第一章 第1节 集合讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦集合高考核心考点，涵盖概念表示、元素关系、集合运算及与不等式函数的综合应用，按双基自测、核心梳理、考点突破、限时训练的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以数学抽象和运算求解能力为导向，创新设计集合新定义问题等考点突破策略，如例4通过对偶互存集概念训练逻辑思维，设置分层练习配合真题即时反馈，有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第1节 集合 【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与运算求解能力的考查。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(　　) (3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 2. (人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=　　　　.  3. (人教A必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=　　　　.  4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合表示 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U, 且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U, ∁U(∁UA)=A. 1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB), ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　集合的基本概念 例1 (1)(多选)下列各组中M,P表示不同集合的是(　　) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} (2)若含有3个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 027+b2 027=　　　　.  训练1 (1)(2026·江西重点高中联考)已知集合A={x|x2-3x-10<0},则(　　) A.-4∈A B.-2∈A C.3∈A D.5∈A (2)设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 考点二　集合间的基本关系 例2 (1)设M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ (2)已知M={x|-2≤x≤2},A={x|1-a≤x≤1+a},且A∩M=A,则实数a的取值范围为　　　　.  训练2 (1)(2026·广州模拟)满足{x|x2+2x-3=0}⊆A⫋{-3,-1,0,1,3}的集合A的个数为(　　) A.3 B.7 C.8 D.15 (2)(2026·河南部分校联考)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|(x-2)2=a},若A⊆B,则a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 考点三　集合的运算 例3 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　) A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} (2)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} (3)(2026·石家庄调研)已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 训练3 (1)(2026·泰州模拟)已知集合M=,N={x|x2-x<2},则M∩N=(　　) A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x<5} C.{x|1≤x<2} D.{x|1≤x<5} (2)(2026·青岛质检)设集合A={x∈N|3≤x<6},B={2,3,4,8},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2,8} B.{3,4} C.{2,5,8} D.{3,4,5} (3)(2025·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},若(∁RA)∪B=R,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 考点四　集合的新定义问题 例4 (多选)(2026·吉林部分学校联考)对于集合A,若∀x∈A,2-x∈A,则称A为对偶互存集,则下列为对偶互存集的是(　　) A.{-1,0,1,2,3} B.{x|=2k-1,k∈Z} C. D.{y|y=1+sin x} 训练4 (多选)(2025·西安调研)设M,N,P为非空实数集,定义MN={z|z=xy,x∈M,y∈N},则(　　) A.M{1}=M B.M{0}={1} C.MN=NM D.(MN)P=M(NP) 容斥原理 1.教材母题 (人教A必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下: (1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 典例 某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单选题 1.(2025·新高考Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 2.(2025·北京卷)集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N=(　　) A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.⌀ 3.已知集合A={-1,a2-2a+1,a-4},若4∈A,则a的值可能为(　　) A.-1,3 B.-1 C.-1,3,8 D.-1,8 4.已知集合M={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=M∩N,则P的真子集共有(　　) A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 5.(2026·泉州模拟)已知集合A={-9,-4,-2,1,2,3,4},B={x∈A|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{-2,1,2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,1,3,4} D.{-9,-2,1,3} 6.(2026·盐城段测)已知集合A={0,1},A∪B={0,1,2,3},则下列关系一定正确的是(　　) A.1∉B B.{0,1}⊆B C.{2,3}⊆B D.{1,2,3}⊆B 7.(2026·鄂州模拟)已知全集U={x|x∈N,x≤9},A={1,2,6},B={6,7,8},则{1,2}可以表示为(　　) A.(∁UA)∩B B.(∁UB)∩A C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) 8.(2025·重庆南开中学质检)设集合A={x|x=4k+1,k∈Z},B={x|x=4k+3,k∈Z},则A∪B=(　　) A.{x|x=4k,k∈Z} B.{x|x=2k-1,k∈Z} C.{x|x=4k-1,k∈Z} D.{x|x=8k+4,k∈Z} 二、多选题 9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则(　　) A.(∁RA)∪B={x|0≤x<3} B.(∁RA)∩B={x|1<x<2} C.A∩B={x|2<x<3} D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集 10.已知A,B是全集U的两个非空真子集,下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B=⌀ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A=U D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B) 11.非空集合A具有如下性质:①若x,y∈A,则∈A;②若x,y∈A,则x+y∈A,下列判断中正确的有(　　) A.-1∉A B.∈A C.若x,y∈A,则xy∈A D.若x,y∈A,则x-y∈A 三、填空题 12.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 　　　　.  13.已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4},A∩(∁RB)=A,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  14.(2026·烟台调研)设集合A={1,a},B={0,1-a,2a-1},若A⊆B,则a=　　　　.  第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第1节 集合 【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与运算求解能力的考查。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(　　) (3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)错误.空集只有一个子集. (2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集. (3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性. 2. (人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=　　　　.  【答案】-1或-8 【解析】若x-2=-3,得x=-1,符合题意, 若x+5=-3,得x=-8,符合题意, 故x=-1或-8. 3. (人教A必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=　　　　.  【答案】{2,4} 【解析】易知∁UB={2,4,6}, 故A∩(∁UB)={2,4}. 4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[2,+∞) 【解析】由图可知a≥2. 【核心梳理●明考点】 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合表示 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U, 且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U, ∁U(∁UA)=A. 1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB), ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　集合的基本概念 例1 (1)(多选)下列各组中M,P表示不同集合的是(　　) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R} (2)若含有3个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 027+b2 027=　　　　.  【答案】(1)ABD　(2)-1 【解析】(1)选项A中,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一集合,故M≠P; 选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P; 选项C中,M={y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞), P={x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),故M=P; 选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有y组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有点组成的集合,故M≠P. (2)因为={a2,a+b,0}, 显然a≠0,所以=0,即b=0; 此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0}, 则a2=1,解得a=1或a=-1. 当a=1时,不满足互异性,故舍去; 当a=-1时,满足题意. 所以a2 027+b2 027=(-1)2 027+02 027=-1. 【名师点拨】1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是数、点,还是其他元素;然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 训练1 (1)(2026·江西重点高中联考)已知集合A={x|x2-3x-10<0},则(　　) A.-4∈A B.-2∈A C.3∈A D.5∈A (2)设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】(1)C　(2)B 【解析】(1)由题得A={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5}, 结合各选项,A,B,D错,C正确.故选C. (2)因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B}, 所以C={5,6,7,8},即C中元素的个数为4. 考点二　集合间的基本关系 例2 (1)设M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ (2)已知M={x|-2≤x≤2},A={x|1-a≤x≤1+a},且A∩M=A,则实数a的取值范围为　　　　.  【答案】(1)A　(2){a|a≤1} 【解析】(1)因为M={x|x=4k-3,k∈Z}={x|x=2(2k-1)-1,k∈Z}, N={x|x=2k-1,k∈Z}, 所以M⊆N.故选A. (2)因为A∩M=A,所以A⊆M, 又因为A={x|1-a≤x≤1+a}, 当A=⌀时,1-a>1+a,解得a<0; 当A≠⌀时,解得0≤a≤1, 综上,实数a的取值范围是{a|a≤1}. 【名师点拨】1.若B⊆A,应分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解. 训练2 (1)(2026·广州模拟)满足{x|x2+2x-3=0}⊆A⫋{-3,-1,0,1,3}的集合A的个数为(　　) A.3 B.7 C.8 D.15 (2)(2026·河南部分校联考)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|(x-2)2=a},若A⊆B,则a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】(1)B　(2)C 【解析】(1)由x2+2x-3=0,整理得(x+3)·(x-1)=0,解得x=-3或x=1, 则{-3,1}⊆A⫋{-3,-1,0,1,3}, 设B={-3,1},所以∁AB⫋{-1,0,3},可得满足题意的集合A的个数为23-1=7.故选B. (2)A={x|x2-4x+3=0}={1,3},B中最多只有2个元素, 因为A⊆B,所以A=B, 所以a=(1-2)2=1. 考点三　集合的运算 例3 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　) A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} (2)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} (3)(2026·石家庄调研)已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【答案】(1)D　(2)D　(3)B 【解析】(1)由题可得B={-1,0,1}, 所以A∩B={0,1},故选D. (2)由题可得A∪B={1,2,3,5}, 所以∁U(A∪B)={4},故选D. (3)因为集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},且A∩B=⌀, 则a-1≤1,解得a≤2. 【名师点拨】1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况. 训练3 (1)(2026·泰州模拟)已知集合M=,N={x|x2-x<2},则M∩N=(　　) A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x<5} C.{x|1≤x<2} D.{x|1≤x<5} (2)(2026·青岛质检)设集合A={x∈N|3≤x<6},B={2,3,4,8},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2,8} B.{3,4} C.{2,5,8} D.{3,4,5} (3)(2025·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},若(∁RA)∪B=R,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 【答案】(1)C　(2)C　(3)B 【解析】(1)法一　由≤0, 得 解得1≤x<5. 由x2-x<2得-1<x<2. 则M={x|1≤x<5},N={x|-1<x<2}, M∩N={x|1≤x<2}. 故选C. 法二(特例法)　观察选项,取x=0,此时=>0,易知0∉M,故可排除A,B; 取x=3,此时32-3=6>2,易知3∉N,故可排除D.故选C. (2)题图中阴影部分表示∁A∪B(A∩B). A={x∈N|3≤x<6}={3,4,5},B={2,3,4,8}, 则A∪B={2,3,4,5,8},A∩B={3,4}. 故题图中阴影部分表示的集合为{2,5,8}.故选C. (3)由题可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1<x<1}, ∁RA={x|x≤-1或x≥1}, 所以由(∁RA)∪B=R,得a≥1. 考点四　集合的新定义问题 例4 (多选)(2026·吉林部分学校联考)对于集合A,若∀x∈A,2-x∈A,则称A为对偶互存集,则下列为对偶互存集的是(　　) A.{-1,0,1,2,3} B.{x|=2k-1,k∈Z} C. D.{y|y=1+sin x} 【答案】ABD 【解析】当x=-1,0,1,2,3时,2-x∈{-1,0,1,2,3},故A正确; {x|x=2k-1,k∈Z}为全体奇数构成的集合,当x为奇数时,2-x也为奇数,故B正确; ={y|y≠0},故C错误; {y|y=1+sin x}=[0,2],当x∈[0,2]时, 2-x∈[0,2],故D正确. 【名师点拨】解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义和要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆. 训练4 (多选)(2025·西安调研)设M,N,P为非空实数集,定义MN={z|z=xy,x∈M,y∈N},则(　　) A.M{1}=M B.M{0}={1} C.MN=NM D.(MN)P=M(NP) 【答案】ACD 【解析】由MN的定义得,M{1}=M显然成立,故A正确; 由MN的定义得,M{0}={0}≠{1},故B错误; 设x∈M,y∈N,则MN={z|z=xy,x∈M,y∈N}, NM={z|z=yx,y∈N,x∈M}, 所以MN=NM成立,故C正确; 设x∈M,y∈N,z∈P, 则MN={n|n=xy,x∈M,y∈N}, 所以(MN)P={t|t=nz=xyz,n∈MN,x∈M,y∈N,z∈P}, 又NP={m|m=yz,y∈N,z∈P}, 所以M(NP)={h|h=xm=xyz,m∈NP,x∈M,y∈N,z∈P}, 所以(MN)P=M(NP)成立,故D正确. 故选ACD. 容斥原理 1.教材母题 (人教A必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下: (1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 典例 某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　.  【答案】20 【解析】设A={x|x是会打乒乓球的教师人数}, B={x|x是会打羽毛球的教师人数}, C={x|x是会打篮球的教师人数}. 根据题意得card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5, 根据三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C), 有card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35, 而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次, 故要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数. 因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20. 【限时训练】 （30分钟） 一、单选题 1.(2025·新高考Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【解析】由题知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5}, 故∁UA={2,4,6,7,8}, 故∁UA中有5个元素. 2.(2025·北京卷)集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N=(　　) A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.⌀ 【答案】D 【解析】因为M={x|2x-1>5}={x|x>3}, 所以M∩N=⌀. 3.已知集合A={-1,a2-2a+1,a-4},若4∈A,则a的值可能为(　　) A.-1,3 B.-1 C.-1,3,8 D.-1,8 【答案】D 【解析】由题意,若a2-2a+1=4,解得a=3或a=-1,若a-4=4,解得a=8, 当a=-1时,A={-1,4,-5}满足题意, 当a=3时,A={-1,4,-1}违背了集合中元素间的互异性, 当a=8时,A={-1,4,49}满足题意, 综上所述,a的值可能为-1,8. 4.已知集合M={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=M∩N,则P的真子集共有(　　) A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】C 【解析】因为M={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4}, 所以P=M∩N={1,2,4}, 所以P的真子集共有23-1=7(个). 5.(2026·泉州模拟)已知集合A={-9,-4,-2,1,2,3,4},B={x∈A|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{-2,1,2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,1,3,4} D.{-9,-2,1,3} 【答案】B 【解析】依题意,B={-9,-4,1,4}, 所以A∩B=B={-9,-4,1,4}, 所以∁A(A∩B)={-2,2,3}.故选B. 6.(2026·盐城段测)已知集合A={0,1},A∪B={0,1,2,3},则下列关系一定正确的是(　　) A.1∉B B.{0,1}⊆B C.{2,3}⊆B D.{1,2,3}⊆B 【答案】C 【解析】因为集合A={0,1},A∪B={0,1,2,3}, 所以2∈B,3∈B,所以{2,3}⊆B,C选项正确; 0,1可以在集合B中,也可以不在集合B中, 所以选项A,B,D错误. 7.(2026·鄂州模拟)已知全集U={x|x∈N,x≤9},A={1,2,6},B={6,7,8},则{1,2}可以表示为(　　) A.(∁UA)∩B B.(∁UB)∩A C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) 【答案】B 【解析】因为全集U={x|x∈N,x≤9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,6},B={6,7,8}, 所以(∁UB)∩A={0,1,2,3,4,5,9}∩{1,2,6}={1,2},B选项正确. (∁UA)∩B={0,3,4,5,7,8,9}∩{6,7,8}={7,8}; A∩B={6},A∪B={1,2,6,7,8}, 则∁U(A∩B)={0,1,2,3,4,5,7,8,9}, ∁U(A∪B)={0,3,4,5,9}.故选B. 8.(2025·重庆南开中学质检)设集合A={x|x=4k+1,k∈Z},B={x|x=4k+3,k∈Z},则A∪B=(　　) A.{x|x=4k,k∈Z} B.{x|x=2k-1,k∈Z} C.{x|x=4k-1,k∈Z} D.{x|x=8k+4,k∈Z} 【答案】B 【解析】因为A={x|x=2·2k+1,k∈Z},B={x|x=2(2k+1)+1,k∈Z}, 所以A∪B={x|x=2k+1,k∈Z},即A∪B表示全体奇数构成的集合. 选项A,D对应的集合中的元素均为偶数,故A,D错误; 选项B对应的集合中的元素是全体偶数减1对应的数,即选项B对应的集合由全体奇数组成,选项C对应的集合中的元素是部分奇数,故B正确,C错误. 二、多选题 9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则(　　) A.(∁RA)∪B={x|0≤x<3} B.(∁RA)∩B={x|1<x<2} C.A∩B={x|2<x<3} D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集 【答案】ACD 【解析】由x2-2x>0,得x<0或x>2, 所以A={x|x<0或x>2}, 所以∁RA={x|0≤x≤2}, 对于A,因为B={x|1<x<3}, 所以(∁RA)∪B={x|0≤x<3},所以A正确; 对于B,因为B={x|1<x<3}, 所以(∁RA)∩B={x|1<x≤2},所以B错误; 对于C,因为A={x|x<0或x>2},B={x|1<x<3}, 所以A∩B={x|2<x<3},所以C正确; 对于D,因为A∩B={x|2<x<3}, 所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集, 所以D正确. 10.已知A,B是全集U的两个非空真子集,下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B=⌀ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A=U D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B) 【答案】BCD 【解析】如图所示,A∩B≠⌀,A选项错误; A⊆(A∪B),(∁UA)∪A=U,(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),BCD选项正确. 11.非空集合A具有如下性质:①若x,y∈A,则∈A;②若x,y∈A,则x+y∈A,下列判断中正确的有(　　) A.-1∉A B.∈A C.若x,y∈A,则xy∈A D.若x,y∈A,则x-y∈A 【答案】ABC 【解析】对于A,假设-1∈A,则令x=y=-1, 则=1∈A,令x=-1,y=1,则x+y=0∈A, 令x=1,y=0,不存在,即y≠0,矛盾, ∴-1∉A,故A正确; 对于B,由题知,1∈A,则1+1=2∈A,2+1=3∈A,…,2 025∈A,2 026∈A, ∴∈A,故B正确; 对于C,∵1∈A,x∈A,∴∈A, ∵y∈A,∈A, ∴=xy∈A,故C正确; 对于D,∵1∈A,2∈A,若x=1,y=2, 则x-y=-1∉A,故D错. 三、填空题 12.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 　　　　.  【答案】4 【解析】根据题意,A∩B的元素是x+y=8上满足x,y∈N*且y≥x的点,即点(1,7),(2,6),(3,5),(4,4). 13.已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4},A∩(∁RB)=A,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  【答案】 【解析】因为A为非空集合,则a-1<2a+3, 解得a>-4,∁RB={x|x<-2或x>4}, 故A∩(∁RB)=A,则A⊆(∁RB), 则2a+3≤-2或a-1≥4, 解得a≤-或a≥5,又a>-4, 综上所述,实数a的取值范围为 . 14.(2026·烟台调研)设集合A={1,a},B={0,1-a,2a-1},若A⊆B,则a=　　　　.  【答案】0 【解析】因为集合A={1,a},B={0,1-a,2a-1},且A⊆B, 所以a=0或a=1-a或a=2a-1,解得a=0或a=或a=1. 当a=0时,A={1,0},B={0,1,-1},符合题意; 当a=时,B=,不符合集合元素的互异性,故舍去; 当a=1时,A={1,1},不符合集合元素的互异性,故舍去. 综上所述,a=0. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $