第4章 三角形 单元复习（8大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

第4章 三角形 知识点1：三角形的定义与分类 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，记作。 2.按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 3.按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。 知识点2：三角形的三边关系 1.三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 2.判定技巧：两短边之和>最长边，即可构成三角形。 3.取值范围：已知两边a,b，则第三边满足。 知识点3：三角形的内角和与外角性质 1.内角和定理：三角形三个内角和等于。 2.推论：直角三角形两锐角互余。 3.外角性质：一个外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角。 知识点4：三角形的三条重要线段 线段类型 定义 交点位置 核心性质 中线 顶点→对边中点 内部（重心） 平分面积； 角平分线 内角平分线→对边 内部（内心） 平分内角；到两边距离相等 高线 顶点→对边垂线 内/直角顶点/外 垂直对边；用于求高与面积 知识点5：三角形的稳定性 1.性质：三角形三边确定，形状大小唯一固定，具有稳定性。 2.应用：桥梁、支架、屋顶钢架、折叠椅等。 知识点6：全等三角形的概念与性质 1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作。 2.性质：对应边相等；对应角相等；对应中线、高、角平分线相等；周长、面积相等。 知识点7：全等三角形的判定 1. SSS：三边对应相等→全等。 2. SAS：两边及其夹角对应相等→全等。 3. ASA：两角及其夹边对应相等→全等。 4. AAS：两角及其中一角对边对应相等→全等。 5.注意：SSA不能判定全等；书写时对应顶点对齐。 知识点8：全等变换与尺规作图 1.全等变换：平移、翻折、旋转前后图形全等。 2.尺规作三角形：依据SSS、SAS、ASA作图。 3.利用全等测距离：将不可测距离转化为可测线段。 【基础必考题型】 【题型1】三角形的概念与分类判断 1.核心知识点: 三角形定义；按边/按角分类；等边/等腰区别 2.解题方法技巧: 抓住“不在同一直线、首尾顺次相接”两个关键词 直角三角形有1个直角；钝角三角形有1个钝角 【例题1】.（25-26八年级上·河南开封·期末）已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 【答案】 钝角 直角 锐角 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． （1）（2）（3）利用三角形内角和定理计算未知角，根据角度大小判断三角形类型。 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和定理，． 由于，因此该三角形是钝角三角形． 故答案为：；钝角． （2）设三角形三个内角分别为，，， 根据三角形内角和定理，， 即， 解得． 因此角度分别为，，． 由于有一个角为，因此该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． （3）在中，，比小， 因此． 根据三角形内角和定理，． 所有角均小于，因此该三角形是锐角三角形． 故答案为：；锐角． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江金华·月考）若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 【题型2】三边关系与构成判断 1.核心知识点: 两边之和>第三边；两边之差<第三边；取值范围 2.解题方法技巧: 口诀：两短相加大于长，一定能成三角形 等腰三角形分类讨论腰与底，必验三边关系 【例题2】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、， ∴长度为的线段能组成三角形，选项A符合题意； B、， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项B不符合题意； C、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项 C不符合题意； D、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项D不符合题意． 【变式题2-1】.（2026·浙江金华·二模）已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的两边长分别为和， ∴第三边，即第三边． ∴第三边可以是，答案不唯一． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【详解】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【分析】分腰长为4和底边长为4这两种情况，根据三角形的周长公式求出对应的底边长或腰长，结合三角形三边关系验证即可求解． 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为 ， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 【题型3】三角形内角和与角度计算 1.核心知识点: 内角和；直角三角形两锐角互余；外角性质 2.解题方法技巧: 设未知数用方程思想；直角三角形直接用“互余” 外角=不相邻两内角和，快速倒角 【例题3】.（25-26七年级下·山东菏泽·期中）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是_____． 【答案】/70度 【分析】先确定三角尺中与角互余的角；再利用对顶角相等求得，进一步利用三角形内角和求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，三角尺中与互余的角：， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 【答案】15 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，点在上，且．求的度数． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，根据平行线的性质，求出的度数. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴. 【变式题3-3】.（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）由三角形内角和求出的度数，由平分，得出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型4】中线、角平分线、高线识别 1.核心知识点: 三种线段定义、图形、交点位置；中线平分面积 2.解题方法技巧: 看图抓特征：中点→中线；角符号→角平分线；直角符号→高线 中线常用结论： 【例题4】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B．过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的角平分线是线段 【答案】D 【分析】根据垂线段性质，点到直线距离的定义，三角形高线交点的位置，三角形角平分线的定义，逐个判断选项即可得出正确结论. 【详解】解：A.垂线段最短的性质是：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项未说明是直线外一点，故原说法错误，不符合题意； B.点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，不是线段本身，故原说法错误，不符合题意； C.直角三角形三条高所在直线交于直角顶点，交点在三角形的边上，既不在三角形内也不在三角形外，故原说法错误，不符合题意； D.三角形的角平分线定义是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，则三角形的角平分线是线段，故原说法正确，符合题意. 【变式题4-1】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 【题型5】三角形稳定性应用 1.核心知识点: 三角形具有稳定性；四边形不具有稳定性 2.解题方法技巧: 生活实例：钢架、支架、三角凳；加固方法：加木条构三角形 【例题5】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性、四边形及以上多边形具有不稳定性的特性，判断哪个选项中包含三角形结构，从而选出不易变形的图形． 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、六边形等多边形具有不稳定性， 选项B（平行四边形）、选项C（含长方形）、选项D（六边形）均为易变形的图形，选项A中含有三角形结构，具有稳定性，不易变形．故其中不容易变形的是选项A． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 【变式题5-2】.（2026·广西梧州·一模）如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：由题意得，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 【培优高频题型】 【题型6】全等三角形性质与判定综合 1.核心知识点: 先用判定证全等，再用性质得边等/角等 2.解题方法技巧: 书写规范：先证全等（注明依据），再得结论 一步全等得一组结论，多步全等链起来 【例题6】.（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（2026·福建宁德·一模）如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定定理证明，即可得到证明． 【详解】解：，， ， 即， 又，， ， ． 【变式题6-2】.（2026·河北沧州·二模）下面是嘉嘉作业本上一道习题及解答过程： 已知：如图．，于点，于点，与交于点，且，连接． 求证：为等边三角形． 证明：，， ， 又，， （① ）． ② 又， 为等边三角形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据证明，得到即可 【详解】证明：，， ， 又，， （）． 又， 为等边三角形． 【变式题6-3】.（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，进而证明，进而得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【题型7】尺规作图与全等应用 1.核心知识点: 依据SSS/SAS/ASA作三角形；利用全等测距离 2.解题方法技巧: 作图保留痕迹；测距离转化为“证全等→得线段相等” 【例题7】.（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! (1)指出小安作法中存在的问题． (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识． （1）根据不能判定三角形全等可得结论； （2）根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结， 此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等． （2）证明：如图2中，∵， ， 由作图可得， 在和中， ， ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点，且． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹） (2)小明得出结论：≌，他判定三角形全等的依据是____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键． （1）作即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角． （2）∵， ∴ ， 在和， ， ∴． 故答案为：． 【变式题7-3】.（24-25七年级上·河南郑州·期末）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的做法是否正确？________（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的做法都正确    B．小明的做法正确，小华的做法不正确 C．小明的做法不正确，小华的做法正确    D．小明和小华的做法都不正确 (2)①如图，已知，请你借助尺规，以为一边，在的左侧作，使（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的基础上，若为的平分线，求的度数． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作一个角等于已知角，角度的和差计算； （1）根据全等三角形的判定方法，根据作图可得，即可得出结论； （2）①按照尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； ②根据已知以及作图可得，进而根据角平分线的定义以及角度的和差，即可求解． 【详解】（1）解：小明的做法：， ∴， ∴，即， 小华的做法：， ∴， ∴，即， 综上所述，小明和小华的做法都正确， 故答案为：A． （2）解：如图所示 （任选一种方法即可） ②如图所示 ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】一线三等角全等模型 1.核心知识点: 一线上三个等角→得两组角相等，证ASA/AAS全等 2.解题方法技巧: 直角版最常见：同角余角相等→快速得角等 口诀：一线三等角，全等跑不了 【例题8】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、． (1)证明：； (2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据证明，进而可得； （2）连接，证明都是等腰直角三角形，得出，证明，得出，．由（1）知，，从而，可得，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵的垂直平分线交线段、于点、， ∴． ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握 全等判定、直角三角形的角互余关系； （1）先证 ，再利用全等对应边相等推导； （2）同理证明全等，结合线段位置关系得 ； （3）类比前两问，根据全等三角形的性质得到 ． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． ②由①知，≌， ∴，， ∴． （2）解：同理可得， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴． （3）解： 同理可得≌， ∴，， ∴． 【点睛】解决这类旋转型全等问题的核心是抓住 “” 和 “角互余” 这两个不变条件，无论直线如何旋转，都能通过 证明 ，再根据线段的位置关系推导 与 的和差关系．注意旋转后线段的位置变化，避免和差符号错误． 【题型9】倍长中线与构造全等 1.核心知识点: 倍长中线→构造8字型全等→转化线段与角 2.解题方法技巧: 见中线，倍长它，对顶全等就出现 把分散线段集中到一个三角形，用三边关系 【例题9】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【题型10】动点全等与最值综合 1.核心知识点: 动点速度、时间、路程；全等分类讨论；最短路径 2.解题方法技巧: 设时间，用表示线段长 全等分情况：对应关系不同，列式不同 最值：垂直最短、对称最短、面积最值 【例题10】.（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 【变式题10-1】.（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或6 【分析】本题主要查了全等三角形的性质．分三种情况讨论，当E在线段上时，此时D在线段上，当E在线段上，且D在线段上时，当E到达A时，且D在线段上，即可求解． 【详解】解：∵， ∴分别以为斜边的直角三角形， ∴当D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等时，， 当E在线段上，D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E在线段上，且D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E到达A时，且D在线段上，此时，则 ，， ∴， 解得：， 综上所述：当t的值为1或或6时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或或6 【变式题10-3】.（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①垂直；②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①利用等腰直角三角形的性质得到，再证明，即可得出结论；②同理①证明，即可得出结论； （2）过点C作交的延长线于点D，同理证明，即可得出结论 【详解】（1）①问题初现：垂直；理由如下： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ． ． ． ； ②深入探究： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ， ． ． ． ． （2）解：，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点D， ． ． ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 易错点 1.判定三角形时，忽略两边之和>第三边，直接用两边之差<第三边。 2.等腰三角形未分类讨论腰和底，导致漏解或错解。 3.全等判定误用SSA；书写时对应顶点不对齐。 4.钝角三角形的高在外部，画图与计算时漏看位置。 5.角度计算漏用外角性质，只会硬算内角和。 6.动点全等只考虑一种对应，未分类讨论。 重点 1.三角形三边关系、内角和定理、外角性质。 2.中线、角平分线、高线的识别与简单应用。 3.三角形稳定性的实际应用。 4.全等三角形的4种判定方法与性质应用。 5.平移、翻折、旋转全等模型识别。 难点 1.全等三角形隐含条件挖掘与模型识别（平移、翻折、旋转、一线三等角）。 2.等腰三角形、高线位置、动点全等的分类讨论。 3.倍长中线等辅助线构造全等三角形。 4.动点问题中用参数表示线段、分类讨论全等。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，6 C．6，8，10 D．5，15，8 【答案】C 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形． C．，能组成三角形． D．，不能组成三角形． 2．如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】解：∵ 三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴在中，边上的高应是过点且垂直于所在直线的线段， 由图可知，的延长线于点， ∴ 边上的高是． 3．如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 二、填空题 4．如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：①；②，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等，分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得：， ，， 将代入，得，解得； 情况2：， 此时对应边：，， ，即， 解得：， ，， 将代入，得，解得， 综上，的值为或． 6．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ∴，即， 在和中， ， ． 8．按要求解题： (1)根据语句画出图形． 直线，相交于点，点是直线，外的一点，直线与直线平行，且与直线相交于点． (2)命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由，如果不是，请举出反例并说明． 【答案】(1)见解析 (2)不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查尺规作图： （1）作直线，相交于点，过点作直线，与交于点，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，以点为圆心，以为半径作弧，交前弧于点，且点与点均位于直线同侧，作直线，交于点； （2）两直线平行，同位角相等． 【详解】（1）图形如图所示． （2）不正确，理由如下： 如图所示，直线与直线不平行，与为同位角，但，所以命题“同位角相等”不正确． 9．如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离 请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径． 【答案】福塔底座的直径为 【分析】选择方案：根据平行线的性质，得，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：选择方案①： ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为； 选择方案②． 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为． 10．某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 (1)已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 (2)在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①　　　②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）容易得到，，推出，即可证明结论； （2）①容易得到，，推出，证得，得到；②分三种情况讨论：当点在上运动时，当点在的延长线上运动且点在线段上时，当点在的延长线上运动且点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴． 在和中 ，，， ∴． （2）解：①∵， ∴，． ∴． 在和中， ，，． ∴． ∴． ∴． ②（Ⅰ）当点在上运动时，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 设，则，，． ∴． ∵， ∴，即． 解得（舍去）． （Ⅱ）当点在的延长线上运动，且点在线段上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． （Ⅲ）当点在的延长线上运动，且点在线段的延长线上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． 综上所述，或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 三角形 知识点1：三角形的定义与分类 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，记作。 2.按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 3.按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。 知识点2：三角形的三边关系 1.三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 2.判定技巧：两短边之和>最长边，即可构成三角形。 3.取值范围：已知两边a,b，则第三边满足。 知识点3：三角形的内角和与外角性质 1.内角和定理：三角形三个内角和等于。 2.推论：直角三角形两锐角互余。 3.外角性质：一个外角等于与它不相邻的两个内角和；外角大于任何一个不相邻内角。 知识点4：三角形的三条重要线段 线段类型 定义 交点位置 核心性质 中线 顶点→对边中点 内部（重心） 平分面积； 角平分线 内角平分线→对边 内部（内心） 平分内角；到两边距离相等 高线 顶点→对边垂线 内/直角顶点/外 垂直对边；用于求高与面积 知识点5：三角形的稳定性 1.性质：三角形三边确定，形状大小唯一固定，具有稳定性。 2.应用：桥梁、支架、屋顶钢架、折叠椅等。 知识点6：全等三角形的概念与性质 1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作。 2.性质：对应边相等；对应角相等；对应中线、高、角平分线相等；周长、面积相等。 知识点7：全等三角形的判定 1. SSS：三边对应相等→全等。 2. SAS：两边及其夹角对应相等→全等。 3. ASA：两角及其夹边对应相等→全等。 4. AAS：两角及其中一角对边对应相等→全等。 5.注意：SSA不能判定全等；书写时对应顶点对齐。 知识点8：全等变换与尺规作图 1.全等变换：平移、翻折、旋转前后图形全等。 2.尺规作三角形：依据SSS、SAS、ASA作图。 3.利用全等测距离：将不可测距离转化为可测线段。 【基础必考题型】 【题型1】三角形的概念与分类判断 1.核心知识点: 三角形定义；按边/按角分类；等边/等腰区别 2.解题方法技巧: 抓住“不在同一直线、首尾顺次相接”两个关键词 直角三角形有1个直角；钝角三角形有1个钝角 【例题1】.（25-26八年级上·河南开封·期末）已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形． （2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形． （3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形． 【答案】 钝角 直角 锐角 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． （1）（2）（3）利用三角形内角和定理计算未知角，根据角度大小判断三角形类型。 【详解】解：（1）在中，， 根据三角形内角和定理，． 由于，因此该三角形是钝角三角形． 故答案为：；钝角． （2）设三角形三个内角分别为，，， 根据三角形内角和定理，， 即， 解得． 因此角度分别为，，． 由于有一个角为，因此该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． （3）在中，，比小， 因此． 根据三角形内角和定理，． 所有角均小于，因此该三角形是锐角三角形． 故答案为：；锐角． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江金华·月考）若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 【题型2】三边关系与构成判断 1.核心知识点: 两边之和>第三边；两边之差<第三边；取值范围 2.解题方法技巧: 口诀：两短相加大于长，一定能成三角形 等腰三角形分类讨论腰与底，必验三边关系 【例题2】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、， ∴长度为的线段能组成三角形，选项A符合题意； B、， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项B不符合题意； C、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项 C不符合题意； D、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项D不符合题意． 【变式题2-1】.（2026·浙江金华·二模）已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的两边长分别为和， ∴第三边，即第三边． ∴第三边可以是，答案不唯一． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【详解】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【分析】分腰长为4和底边长为4这两种情况，根据三角形的周长公式求出对应的底边长或腰长，结合三角形三边关系验证即可求解． 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为 ， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 【题型3】三角形内角和与角度计算 1.核心知识点: 内角和；直角三角形两锐角互余；外角性质 2.解题方法技巧: 设未知数用方程思想；直角三角形直接用“互余” 外角=不相邻两内角和，快速倒角 【例题3】.（25-26七年级下·山东菏泽·期中）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是_____． 【答案】/70度 【分析】先确定三角尺中与角互余的角；再利用对顶角相等求得，进一步利用三角形内角和求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，三角尺中与互余的角：， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 【答案】15 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，点在上，且．求的度数． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，根据平行线的性质，求出的度数. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴. 【变式题3-3】.（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）由三角形内角和求出的度数，由平分，得出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型4】中线、角平分线、高线识别 1.核心知识点: 三种线段定义、图形、交点位置；中线平分面积 2.解题方法技巧: 看图抓特征：中点→中线；角符号→角平分线；直角符号→高线 中线常用结论： 【例题4】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B．过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的角平分线是线段 【答案】D 【分析】根据垂线段性质，点到直线距离的定义，三角形高线交点的位置，三角形角平分线的定义，逐个判断选项即可得出正确结论. 【详解】解：A.垂线段最短的性质是：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项未说明是直线外一点，故原说法错误，不符合题意； B.点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，不是线段本身，故原说法错误，不符合题意； C.直角三角形三条高所在直线交于直角顶点，交点在三角形的边上，既不在三角形内也不在三角形外，故原说法错误，不符合题意； D.三角形的角平分线定义是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，则三角形的角平分线是线段，故原说法正确，符合题意. 【变式题4-1】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 【题型5】三角形稳定性应用 1.核心知识点: 三角形具有稳定性；四边形不具有稳定性 2.解题方法技巧: 生活实例：钢架、支架、三角凳；加固方法：加木条构三角形 【例题5】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性、四边形及以上多边形具有不稳定性的特性，判断哪个选项中包含三角形结构，从而选出不易变形的图形． 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、六边形等多边形具有不稳定性， 选项B（平行四边形）、选项C（含长方形）、选项D（六边形）均为易变形的图形，选项A中含有三角形结构，具有稳定性，不易变形．故其中不容易变形的是选项A． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 【变式题5-2】.（2026·广西梧州·一模）如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：由题意得，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 【培优高频题型】 【题型6】全等三角形性质与判定综合 1.核心知识点: 先用判定证全等，再用性质得边等/角等 2.解题方法技巧: 书写规范：先证全等（注明依据），再得结论 一步全等得一组结论，多步全等链起来 【例题6】.（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（2026·福建宁德·一模）如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定定理证明，即可得到证明． 【详解】解：，， ， 即， 又，， ， ． 【变式题6-2】.（2026·河北沧州·二模）下面是嘉嘉作业本上一道习题及解答过程： 已知：如图．，于点，于点，与交于点，且，连接． 求证：为等边三角形． 证明：，， ， 又，， （① ）． ② 又， 为等边三角形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据证明，得到即可 【详解】证明：，， ， 又，， （）． 又， 为等边三角形． 【变式题6-3】.（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，进而证明，进而得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【题型7】尺规作图与全等应用 1.核心知识点: 依据SSS/SAS/ASA作三角形；利用全等测距离 2.解题方法技巧: 作图保留痕迹；测距离转化为“证全等→得线段相等” 【例题7】.（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! (1)指出小安作法中存在的问题． (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识． （1）根据不能判定三角形全等可得结论； （2）根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结， 此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等． （2）证明：如图2中，∵， ， 由作图可得， 在和中， ， ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点，且． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹） (2)小明得出结论：≌，他判定三角形全等的依据是____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键． （1）作即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角． （2）∵， ∴ ， 在和， ， ∴． 故答案为：． 【变式题7-3】.（24-25七年级上·河南郑州·期末）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的做法是否正确？________（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的做法都正确    B．小明的做法正确，小华的做法不正确 C．小明的做法不正确，小华的做法正确    D．小明和小华的做法都不正确 (2)①如图，已知，请你借助尺规，以为一边，在的左侧作，使（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的基础上，若为的平分线，求的度数． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作一个角等于已知角，角度的和差计算； （1）根据全等三角形的判定方法，根据作图可得，即可得出结论； （2）①按照尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； ②根据已知以及作图可得，进而根据角平分线的定义以及角度的和差，即可求解． 【详解】（1）解：小明的做法：， ∴， ∴，即， 小华的做法：， ∴， ∴，即， 综上所述，小明和小华的做法都正确， 故答案为：A． （2）解：如图所示 （任选一种方法即可） ②如图所示 ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】一线三等角全等模型 1.核心知识点: 一线上三个等角→得两组角相等，证ASA/AAS全等 2.解题方法技巧: 直角版最常见：同角余角相等→快速得角等 口诀：一线三等角，全等跑不了 【例题8】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、． (1)证明：； (2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据证明，进而可得； （2）连接，证明都是等腰直角三角形，得出，证明，得出，．由（1）知，，从而，可得，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵的垂直平分线交线段、于点、， ∴． ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握 全等判定、直角三角形的角互余关系； （1）先证 ，再利用全等对应边相等推导； （2）同理证明全等，结合线段位置关系得 ； （3）类比前两问，根据全等三角形的性质得到 ． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． ②由①知，≌， ∴，， ∴． （2）解：同理可得， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴． （3）解： 同理可得≌， ∴，， ∴． 【点睛】解决这类旋转型全等问题的核心是抓住 “” 和 “角互余” 这两个不变条件，无论直线如何旋转，都能通过 证明 ，再根据线段的位置关系推导 与 的和差关系．注意旋转后线段的位置变化，避免和差符号错误． 【题型9】倍长中线与构造全等 1.核心知识点: 倍长中线→构造8字型全等→转化线段与角 2.解题方法技巧: 见中线，倍长它，对顶全等就出现 把分散线段集中到一个三角形，用三边关系 【例题9】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【题型10】动点全等与最值综合 1.核心知识点: 动点速度、时间、路程；全等分类讨论；最短路径 2.解题方法技巧: 设时间，用表示线段长 全等分情况：对应关系不同，列式不同 最值：垂直最短、对称最短、面积最值 【例题10】.（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 【变式题10-1】.（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或6 【分析】本题主要查了全等三角形的性质．分三种情况讨论，当E在线段上时，此时D在线段上，当E在线段上，且D在线段上时，当E到达A时，且D在线段上，即可求解． 【详解】解：∵， ∴分别以为斜边的直角三角形， ∴当D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等时，， 当E在线段上，D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E在线段上，且D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E到达A时，且D在线段上，此时，则 ，， ∴， 解得：， 综上所述：当t的值为1或或6时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或或6 【变式题10-3】.（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①垂直；②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①利用等腰直角三角形的性质得到，再证明，即可得出结论；②同理①证明，即可得出结论； （2）过点C作交的延长线于点D，同理证明，即可得出结论 【详解】（1）①问题初现：垂直；理由如下： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ． ． ． ； ②深入探究： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ， ． ． ． ． （2）解：，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点D， ． ． ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 易错点 1.判定三角形时，忽略两边之和>第三边，直接用两边之差<第三边。 2.等腰三角形未分类讨论腰和底，导致漏解或错解。 3.全等判定误用SSA；书写时对应顶点不对齐。 4.钝角三角形的高在外部，画图与计算时漏看位置。 5.角度计算漏用外角性质，只会硬算内角和。 6.动点全等只考虑一种对应，未分类讨论。 重点 1.三角形三边关系、内角和定理、外角性质。 2.中线、角平分线、高线的识别与简单应用。 3.三角形稳定性的实际应用。 4.全等三角形的4种判定方法与性质应用。 5.平移、翻折、旋转全等模型识别。 难点 1.全等三角形隐含条件挖掘与模型识别（平移、翻折、旋转、一线三等角）。 2.等腰三角形、高线位置、动点全等的分类讨论。 3.倍长中线等辅助线构造全等三角形。 4.动点问题中用参数表示线段、分类讨论全等。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，6 C．6，8，10 D．5，15，8 【答案】C 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形． C．，能组成三角形． D．，不能组成三角形． 2．如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】解：∵ 三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴在中，边上的高应是过点且垂直于所在直线的线段， 由图可知，的延长线于点， ∴ 边上的高是． 3．如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 二、填空题 4．如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：①；②，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等，分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得：， ，， 将代入，得，解得； 情况2：， 此时对应边：，， ，即， 解得：， ，， 将代入，得，解得， 综上，的值为或． 6．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ∴，即， 在和中， ， ． 8．按要求解题： (1)根据语句画出图形． 直线，相交于点，点是直线，外的一点，直线与直线平行，且与直线相交于点． (2)命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由，如果不是，请举出反例并说明． 【答案】(1)见解析 (2)不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查尺规作图： （1）作直线，相交于点，过点作直线，与交于点，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，以点为圆心，以为半径作弧，交前弧于点，且点与点均位于直线同侧，作直线，交于点； （2）两直线平行，同位角相等． 【详解】（1）图形如图所示． （2）不正确，理由如下： 如图所示，直线与直线不平行，与为同位角，但，所以命题“同位角相等”不正确． 9．如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离 请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径． 【答案】福塔底座的直径为 【分析】选择方案：根据平行线的性质，得，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：选择方案①： ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为； 选择方案②． 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为． 10．某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 (1)已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 (2)在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①　　　②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）容易得到，，推出，即可证明结论； （2）①容易得到，，推出，证得，得到；②分三种情况讨论：当点在上运动时，当点在的延长线上运动且点在线段上时，当点在的延长线上运动且点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴． 在和中 ，，， ∴． （2）解：①∵， ∴，． ∴． 在和中， ，，． ∴． ∴． ∴． ②（Ⅰ）当点在上运动时，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 设，则，，． ∴． ∵， ∴，即． 解得（舍去）． （Ⅱ）当点在的延长线上运动，且点在线段上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． （Ⅲ）当点在的延长线上运动，且点在线段的延长线上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． 综上所述，或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $