2） ＞0，y1＋y2＝－ ，y1y2＝ ， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 所以 ＝｜ － ｜ ＝ ｜NN1｜｜x2－x1｜－ ｜NN1｜｜1－x1｜ ＝ ｜2y1｜｜x2－1｜＝ （－2y1）｜x2－1｜ ＝－y1｜ty2＋1－1｜ ＝－y1y2｜t｜＝ ≤ ＝ ， 当且仅当3t2＝4，即｜t｜＝ 时取等号， 所以△BMN1面积的最大值为 . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）（2025·山东潍坊一模）已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双 曲线S的焦点在x轴上，直线y＝－ x是双曲线S的一条渐近线，且原点 O、点A（a，0）和点B（0，－b）使等式｜ ｜2＋｜ ｜2＝ ｜ ｜2·｜ ｜2成立. （1）求双曲线S的方程； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：根据题意可设双曲线S的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0）. 由直线y＝－ x是渐近线，可得 ＝ . 由｜ ｜2＋｜ ｜2＝ ｜ ｜2·｜ ｜2， 可得a2＋b2＝ a2b2. 联立以上两式，解得a＝1，b＝ ， 所以双曲线S的方程为x2－ ＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若双曲线S上存在两个点关于直线l：y＝kx＋4对称，求实数k的取 值范围. 解：当k＝0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l：y＝kx＋4对称； 当k≠0时，设双曲线S上的两点M，N关于直线l：y＝kx＋4对称， 则l⊥MN且线段MN的中点在直线l上. 设直线MN的方程为y＝－ x＋m，联立 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 消去y得（3k2－1）x2＋2kmx－（m2＋3）k2＝0. 所以3k2－1≠0，Δ＝（2km）2＋4（3k2－1）（m2＋3）k2＞0， 则m2k2＋3k2－1＞0.　① 设线段MN的中点为D（x0，y0）， 则x0＝ （－ ）＝－ ，y0＝－ x0＋m＝ . 因为点D（x0，y0）在直线l：y＝kx＋4上， 所以 ＝－ ＋4，则k2m＝3k2－1.　② 由①②可得（ ）2k2＋3k2－1＞0， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 整理可得12k4－7k2＋1＞0， 解得k2＞ 或k2＜ . 所以k的取值范围是（－∞，－ ）∪（－ ，0）∪（0， ）∪（ ，＋ ∞）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （17分）已知抛物线Γ：y2＝2x，点A在Γ上，点P（t，0），其中t ＞0. （1）若t＝2，求｜AP｜的最小值； 解：当t＝2时，P（2，0），设A（ ，a）， 所以｜AP｜＝ ＝ ＝ ≥ ， 当a2＝2时等号成立，即A（1，± ），所以｜AP｜的最小值为 . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线l与Γ交于两点B，C. （ⅰ）若A是B，Q中点，证明：AC⊥PQ； （ⅱ）若直线AQ与Γ相切且｜AB｜＝｜AC｜，直线AQ与l交于点D，求 D纵坐标的取值范围. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：（ⅰ）证明：设直线l：x＝my＋t，A（ ，a）， B（x1，y1），C（x2，y2），不妨设a＞0，因为A是 B，Q中点，所以B（2a2，2a），得Q（－a2，0）， 即t＝a2，由 ⇒y2－2my－2t＝0，所以y1y2＝－2t＝－2a2，即y2＝－a，所以C（ ，－a）， 由 ＝（0，－2a）， ＝（－2a2，0），所以 · ＝0，即AC⊥PQ. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （ⅱ）由（ⅰ）有y1＋y2＝2m，所以x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2t＝2m2＋2t， 设B，C的中点为M，所以M（m2＋t，m），由y2＝2x 有y＝ ，所以y'＝ ，即y' ＝ ， 所以y－a＝ （x－ ），即Γ在点A处的切线为ay＝x＋ ， 由Q（－t，0）在切线上，所以t＝ ， 又因为AM⊥BC，所以kAM·kBC＝－1，即a＝m3＋m， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 由 解得yD＝m3＋2m＋ ， 记为f（m）＝m3＋2m＋ ，由对称性不妨设m＞0， 所以f'（m）＝3m2＋2－ ＝ ，令f（m）＝0，得m2＝ ，即m＝ ＝ ， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 0＜m＜ 时，f'（m）＜0，f（m）单调递减；m＞ 时，f'（m）＞0， f（m）单调递增， 所以f（m）≥f（ ）＝ ，所以yD≥ ， 由对称性有yD∈ ∪ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $