精品解析：2026 年内蒙古自治区高等职业学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学综合试卷

试卷编号：高三数学 2026年内蒙古自治区高等职业学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学综合试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分. 2．作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出，再根据集合的交集求解即可. 【详解】不等式，即，解得，即. 则. 故选：C. 2. 已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的运算求出复数z，再写出共轭复数即可. 【详解】， 故其共轭复数为. 故选：C. 3. 不等式解集为，则点到原点的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法结合的解列方程组求出的值，再由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】由不等式， 得，解得， 因为该不等式的解集为， 所以，解得， 所以点，即到原点的距离为， 故选：B. 4. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 16 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数  化为同底对数形式，再根据对数的运算法则进行计算. 【详解】， 已知，可得：，即，所以， 故选：D. 5. 小红前4次数学平均成绩为85分，在第5次测试后，她的数学平均成绩为88分，则小红第5次测试的成绩为（ ） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数公式计算. 【详解】已知小红前次数学平均成绩为分，则前次测试的总成绩为， 设小红第次测试的成绩为分， 已知小红次测试后的数学平均成绩为分， 所以，解得， 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由诱导公式和同角三角函数的商数关系求出的值，再将化为，再将的值代入求值即可. 【详解】已知， 则，所以， 则 ， 故选：B. 7. 直线的倾斜角取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线方程求出倾斜角的正切值的取值范围，再结合倾斜角的取值范围确定倾斜角的具体范围. 【详解】已知直线方程为，将其转化为斜截式， 可得该直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为的值域是， 所以的值域是，即， 由于倾斜角， 正切函数在上单调递增，且，可得； 正切函数在上单调递增，且，可得， 综上，倾斜角的取值范围是. 故选：B. 8. 圆O中，弦满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积和投影的意义即可得出． 【详解】 如图，作,则. 则. 故选：A. 9. 等差数列满足，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质逐项分析即可. 【详解】已知为等差数列， 所以， 因为，所以， 所以， 故ABD错误，C正确， 故选：C. 10. 已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 【答案】D 【解析】 【分析】结合线面、面面位置关系的判定定理逐一分析求解即可. 【详解】选项A：若，两个平面可以相交，错误. 选项B：若，两个平面可以相交，也可以平行，错误. 选项C：若，只有当垂直与β的交线时，才有，任意不一定垂直，错误. 选项D：已知，若，根据面面垂直的判定定理，，正确. 故选：D. 11. 已知直线和直线，是抛物线上的点，则点到直线和直线的距离之和最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】点到直线的距离为，点到直线的距离为，利用抛物线的定义得， 当共线时，点到直线和直线的距离之和最小，由点到直线的距离公式求得答案． 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据题意作图如下： 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由抛物线的定义知：， 点到直线和直线的距离之和为， 当共线时，点到直线和直线的距离之和最小， 又点到直线的距离为， 点到直线和直线的距离之和最小值为2． 故选：D. 12. 函数恒满足，定义域为R，当时，则下述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数及指数函数的性质即可得解. 【详解】函数恒满足，且定义域为R，符合偶函数的定义， 当时，底数，所以单调递增， 因为，所以，即， 故选：. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13. 幂函数过点，则值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先求出，再根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】已知幂函数过点，则，解得， 则. 故答案为：1. 14. 5个人站成一排，求甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】先求出5个人站成一排的所有排列情况，再求出甲乙必相邻且和丙都不相邻的排列情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人站成一排的所有排列情况有种， 甲乙看作一个整体，考虑甲乙两人之间的排列顺序，有种情况， 除甲乙丙外的两个人排好，有种情况， 除甲乙丙外的两个人形成3个空位，将甲乙整体和丙插入这3个空位中，有种情况， 所以甲乙必相邻且和丙都不相邻的排列情况共有（种）， 所以甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率. 故答案为：. 15. 已知展开式中的系数为5，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先写出的展开式通项，再得出的系数，并由此列方程求解即可. 【详解】已知的展开式通项， 则中，当乘以得的系数为， 当乘以得的系数为， 所以的总系数为，即， 解得， 故答案为：. 16. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，在中，若有两边之和是10，则第三边长度为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】在椭圆中，，则， 因为，两点在椭圆上， 根据椭圆定义可知，， 由于， 所以， 已知在中，有两边之和是，则第三边长度为， 故答案为：6. 17. 将函数图象向左平移m（）个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象变换即可得解. 【详解】， 将函数的图象向左平移m（）个单位长度， 得， 由于图象关于y轴对称，所以， 则，故m的最小值为. 故答案为：. 18. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，然后通过向量内积的坐标运算得到的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】对于双曲线方程，可得，，则， 那么左顶点，右焦点， 因为P为双曲线右支上一点，设（）， 所以，即， 则，， 可得： ， 令（），函数图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 则在处取得最小值，最小值为， 则的最小值为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 已知点． （1）若A，B，C三点共线，求实数t值； （2）若A，B，C三点构成直角三角形且，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三点的坐标求出相应向量的坐标，再利用向量共线的性质建立方程求解即可. （2）根据三点的坐标求出相应向量的坐标，再利用向量垂直的性质建立方程求解即可. 【小问1详解】 已知，，， 可得，， 因为A，B，C三点共线， 所以与共线， 则有，解得. 【小问2详解】 由，，， 可得，， 因为，所以，则， 即，解得. 20. 在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c且满足． （1）求角B值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据二倍角公式以及两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，进而. 因为，解得. 【小问2详解】 若，则. 且，进而. . 21. 已知等差数列公差为d，． （1）求数列通项公式； （2）若构成公比为正数的等比数列的前三项，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合题意即可求解. （2）根据等比数列的定义，结合等比数列的前项和定义，以及等比中项的性质即可求解. 【小问1详解】 在等差数列中，因为，所以，解得. 所以数列通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 则构成公比为正数的等比数列的前三项， 所以，解得， 当时，，公比， 当时，，公比，不合题意，舍去， 所以，则. 22. 如图，在正方体中，E，F分别是和中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先构造辅助线判定出，再由直线与平面平行的判定定理即可得解； （2）先判断异面直线EF与AB所成角为，再利用锐角三角函数求解即可. 【小问1详解】 证明：连接交于点G，连接 EG，GC.如图所示， ∵四边形为正方形，故E是的中点， 又∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在正方体中，且， 又∵是的中点， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故. ∵平面，且平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵，由（1）知， ∴异面直线与即为与 所成的角， 设正方体棱长为，则， 在中，， ∴，故 ， 在正方体中，平面， 又平面，故， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 23. 某工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元．此外每年生产1件该产品需要增加投资1万元，已知年产量为件，当时，年销售总收入为万元，当时，年销售总收入为260万元． （1）写出该工厂生产并销售这种产品所得年利润y万元与年产量x的函数关系式； （2）要使年利润最大，则该工厂年产量为多少？ （3）为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据年利润年销售总收入固定投资增加投资即可求解. （2）根据二次函数，一次函数的性质即可求解. （3）根据一元一次不等式，一元二次不等式的解法即可求解. 【小问1详解】 由题意得，当时，， 当时，，即. 【小问2详解】 当时，函数， 函数开口向下，对称轴为，所以年产量为时，最大利润为， 当时，的减函数，故年利润， 所以要使年利润最大，则年产量为. 【小问3详解】 当时，要保证年利润不低于75万元，则， 解得，所以年产量为； 当时，要保证年利润不低于75万元，则， 解得，所以年产量为； 综上，为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围为. 24. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆C与直线和轴相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点且，求值； （3）对于任意实数，证明直线与圆总有两个交点． 【答案】（1） （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）首先设圆心坐标为，再由直线与圆相切可得出，再写出圆的标准方程即可. （2）根据点到直线的距离表示出圆心到直线的距离，再由弦长公式列方程求解即可. （3）由（2）可知圆心到直线的距离为，证明恒成立即可求解. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为，因为圆C与直线和轴相切， 所以点到直线和轴的距离相等，即为圆的半径， 因为点到直线的距离为，所以， 又点到轴的距离为m，所以， 则圆心为，半径为，所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为圆心到直线的距离为，又， 所以弦长，解得. 【小问3详解】 由（2）可知圆心到直线的距离为， 因为，所以，所以，即恒成立， 所以对于任意实数，直线与圆总有两个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷编号：高三数学 2026年内蒙古自治区高等职业学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学综合试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分. 2．作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式解集为，则点到原点的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 3 4. 已知函数，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 16 D. 4 5. 小红前4次数学平均成绩为85分，在第5次测试后，她的数学平均成绩为88分，则小红第5次测试的成绩为（ ） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 6. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 直线的倾斜角取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 圆O中，弦满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 9. 等差数列满足，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 11. 已知直线和直线，是抛物线上的点，则点到直线和直线的距离之和最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 12. 函数恒满足，定义域为R，当时，则下述正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13. 幂函数过点，则值为________． 14. 5个人站成一排，求甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率________． 15. 已知展开式中的系数为5，则________． 16. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，在中，若有两边之和是10，则第三边长度为________． 17. 将函数图象向左平移m（）个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值为________． 18. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则的最小值________． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 已知点． （1）若A，B，C三点共线，求实数t值； （2）若A，B，C三点构成直角三角形且，求实数t的值． 20. 在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c且满足． （1）求角B值； （2）若，求的值． 21. 已知等差数列公差为d，． （1）求数列通项公式； （2）若构成公比为正数的等比数列的前三项，求数列的前n项和． 22. 如图，在正方体中，E，F分别是和中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值． 23. 某工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元．此外每年生产1件该产品需要增加投资1万元，已知年产量为件，当时，年销售总收入为万元，当时，年销售总收入为260万元． （1）写出该工厂生产并销售这种产品所得年利润y万元与年产量x的函数关系式； （2）要使年利润最大，则该工厂年产量为多少？ （3）为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围． 24. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆C与直线和轴相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点且，求值； （3）对于任意实数，证明直线与圆总有两个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $