6.4直线与圆的位置关系课件-2025-2026学年高一下学期中职数学人教版基础模块下册

直线与圆的位置关系 第六章 6.4 职高数学基础模块（下册） 授课教师：xxx 1.7.2013 大家好，欢迎来到今天的数学课。今天我们将一起学习一个非常有趣的几何知识——直线与圆的位置关系。这个知识点不仅在考试中很重要，在我们的生活中也随处可见。让我们一起开始探索吧！ ‹#› 温故知新 同学们，上节课我们学习了圆的方程，大家还记得吗？我们一起来快速回顾一下。 圆的标准方程 (x - a)² + (y - b)² = r² 其中 (a, b) 是圆心坐标，r 是圆的半径。 圆的一般方程 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 通过配方可以转化为标准方程。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下上节课的内容。圆的方程有两种形式，一种是标准方程，它能直接告诉我们圆心和半径；另一种是一般方程，看起来复杂一些，但我们可以通过配方把它变成标准方程。这两个公式是我们今天学习的基础，大家一定要记牢。 ‹#› 生活中的数学 图1：海边日落，太阳与地平线的接触 情景一：美丽的日落 想象一下，傍晚的太阳就像一个巨大的圆，地平线就像一条直线。当太阳慢慢落下时，它和地平线会有几种不同的“接触”方式呢？是离得远远的，还是轻轻地碰一下，或者是拥抱在一起？ 情景二：滚动的车轮 汽车的车轮是一个圆，平坦的地面是一条直线。车轮在地面上滚动时，它和地面有几个接触点呢？如果车轮离开地面，又是什么情况？ 这些生活中的现象，其实都蕴含着我们今天要学习的数学知识——直线与圆的位置关系 1.7.2013 数学来源于生活。大家看这两张图，美丽的日落和滚动的车轮，其实都包含了我们今天要学习的知识。太阳和地平线，车轮和地面，它们之间的关系，就是直线和圆的关系。今天，我们就来系统地学习一下，直线和圆到底有哪几种“姿态”。 ‹#› 新知探索：直线与圆的“三种姿态” 直线和圆在同一个平面内，它们的关系主要有三种，我们可以通过它们有多少个公共点（交点）来区分。 相交 直线和圆有两个公共点。这时我们说直线与圆相交。这条直线叫做圆的割线。 相切 直线和圆只有一个公共点。这时我们说直线与圆相切。这条直线叫切线，这个公共点叫切点。 直线和圆没有公共点。这时我们说直线与圆相离。 相离 1.7.2013 好，我们来看直线和圆的三种基本关系。第一种，直线穿过圆，有两个交点，这叫“相交”。第二种，直线刚好碰到圆的边，只有一个点，这叫“相切”。第三种，直线离圆很远，一个交点都没有，这叫“相离”。大家记住这三个名字和它们对应的交点数量。 ‹#› 方法一：数一数，看一看 这是最直观的一种判断方法，就像我们刚才看到的一样。核心思想就是判断直线和圆有几个公共点。 01 相交 如果直线与圆有2个公共点 结论：直线与圆相交 两点相交 02 相切 如果直线与圆有1个公共点 结论：直线与圆相切 一点相切 03 相离 如果直线与圆有0个公共点 结论：直线与圆相离 没点相离 这种方法简单直接，但如果只给我们方程，没有图，数点就很困难了。所以，我们需要学习第二种更强大的方法！ 1.7.2013 判断直线和圆的位置关系，第一种方法就是“数一数，看一看”。很简单，两个交点就是相交，一个交点就是相切，没有交点就是相离。我给大家编了个口诀：“两点相交，一点相切，没点相离”，这样是不是就很好记了？不过，这种方法有个缺点，就是必须要有图。如果只有方程，我们怎么办呢？接下来学习第二种方法。 ‹#› 方法二：算一算，比一比（本节课重点！） 我们可以通过比较“圆心到直线的距离d”和“圆的半径r”的大小来判断它们的位置关系。 第一步：求距离 d d = 对于直线 Ax + By + C = 0 和圆心 (a, b)，代入公式即可算出距离 d。这个公式虽然看起来复杂，但只要把已知的方程和圆心坐标代入计算，其实非常简单。 d < r 直线与圆 相交 有两个公共点 d = r 直线与圆 相切 有一个公共点 d > r 直线与圆 相离 没有公共点 1.7.2013 这是我们今天学习的重点！第二种方法，“算一算，比一比”。我们需要计算出圆心到直线的距离d，然后把d和半径r比较大小。如果d小于r，直线就和圆相交；d等于r，就相切；d大于r，就相离。这个方法非常强大，因为只要有方程，我们就能算出来。大家先记住这个结论，我们马上通过例题来学习怎么用。 ‹#› 一目了然：三种位置关系总结 位置关系 公共点个数 d 与 r 的关系 直线名称 相交 2 个 d < r 割线 相切 1 个 d = r 切线 相离 0 个 d > r 无 1.7.2013 现在，我们把刚才学的所有知识汇总到这个表格里。大家看，从位置关系、公共点个数，到d和r的关系，再到直线的名称，一目了然。这个表格非常重要，建议大家截图保存下来，或者抄在笔记本上，这是我们解决所有相关问题的基础。 ‹#› 例题 1：识图高手 问题：观察下列各图，判断直线与圆的位置关系。 图 ① 图 ② 图 ③ 解题三部曲 1. 数一数：看公共点个数 2. 对一对：查位置关系名 3. 写一写：给出判断结论 💡 重点提示： 仔细看直线是否真的“贴”在圆上，别被眼睛骗了！ 好，咱们刚看完了总结表，现在“实战演练”开始！看看哪位同学能成为咱们班的“识图高手”。 题目要求很简单，请大家观察这三组图，快速判断直线与圆的位置关系。咱们不光要靠直觉，还得讲究方法。 先看图 ①，这直线像箭一样穿过了圆，公共点有两个，一眼就能看出来。再看图 ② 和图 ③，大家先在心里打个草稿。 为了保证准确率，老师给大家总结了“解题三部曲”：第一步先“数一数”，看公共点有几个；第二步“对一对”，去刚才那张表里查名字；最后“写一写”，得出结论。这流程是不是比煮泡面还简单？ 最后，老师还要特别叮嘱一句：一定要看仔细！有些图画得很狡猾，别被眼睛骗了，要盯准直线是不是真的“贴”在圆上。好，这道题大家肯定没问题，咱们接着往下看！ 8 核心应用：用 d 与 r 法判断直线与圆的位置关系 题目：判断直线x - y + 2 = 0与圆x² + y² = 2的位置关系。 01. 找圆心和半径 • 圆心：由方程可知为(0, 0) • 半径：r² = 2 →r = 02. 确定直线系数 • 直线方程：x - y + 2 = 0 • 对比 Ax+By+C=0，得： A=1, B=-1, C=2 03. 计算距离 d • 代入公式 d = • 计算得：d = 04. 比较 d 与 r 的大小 已算出：d = ，r = 。 因此，两者关系为：d = r 05. 得出最终结论 根据判定规则“d = r ⇒ 直线与圆相切” 结论：直线与圆的位置关系是相切 1.7.2013 接下来是核心应用，我们来学习如何用d和r的方法来判断。这道题给了我们直线和圆的方程。大家跟着我的步骤走：第一步，从圆的方程里找出圆心和半径。第二步，从直线方程里找出A、B、C的值。第三步，把这些值代入距离公式，算出d。第四步，比较d和r。最后一步，根据比较结果得出结论。大家看，d等于r，所以是相切。一步一步来，是不是很清晰？ ‹#› 基础例题2：计算达人 求直线与圆的位置关系： 1. 找圆心半径 2. 算距离 d 3. 比大小定位置 结论：相切 (恰有一个交点) 刚才咱们靠眼睛看，确实挺直观，但数学讲究的是严谨。万一直线和圆离得特别近，肉眼看不准怎么办？这时候就得靠咱们的‘计算大法’了。来，挑战一下这道计算达人题！ 题目给了圆和直线的方程，求它们的位置关系。咱们的口诀分三步走：一找，二算，三比。大家跟着老师的节奏，一步步来，稳扎稳打。 第一步，找圆心和半径。看这个圆的方程，圆心就在原点(0,0)，半径r呢？注意，方程右边是r的平方，所以r应该是根号4，等于2。这一步千万别粗心丢了分。 第二步，算距离d。也就是圆心到直线的距离。咱们把(0,0)代入点到直线的距离公式。大家看屏幕上的计算过程，分子是常数项的绝对值，分母是系数的勾股数，算出来d刚好也等于2。 第三步，比大小定位置。刚才算的d是2，半径r也是2，d等于r，这说明什么？ 没错，d等于r时，直线和圆刚好碰到一起，结论就是：相切！只有一个交点。这种模板化的题目，只要大家不跳步，认真算，拿满分轻轻松松。 10 课堂练习，巩固一下！ 题目 01 · 选择题 已知圆的半径r = 3，圆心到直线的距离d = 2，则直线与圆的位置关系是？ A. 相交　　B. 相切 C. 相离 题目 02 · 判断题 如果一条直线与一个圆没有公共点，那么圆心到这条直线的距离一定大于圆的半径。 （ 请填写 √ 或 × ） 题目 03 · 选择题 直线y = 3与圆(x-1)² + (y-2)² = 1的位置关系是？ A. 相交　　B. 相切 C. 相离 参考答案： 1. A ｜ 2. √ ｜ 3. B 1.7.2013 好了，现在轮到大家自己动手了。这里有三道基础练习题，涵盖了我们今天学的两种方法。请大家快速思考，选出或写出你的答案。做完之后可以对照一下屏幕下方的参考答案，看看自己掌握得怎么样。 ‹#› 本节课我们学到了什么？ 两种判定方法 01. 公共点个数法 通过直观观察直线与圆的交点数量来判断，是几何判定的基础方法。 02. d 与 r 比较法(考试重点！) 通过计算圆心到直线的距离 d，并与半径 r 比较大小，是代数计算判定的核心方法。 核心口诀总结 📝 数点法 两点相交，一点相切，没点相离。 📐 距离法 若d < r则相交；若d = r则相切；若d > r则相离。 1.7.2013 课程接近尾声，我们来总结一下今天学到的核心内容。我们主要学习了两种判断直线和圆位置关系的方法：数点法和距离法。数点法直观，距离法万能。我再次强调一下这两个核心口诀，希望大家能牢牢记住，这对你们以后解题会非常有帮助。 ‹#› 课后作业（基础题） 作业1 · 识图题 请在草稿纸上画出一个圆和一条直线，使它们满足以下几何关系： （1）两图形相交，且直线穿过圆； （2）两图形相切，仅有一个交点。 作业2 · 计算题 判断直线与圆的位置关系： y = x + 1 x² + y² = 1 💡 提示： 圆的标准方程为圆心(0,0)，半径 r=1。 作业3 · 提升题 判断直线与圆的位置关系： 3x + 4y + 10 = 0 (x-1)² + (y-2)² = 4 💡 提示： 圆的标准方程为圆心(1,2)，半径 r=2。 1.7.2013 今天的课就到这里。这里给大家布置了几道基础的课后作业，包括画图和计算，都是我们今天讲过的内容。请大家务必完成，巩固今天所学。感谢大家的聆听，下课！ ‹#› 感谢观看 授课教师：xxx 祝 学业有成 · 前程似锦 1.7.2013 再次感谢大家的认真聆听，希望这节课对你们有所帮助。同学们，下课！ ‹#› $