2026年高考数学考前信心卷（02）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前信心卷（02） 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学 第4页（共6页） 高三数学 第5页（共6页） 高三数学 第6页（共6页） 高三数学 第1页（共6页） 高三数学 第2页（共6页） 高三数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前信心卷（02） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A．24 B．48 C．60 D．72 3. 已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 5. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 6. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为2 B. C. D. 当取得最大值时，或7 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B． C．在上单调递增 D．是偶函数 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 13．已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是__________． 14. 已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)= __________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. （1）当时，记集合，求中元素之和； （2）求的最小值. 16．（15分）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 17．（15分）已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，证明不等式在上恒成立. 18.（17分）在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 （1）求C的方程． （2）已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 高三数学 第一次模拟 第3页（共4页） 高三数学 第一次模拟 第4页（共4页） 高三数学 第一次模拟 第1页（共4页） 高三数学 第一次模拟 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前信心卷（02） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A．24 B．48 C．60 D．72 3. 已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 5. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 6. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为2 B. C. D. 当取得最大值时，或7 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B． C．在上单调递增 D．是偶函数 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 13．已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是__________． 14. 已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)= __________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. （1）当时，记集合，求中元素之和； （2）求的最小值. 16．（15分） 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 17．（15分） 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，证明不等式在上恒成立. 18.（17分） 在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 （1）求C的方程． （2）已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前信心卷（02） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为，若，则，若，则，若，则，所以，又，. 2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A．24 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【解析】要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D. 3. 已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，， 则的共轭复数是，故选项C正确. 4．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是定义域为的奇函数，可得，，令，得，令，得，又函数为上的奇函数，故. 5. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】因为，又因为所有回归方程都过样本中心，所以将点代入回归方程，得，解得. 6. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】因为，，所以. 由，得，即， 整理得，解得，或（舍去）． 7. 设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】对于直线的方程为，令，则，，， 即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得， . 8. 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于，记的中点为点M，则的中点也为点M，如下图： 显然直线的斜率一定存在，设直线，，， 则，，于是， 则，，， 由，，两式相减可得， 即，得. 又，所以E为的中点，则，可得. 又因为，即， 所以，可得，即，解得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为2 B. C. D. 当取得最大值时，或7 【答案】BC 【解析】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B． C．在上单调递增 D．是偶函数 【答案】ACD 【解析】； 对A：当时，，由关于点对称， 故的图象关于点对称，故A正确； 对B：，故不恒成立，故B错误； 对C：当时，，由在上单调递增， 故在上单调递增，故C正确； 对D：， 由为偶函数，故为偶函数，故D正确. 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】ABD 【解析】因为是偶函数，所以，则， 所以函数的图象关于直线对称， 由两边求导得，得， 令，则，A正确； 因为函数为偶函数，所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 所以函数，则， 所以，则，故，B正确； 因为的周期为，且，故， 所以，为常数，因此， 由，所以，则， 由，故，故，即， 所以函数的图象关于直线对称，C错误； 因为，所以，且， 又，所以，则， 综上，， 所以，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 【答案】14 【解析】 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，， 所以原图形周长是 故答案为：14 13．已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是__________． 【答案】. 【解析】设圆心坐标为,点和在圆上， ，即，解之得，可得圆心为. 半径,圆的方程为. 故答案为：. 14. 已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)= __________． 【答案】 【解析】若第一次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次也摸到红球，则停止摸球，摸球的总次数为2，此时的概率为 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知数列为正项等比数列，公比，前项和为，. （1）当时，记集合，求中元素之和； （2）求的最小值. 【解析】（1）当时，由，得， 所以，解得，所以，则， 由，得， 因为，所以， 所以中元素之和为； （2）由，得，所以， 所以，令，则， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为8. 16．（15分） 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 【解析】（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为， ， 因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高． （2）三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3 ， , ， 所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为： 0 2 3 0.108 0.648 0.244 17．（15分） 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，证明不等式在上恒成立. 【解析】（1）当时，，则，，则， 此时函数在处的切线方程为. （2）当时，，要证对任意的恒成立， 即证，即证，即证对任意的恒成立， 构造函数，其中， ，其中，令，则， 对任意的，恒成立，故函数在上单调递增， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，，故原不等式得证. 18.（17分） 在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为2的菱形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为侧面是边长为2的菱形，， 所以，取中点，连接，则， 又因为，所以， 又因为底面侧面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面ABC，所以， 因为，满足，所以， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为侧面是菱形，所以， 又因为，、平面，所以平面； （2）以为坐标原点，AC，AD，AB所在直线的方向分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 故，， 设平面与的法向量分别为、， 则，，即，， 令，则，，，， 所以，所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．（17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 （1）求C的方程． （2）已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 【解析】（1）由双曲线性质可知： ， 由，则， 焦点到渐近线的距离为， 再由， 所以双曲线的方程为：； （2）（i）由（1）得：，设，其中， 因为所以，则有， 又因为，所以，即， 代入上式可得： 若选①(O为坐标原点)， 则，将代入上式可得： ，由， 则可得，故点P在圆上． 若选②点P在圆上，则， 由，可得 ，故； （ii）若点P在圆上，则， 又由， 则 ， 因为，所以，即， 因为，所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $