第5节 椭圆 课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　椭圆 课标要求 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 4.了解椭圆的简单应用. 目录/ CONTENTS 考点一 椭圆的定义 01 考点二 椭圆的标准方程 02 考点三 椭圆的几何性质 03 提能点 与椭圆有关的最值（范围）问题 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 椭圆的定义 目 录 1. 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 ⁠ ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦 点间的距离叫做椭圆的 ，焦距的一半称为 ⁠. 2. 数学表达式：集合P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，｜F1F2｜＝ 2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数}. ｜ F1F2｜　 焦点　 焦距　 半焦距　 提醒：在椭圆定义中，若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹不是椭圆，而是连 接两定点的线段（包括端点）；若2a＜｜F1F2｜，则轨迹不存在. 结论：（1）若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则① b≤｜OP｜≤a；②a－c≤｜PF｜≤a＋c； 高中总复习·数学 目 录 （2）焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的 △PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ， ①｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大， 最 大，最大值为bc；② ＝ ｜PF1｜｜PF2｜ sin θ＝b2tan ＝c｜ y0｜；③｜PF1｜·｜PF2｜≤（ ）2＝a2；④焦点三角形 的周长为2（a＋c）. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2025·河北保定一模）如图所示，圆O的半径为定长r，A是 圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP 相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　A　） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 A 高中总复习·数学 目 录 解析：连接QA. 由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜ ＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜ ＜｜OP｜，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴 长的椭圆，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·江西新余模拟）已知椭圆C： ＋ ＝1（0＜m＜4）的 左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为M，点N在椭圆C上，且∠NF1F2＝ 60°，若｜NF2｜＝2｜MF2｜，则m＝（　D　） A. 1 B. 2 C. D. 3 解析：依题意，｜MF2｜＝a－c，故｜NF2｜＝2a－2c，故｜NF1｜＝ 2c，又在△NF1F2中，｜F1F2｜＝2c，且∠NF1F2＝60°，故△NF1F2为等 边三角形，故2a－2c＝2c，得a＝2c，则m＝a2－c2＝ a2＝3，故选D. D 高中总复习·数学 目 录 规律方法 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦 点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜ PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）一动圆P与圆A：（x＋1）2＋y2＝1外切，而与圆B：（x－1）2 ＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是（　A　） A A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 双曲线的一支 解析：设动圆P的半径为r，又圆A：（x＋1）2＋y2＝1半径为1，圆B： （x－1）2＋y2＝64半径为8，则｜PA｜＝r＋1，｜PB｜＝8－r，可得｜ PA｜＋｜PB｜＝9，又9＞2＝｜AB｜.则动圆的圆心P的轨迹是以A，B 为焦点，长轴长为9的椭圆，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2023·全国甲卷7题）设F1，F2为椭圆C： ＋y2＝1的两个焦 点，点P在C上，若 · ＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　B　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 B 解析：由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵ · ＝0， ∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋ ＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜＋｜ PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝ ＝ ＝2.故选B. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 椭圆的标准方程 目 录 标准 方程 ＋ ＝1（a＞b＞0）中心在 原点，焦点在x轴上 ＋ ＝1（a＞b＞0）中心在 原点，焦点在y轴上 图形 提醒：标准方程中，较大的分母是a2，另一个分母是b2，c2＝a2－b2，a ＞b＞0，必须牢固地掌握. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·湖北荆州期末）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，过F2的直线与椭圆C交于A， B两点.若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为（　A　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋y2＝1 D. ＋ ＝1 A 高中总复习·数学 目 录 解析：如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，∴4a＝8，a＝2，又离心率为 ，∴c＝1，b2＝3，∴椭圆方程为 ＋ ＝1，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（ ， 1），P2（－ ，－ ），则椭圆的方程为 　 ＋ ＝1　. 解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）.椭圆经过 P1，P2两点，则 解得 所以所求椭圆方程为 ＋ ＝1. ＋ ＝1 高中总复习·数学 目 录 规律方法 根据条件求椭圆方程的两种方法 （1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭 圆方程； （2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知道焦 点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞ 0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值 即可. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于4，则 椭圆的标准方程是（　A　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋y2＝1 D. ＋ ＝1 解析：设椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），则 解得a ＝2，c＝1，b＝ ，故椭圆方程为 ＋ ＝1，故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）过点（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为 ⁠ ⁠. 解析：椭圆3x2＋8y2＝24的标准方程为 ＋ ＝1，其焦点坐标为（± ，0），设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的定义可得2a＝ ＋ ＝（ － ）＋（ ＋ ）＝2 ，所以a＝ ，则b＝ ＝ ，因此所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. ＋ ＝1 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 椭圆的几何性质 目 录 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0） 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1（－a，0），A2（a， 0），B1（0，－b），B2 （0，b） A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0） 高中总复习·数学 目 录 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轴长 短轴长为 ，长轴长为 ⁠ 焦点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 焦距 ｜F1F2｜＝ ⁠ 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心： ⁠ 离心率 e＝ （0＜e＜1） 2b　 2a　 F1（－c，0），F2（c， 0） F1（0，－c），F2（0， c） 2c　 原点　 高中总复习·数学 目 录 （1）已知椭圆C： ＋ ＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率 为（　C　） A. B. C. D. 解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2 ，∴e＝ ＝ ＝ . C 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1： ＋y2＝1（a＞ 1），C2： ＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝ e1，则a＝（　A） A. B. C. D. A 高中总复习·数学 目 录 解析：法一　由题意知e1＝ ，e2＝ ＝ ，因为e2＝ e1，所以 ＝ × ，得a＝ .故选A. 法二　代入验证，若a＝ ，则e1＝ ＝ ＝ ，又e2＝ ，所以e2＝ e1，所以a＝ 符合题意，由于是单选题，故选A. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求椭圆离心率的方法 （1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有a，b，c的齐次方程（不等式），借助于b2＝a2－c2消去 b，转化为含有e的方程（不等式）求解； （3）利用公式e＝ 求解. 高中总复习·数学 目 录 练3 〔多选〕某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近 日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最 远的点）与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一 条直线上，则（　　） A. 轨道的焦距为d2＋d1 B. 轨道的离心率为 C. 轨道的短轴长为2 D. 当 越大时，轨道越扁 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析：设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝ ，c＝ ，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝ ，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝ ＝ ，短轴长为2b＝2 ，所以A错误，B、C正确；因为e＝ ＝ ＝ ＝ ＝－1＋ ，所以当 越大时，椭圆的离心率e越小，即 椭圆越圆，所以D错误.综上，选B、C. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 提能点 与椭圆有关的最值（范围）问题 目 录 已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中 心O的距离的取值范围是（　　） A. [4，5] B. [6，8] C. [6，10] D. [8，10] √ 解析：　不妨设椭圆的焦点在x轴上，则该椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.设点P（x，y），则－5≤x≤5，且有y2＝16－ x2.所以｜OP｜＝ ＝ ∈[4，5]，故选A. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 与椭圆上的点有关的最值或范围问题的求解方法 （1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； （2）设出椭圆上的点的坐标，构造关于以点的坐标为变量的函数关系 式，利用函数知识求解.有些也可以利用不等式，注意利用椭圆的范围. 高中总复习·数学 目 录 练4 （2026·山西太原模拟）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的 左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使线段PF1的中垂线过点 F2，则C的离心率的最小值是 ⁠. ​ 解析：设椭圆C的半焦距为c∈（0，a），由题意可知：｜PF2｜＝｜F1F2 ｜＝2c，根据存在性结合椭圆性质可知：a－c≤2c≤a＋c，解得 a≤c＜a，可得C的离心率e＝ ∈［ ，1），所以C的离心率的最小值是 . 高中总复习·数学 目 录 椭圆参数方程 教材母题：〔北师大选一P52例3〕求证：点M（a cos θ，b sin θ）（0≤θ ＜2π）在椭圆 ＋ ＝1上. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），其参数方程为 （φ为参数）；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 ＋ ＝1（a＞b＞0），其参数方程为 （φ为参数），通常规定参数φ的范围为φ∈[0，2π）. 高中总复习·数学 目 录 变式1 （2026·河北石家庄模拟）已知复数z＝2 cos θ＋i sin θ（i为虚数单 位），则｜z－ ｜的最小值为（　　） A. 1 B. 2－ C. 3 D. 2＋ 解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），又z＝2 cos θ＋i sin θ，则 消去θ得 ＋y2＝1，所以复数z在复平面上对应的点在椭圆 ＋y2＝1上，其右焦点为（ ，0），a＝2，c＝ ，｜z－ ｜表示复数z对应的点与点（ ，0）间的距离，即椭圆 ＋y2＝1上的点到右焦点的距离，则最小值为a－c＝2－ ，所以｜z－ ｜的最小值为2－ . √ 高中总复习·数学 目 录 变式2 已知椭圆C： ＋ ＝1，直线l：x－2y－12＝0，则椭圆C上一 点P到直线l的距离的最小值为 ⁠. ​ 解析：设x＝4 cos θ，y＝2 sin θ，θ∈[0，2π]，即椭圆C上一点P的坐 标为（4 cos θ，2 sin θ），则点P到直线x－2y－12＝0的距离d＝ ＝ ，当 cos （θ＋ ）＝1时，d 取得最小值 . 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 若椭圆的焦点在x轴上且经过点（－4，0），焦距为6，则该椭圆的标准 方程为（　　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 解析：　由题意得a＝4，2c＝6，则c＝3，b2＝a2－c2＝7，所以该椭圆 的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·广东深圳模拟）焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1的焦距为2，则 m＝（　　） A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 8 解析：　由椭圆 ＋ ＝1焦距为2，焦点在x轴上，得2c＝2，则c＝1，得m－4＝1，解得m＝5，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·江苏扬州模拟）设m，n为不相等的正实数，椭圆 ＋ ＝1 的焦点分别为F1（0，2）与F2（0，－2）.若此椭圆上存在点P使得 △PF1F2为正三角形，则m＋n＝（　　） A. 4＋2 B. 2 C. 28 D. 36 解析：要使△PF1F2为正三角形，则｜PF1｜＝｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c＝4，由椭圆的对称性且焦点在y轴上，要使｜PF1｜＝｜PF2｜，则P必在左右顶点处，所以｜PF1｜＝｜PF2｜＝a＝ ＝4，即n＝16，故m＝n－c2＝12，则m＋n＝28，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·重庆九龙坡模拟）设椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左顶 点为A，上顶点为B，右焦点为F，若F到直线AB的距离为b，则C的离 心率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：易知A（－a，0），B（0，b），F（c，0），则直线AB的方程为 ＋ ＝1，即bx－ay＋ab＝0，又F到直线AB的距离为b，则 ＝b，整理得到c2＋2ac＝b2＝a2－c2，所以2c2＋2ac－a2＝0，则2e2＋2e－1＝0，解得e＝ 或e＝ （舍）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 〔多选〕（2026·广东茂名模拟）已知椭圆C： ＋ ＝1，两个 焦点分别为F1，F2，则（　　） A. a的取值范围为（－14，8） B. 椭圆C与双曲线 － ＝1有相同的焦点，则该双曲线的虚轴长为2 C. 若a＝ ，则C的焦距为6 D. 若a＝2，则C的离心率为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，由题意可知 可得a∈（－14，－3）∪（－3，8），故A错误；对于B，由14＋a－（8－a）＝7＋a，则a＝1，虚轴长为2，故B正确；对于C，若a＝ ，则C的焦距为2× ＝6，故C正确；若a＝2，则C的离心率为 ＝ ，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕如图所示，一个底面半径为 的圆柱被与其底面成45°角的 平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是（　　） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 ＋ ＝1 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：圆柱的底面半径是 ，直径是2 ，所以椭圆的长轴长2a＝ ＝4，a＝2，A正确；短轴长2b＝2 ，b＝ ，则c＝ ＝ ，离心率e＝ ＝ ，B错误；建立适当的坐标系，椭圆的方程可以为 ＋ ＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－ ，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点之间的距离为 焦距的 倍，则C的离心率为 　​ 　. 解析：设椭圆C： ＋ ＝1的半焦距为c，由题意可得 ＝2 c，整理得2a2－c2＝8c2，因此e2＝ ＝ ，所以C的离心率为e＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知F1，F2为椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标 原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积 为 ⁠. 解析：根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为 对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m， 则｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋（8－ m）2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2－b2）＝48，得m（8－ m）＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜×｜PF2｜＝m（8－m） ＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知椭圆C的方程为 ＋ ＝1，其中P1，P2，…，P9依次将椭圆C的 下半部分分成10等份，若F是椭圆的右焦点，则｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜ P7F｜＋｜P8F｜＝ ⁠. 解析：由a2＝25，可得a＝5，设椭圆C的左焦点为F1，连接P2F1，P3F1，由椭圆的对称性，可得｜P2F1｜＝｜P8F｜，｜P3F1｜＝｜P7F｜，所以｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P7F｜＋｜P8F｜＝4a＝20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的焦点分别为F1，F2，且 F2（ ，0），上顶点为（0， ）. （1）求椭圆的标准方程； 解：由已知得c＝ ，b＝ ，又a2＝b2＋c2，所以a2＝9， 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）点P在椭圆上，若｜PF1｜＝4，求∠F1PF2的大小. 解：点P在椭圆上，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，因为｜PF1｜＝4，所以｜PF2｜＝2. 所以 cos ∠F1PF2＝ ＝－ ，所以∠F1PF2＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 〔一题多解〕已知O为坐标原点，A，B，F分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0） 的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且 PF⊥OF. 若AB∥OP，则椭圆C的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　法一（通解）　由题可知，点P在第一象限，设 P点的纵坐标为yP，令C： ＋ ＝1（a＞b＞0）中x＝ c，则yP＝ ，所以P（c， ），所以kOP＝ .因为A （－a，0），B（0，b），所以kAB＝ .因为AB∥OP，所以kAB＝kOP，则 ＝ ，即b＝c，则a＝ ＝ c，所以e＝ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 法二（速解）　由题意知，椭圆的半通径｜PF｜＝ ，AB∥OP，所以△OPF∽△ABO，则 ＝ ，即b＝c，所以e＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 若椭圆E：x2＋ ＝1（0＜m＜1）上存在点P，满足｜OP｜＝m （O为坐标原点），则E的离心率的取值范围为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，由 题意知a＝1，b＝ ，c＝m，由椭圆E上存在点P满足｜OP｜＝ m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b，所以 c2≥b2＝a2－c2，解得 ≥ ，所以e＝ ≥ .又0＜e＜1，所以E的离心 率的取值范围为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆 上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于点Q，离心率e＝ ，若 ＝λ ，则λ＝ 　​ 　. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：设｜ ｜＝m，｜ ｜＝n，则有m2＋n2＝4c2， m＋n＝2a＝2× c＝ c，则（m＋n）2＝m2＋n2＋ 2mn＝ c2，即2mn＝ c2－4c2＝ c2，则（m－n）2＝ m2＋n2－2mn＝4c2－ c2＝ c2，即m－n＝ c，即m＝ ＝ c，n＝ ＝ c，则｜ ｜＝λ｜ ｜＝λm＝ λc，由｜ ｜＝｜ ｜，则有（ λc）2＝（ c－ λc）2＋（ c）2，整理得8λ＝5，即λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c， 0），F2（c，0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的 距离为 b. （1）求椭圆C的离心率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解：由题意得，A（－a，0），直线EF2的方程为x＋y＝c， 因为A到直线EF2的距离为 b，即 ＝ b， 所以a＋c＝ b，即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以（a＋c）2 ＝3（a2－c2），所以2c2＋ac－a2＝0， 即2e2＋e－1＝0，解得e＝ 或e＝－1（舍去），所以椭圆C的离心率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为 ，求 椭圆C的标准方程. 解：由（1）知离心率e＝ ＝ ，即a＝2c，　① 因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为 ，则 ｜PF1｜｜PF2｜ sin 60° ＝ ，所以｜PF1｜｜PF2｜＝4，由方程​ 得a2－c2＝3，　② 联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $