湖南郴州市2026届高三下学期教学质量监测数学试题

姓名 2026届高三教学质量监测 准考证号 数学 (满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2。回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 4.本试题卷共6页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.已知集合A={x|(x-2)(x+1)≤0}，B={x=2k,k∈，则A∩B= A.{-2,09 B.{0,2} C.{09 D.{2 2.若复数z满足i:z=1-i,则复平面内表示复数z的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.以A(2,3),B（6,7),C（13,0),D（9,-4)为顶点的四边形是 A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.正方形 4.(x2)的二项展开式中所有项的系数的最大值为 A.84 B.128 C.240 D.560 5.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（号，网上单调递减的是 A.y=cosx B.y=sin2x C.y=tanx D.yc0 高三数学试题第1页（共6页) 6.若直线y=x-2上存在点P,圆(x+m)2+y2=1上存在点Q,使得P=(Q,0),则m的最大 值为 A.-1 B.3-√2 C.-3+2 D.3 1.阅读材料：空间直角坐标系0-y中，过点P(x,o,)且一个法向量为n=(a,b,c)的平 面a的方程为a(x-x)+b(y-y)+c(2-2)=0,阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a 的方程为2x+y+z=2,点2(2,1，-1)，则点Q到平面a距离为 A.6 B.6 c.6 D.1 6 3 2 8已知实数x,y满足血(2x+y)-e+2y-x+y+2=0,则上的值为 1 A.1 B.2 c.-1 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点，若弦AB的中点为 P(6,2),则 A.F的坐标为1,0) B.直线AB的斜率为-1 C.点P到准线的距离为4 D.FA FB=8 10.2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化某处灯光的亮度变化可以近似 用三角函数f)=sm2x+孕0<w<2)来捕述，这个三角函数的图象如图所示，则 A.∫(x)的最小正周期为元 B=心+？是偶函数 Cy=)+smx的图象关于点（名0对称 D.若y=fc北>0)在[0，)上有且仅有两个极值点，则：∈66 713 高三数学试题第2页（共6页） 1.已知正四棱台ABCD-4B,CD,的体积为104正，B=6,AB=2,则下列正确的有 3 A.此四棱台的侧面积为323 B,若M是AD,的中点，则平面BDM截此四棱台所得截面的面积为7√17 C.若点N为平面AACC截此四棱台所得截面上的动点，且BN=2√5，则N的轨迹长度为√2元 D.若点P为棱CC上的动点，则BP+PD的最小值为6√3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12已知椭圆C:兰+后1(。>60)的长轴长是短错长的2倍，则精圆C的离心率 e= 13.已知函数f(x)=e2:与函数y=g(x)互为反函数，若P,Q分别为它们图象上的两个动点， 则这两点之间距离的最小值为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcosC,acosA,ccosB成 等差数列，且b-1,若O是△ABC外接圆的圆心，则△OAC和△OBC面积之差的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题13分尼知函数2sin2x,g-x,x∈(0，设曲线)ye5)ge在区间0引 、2 内的交点为P. (1)求点P的坐标； (2)设两曲线在点P处的切线夹角为0，求sin0. 高三数学试题第3页（共6页) 16.（本题15分)在棱长为3的正方体OABC-OA'BC中，点E,F分别在线段AB,BC上， 且满足A'F⊥CE. (1)取AF的中点为M,A'A的中点为N,求证：MN∥底面OABC; （2)求证：AE=BF; (3)若CF=1.请问：在线段OO'上是否存在点G,使得二面角G-EF-B为90°？若存在， 求%的值，若不存在，请说明理由， C R 4 0 一 高三数学试题第4页（共6页） 17.(本题15分)某兴趣小组设计一种“量子通信模拟”实验：盒中装有大小、形状完全相同 的红球4个和白球2个，每次从盒中随机摸出1个球，记录颜色后放回规定：摸到红球记为 发送红球信息，摸到白球记为发送白球信息. 发送者甲每次摸球后，随机选择两种编码方式A,B中的一种发送信息；接收者乙收到信息后， 也随机选择A,B中的一种方式进行解码，且二者选择A,B的概率均为)已知：若甲、乙采 用相同编码方式，则乙正确得到该次球颜色的概率为1；若甲、乙采用不同编码方式，则乙正 确得到颜色的概率为分 (1)求乙正确得到该次球颜色的概率P; (2)独立进行3次通信，记随机变量X为这3次中乙显示为红球的次数，求X的概率分 布列及数学期望； (3)现加入窃听者丙每次通信时，丙先接收到甲的信息，并随机选择A,B中的一种方 式进行“窃听”，再将自己的结果发送给乙；乙仍按原规则随机选择方式解码. 设无窃听者时，乙正确得到信息的概率为P1,有窃听者时为P2 (i)求p1,p2 (ⅱ)为判断通信过程中是否存在窃听，独立重复进行n次通信，记乙正确得到信息的次 数为Y规定统计量Z Y-吧，一当乙<-2时，判断通信过程中存在窃听；否则暂不判断存 np -p) 在窃听现进行了64次通信，乙正确得到信息40次，请根据上述标准判断通信过程中是否存 在窃听，并说明理由。 高三数学试题第5页（共6页) 18.（本题17分)已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点为F(-3,0), 点A(1,3)位于双曲线C两支之间的区域，点P为双曲线右支上的动点若△PAF的周长最小 值为9+√13 (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点A的直线与双曲线C交于B,C两点，且A恰为弦BC的中点？若存 在，求该直线方程；若不存在，请说明理由； (3)设双曲线C的右顶点为H.若点M在x轴上，且满足】∠AMH什LAH=90°，求所 2 有满足条件的点M的坐标 19.(本题17分)已知数列(a)为正项数列，且a1l,ta 名，a2&设数列a,的 a +amv2 前n项和为Sn. (1)求数列{am}的通项公式； （2)证明：S.>ln+12m+’ （3)已知数列{bn}满足bw(-I)an,记n}的前n项和为Ta,证明：T2m<ln2<T2r: 高三数学试题第6页（共6页）2026届高三教学质量监测 数学试题答案及评分细则 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1-5 BBACB 6-8 CBD 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9 ACD 10 BCD 11 ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 13. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【参考答案】 解：（1)交点满足2sin2x=tanx. 由sin2x=2 sinxcosx,得4 sinxcosx=sinx (1分) cOSx 因为x∈(0，)，所以sinx>0,cosx>0, 故可化简为4cos2x=1,从而c0sx=是 …(3分) 又x∈(0，)，所以x=子代回求得y=tan号=V3. …(4分) 因此交点坐标为P(行，V③)…(6分) (2)先求两曲线在点P处的切线斜率 对f(x)=2sin2x求导，得f'(x)=4cos2x…(7分) 高三数学答案第1页（共9页） 所以k1=f(假)=4cos写=4（←)=-2.…(8分) 对g)=tanx求导，得g)=o所以k,=9(） 4.…(9分)》 两条切线夹角g满足an6=(0<8<受)》 代入k=-2,k2=4,得an0=别=引=号…仙分) 6 于是sin0= tane 6 6v85 V1+tan20 V85 (13分) 36 85 f1+ 16.【参考答案】 解：(1)因为M是A'F的中点，N是A'A的中点， 所以在三角形A'AF中，MN是中位线.因此MN∥AF.…(1分) 又因为A,F都在底面OABC上， 所以AFC平面OABC.且MW不在底面OABC内，…(2分) 所以MN∥平面OABC… …(3分) (2)以0为坐标原点，分别以0A,0C,00 所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),A'(3,0,3),C(0,3,3). (4分) 设AE=m,BF=n.因为E∈AB,F∈BC, 所以E(3,m,0),F(3-n,3,0). 于是AF=F-A'=(-n,3,-3),CE=E-C=(3,m-3,-3).…(5分) 高三数学答案第2页（共9页） 由题意A'F⊥CE,得A'F·C'E=0.… …(6分) 即(-n)·3+3(m-3)+(-3)(-3)=0.化简得m=n. 因此AE=BF… …(门分) (3)由CF=1,且BC=3,得BF=BC-CF=2. 由第（2)问可知AE=BF=2.所以E(3,2,0),F(1,3,0). 设点G在线段00'上，则G(0,0,t),0≤t≤3.… …(8分)》 要求二面角G-EF-B'为90°，即平面GEF与平面BEF垂直. 先求平面GEF的一个法向量. 有EF=F-E=(-2,1,0),EC=G-E=(-3,-2,t). 设平面GEF的一个法向量为元1=(x,y,z). 因为元1乎，元1武，所以-3x2y+tz=0 -2x+y=0 取x=t,得y=2t,Z=7,… (10分) 则平面GEF的一个法向量为元1=(t,2t,7). 再求平面B'EF的一个法向量. 因为B'(3,3,3),所以EB'=B′-E=(0,1,3). 设平面B'EF的一个法向量为i2=(a,b,c). 因为元上承.1B,所以0： 取a=3,得b=6,c=-2, 则平面BEF的一个法向量为2=(3,6，-2).…(12分) 高三数学答案第3页（共9页） 若平面GEF⊥B′EF,则两个平面的法向量互相垂直，故元1·2=0. 所以（化，2t,7刀(36，-2）=0.即3t+12t-14=0.解得t=普 因为0<若<3，所以满足条件的点G存在.… (13分) 此时0G=总， G0=3-4=3别 15=15 (14分) 14 因此=盏= 14 G0' 31 15 综上，在线段00 上存在点G,且 14 31 ……(15分) G0' 17.【参考答案】 解：（1)记事件S-“甲、乙采用相同编码方式”，C-“乙正确得到该次球颜色”. 因为甲、乙独立随机选择编码方式，且选择A,B的概率均为， ……（1分) 所以PS)=P⑤= 又由题可意知P(C1S)=1, P(C13)= (2分) 由全概率公式，得p=P(C)=P(S)P(CIS)+P(⑤P(CIS 所以p=1+- 22 41 (3分) (2)记事件R=“摸到红球”， H=“乙显示为红球”. 由题意可知P(R)=名= P(风= (4分) 由第(1)问可知，乙正确得到颜色的概率为， 因此乙判断错误的概率为1-是=子 所以P(HIR)- P(HI风)= 高三数学答案第4页（共9页） 由全概率公式，得P(切=PRPH1)+P风P(阳1风=号+号=最…(5分) 独立进行3次通信，故X~B(3,) (6分) 于是x--c ,k=0,1,2,3. 概率分布列为： X 0 1 2 3 125 175 245 343 P(X=k) 1728 576 576 1728 (9分) 数学期望为E0)=3·品=号 (10分) (3)()无窃听者时，由第(1)问可知p1= 3 (11分) 有窃听者时，记D“丙正确得到甲发送的信息”，E“乙正确得到丙转发的信息”. 由题意可知P(D)=子P(E)=子 (12分) 乙最终正确得到甲发送的信息，有两种互斥情形：D∩E, DnE. 因此p2=P(DnE)+P(DnE=P(D)P(E)+P(D)P(E =+8 所以m1=子p2=8 5 (13分) (i)由题意，n=64,Y=40,且=是 代入统计量2=，得z 40-64是 40-48=-8 4 =-后 … (14分) √np1(1-p1) 31 V12 6444 因为一有<一2，所以根据题中判断标准，应判断通信过程中存在窃听. 故结论为：通信过程中存在窃听.… (15分) 高三数学答案第5页（共9页） 18.【参考答案】 解：(1)设右焦点为B,(3,0),双曲线方程为塔-荒=1(a>0,b>0), 由左焦点F(-3,0)得c=3.… …(1分) 因P在右支上，故PF-PF2=2a,即PF=PF2+2a. 所以△PAF的周长为PA+PF+AF=PA+PF2+2a十AF. 又PA+PF2≥AF2, …(2分) 其中AF=√(1+3)2+32=5，AF2=V3-1)2+32=V13. 故周长最小值为2a+5+√13.… …(3分) 由题意得2a+5+V13=9+√13， 所以Q=2.又c=3,故b2=c2-a2=9-4=5.… …(4分) 因此C:-y=1.………5分) 45 (2)设直线与双曲线交于B(x1,y1),C(x2,y2)两，点，且A(1,3)为弦BC的中点， 则x1+x2=2,y1十y2=6.…(6分) 因B,C在双曲线上，所以学-号=1，华-普=1 5 两式相减得1-x2+2--20t2=0. 4 5 代入x1+x2=2,y1+y2=6,得4-60-2=0， 5 因此当-业=点… …(8分) 2X1-3X2 Γ12 故所求直线过A(1,3),斜率为最，方程为y-3=(x-1), 即5x-12y+31=0.… …(9分) 高三数学答案第6页（共9页） 将该直线代人双曲线可得155x2-310x-1681=0, 其判别式显然大于0，故该直线与双曲线有两个不同交点. 因此存在这样的直线.…… (11分) (3)由(1)知右顶点H(2,0),且F(-3,0),A(1,3). 设∠AHF=a.因为HA=(-1,3),H罪=(-5,0)，所以tana=3.…(12分) 由题意影∠AMH+a=90°，得∠AMH=180°-2a. 又tan2a= 2tana 6 1-tan2a 1-9 故tan∠AMH=tan(180°-2a)= 4 (13分) 设M(m0.当m<1时，an乙AMH=品nm2n=得m=-3.(4分) 当m>2时，tanLAMH=二由n己=得m=5. (15分) 当1<m<2时，∠AMH为钝角，不符合条件. (16分) 因此，点M的坐标为(-3,0)或(5,0).… (17分) 19.【参考答案】 解：(1)由题意，an+1= 2anan+2 an+an+2 两边取倒数，得 1一 an+an+2 (+) …(1分) 2anan+2 设 n=,则2Cn+1=Gn+cn+2,即Gn+2-cn+1=cn+1-cn…(2分) an 所以数列{cn}为等差数列.设其公差为d,则cn=1+(n-1)d (因为G1=击=1).于是a= a3=1+2a 1 01 由a+a=怎得a+中7a= 5 高三数学答案第7页（共9页） 化简得10d2-3d-7=0, 故d=1或d=-0 (4分) 又因{an}为正项数列，故1+2d>0. 当d=-品时，1+2d=-<0,不合题意，舍去 故d=1,于是cn=m,从而an=是 …(⑤分) (2)只需证明对任意正整数k,有能>n处+促-) …(6分) 令x=>0,则上述不等式等价于证明x>n(1+)+(x-年)…(7分) 即证明(x+本)-ln(1+x)>0. 构造函数f()=(x+本)-ln(1+, X≥0.…(8分) 则re闭=北0+)-本=之0 (9分) 所以f(x)在[0，+)上单调递增。又f(0)=0, 因此当x>0时，fx)>0.于是(x+本)>ln(1+x). 故x>1n(1+x)+(x-)令x=意得>n(1+)+(民-) 即2>n袋+民-) (10分) 将k=1,2,n的不等式相加，得设=1>2张=1n转+=1(（侯-k)】 所以sa>ln+1)+1-)即n>nn+1)+2 因此原命题成立。 (11分) (3)由(1)知an=是故= n 7a=2, 高三数学答案第8页（共9页） 在区间0，上设)=x-受+号-- -ln(1+x).…(12分) 2n 则F)=1-x+2-x21-=2-=<0…13分列剂 1+x1+x1+x 所以F(x)在[0,1]上单调递减，且F(0)=0,故F(1)<0. 即T2n-ln2<0,从而T2n<ln2.…(14分) 3…+x21 再设66=x-苦+号-… -ln(1+x). 2n+1 则G)=1=x+x2-+x2n-1=1+-1=2m+ 二>0.…(15分) 1+x 所以G(x)在[0,1]上单调递增，且G(0)=0,故G(1)>0. 即T2m+1-ln2>0,从而72m+1>ln2.…(16分) 综上，T2m<ln2<T2m+1. (17分) 高三数学答案第9页（共9页）