第五单元 长方形和正方形（易错专项讲义）数学苏教版三年级下册（新教材）

第五单元 长方形和正方形易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：相交与垂直概念混淆。 2 易错点2：平行线概念理解错误。 3 易错点3：长方形和正方形特征混淆。 5 易错点4：解决图形的拼组或分割类型题错误。 6 模块一 易错知识点梳理 1、容易混淆“相交”和“垂直”的概念。 2、相交：两条直线有一个公共点。 3、垂直：两条直线相交成直角（是相交的特殊情况）。 4、所有垂直的线都相交，但相交的线不一定垂直。 5、平行线的完整定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。 6、必须强调“在同一平面内”。 7、在立体空间中，不相交的直线可能是异面直线，不是平行线 8、正方形的特征：四条边相等，四个角都是直角 9、长方形的特征：对边相等，四个角都是直角 10、当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：相交与垂直概念混淆。 【典例1】判断：两条直线相交，它们的夹角一定是直角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】混淆了“相交”和“垂直”的概念 相交：两条直线有一个公共点。垂直：两条直线相交成直角（是相交的特殊情况），所有垂直的线都相交，但相交的线不一定垂直。 【正确解答】错误 【易错专练1】把一张长方形纸按下图所示的方式折起来，折痕a和b的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不互相垂直 【易错专练2】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画（    ）条。 A．1 B．4 C．2 D．无数 【易错专练3】点A到直线l的距离是（    ）cm。 A．10 B．7 C．6 D．8 【易错专练4】在平直的公路一侧有3条小路通往乐乐家，它们的长度分别是178米、296米、208米，其中一条小路与公路互相垂直，这条小路长（ ）米。 【易错专练5】当两条直线相交时，所形成的4个角都是直角。（ ） 易错点2：平行线概念理解错误。 【典例2】判断：永不相交的两条直线叫做平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】平行线的完整定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。 必须强调“在同一平面内”，在立体空间中，不相交的直线可能是异面直线，不是平行线。 【正确解答】错误 【易错专练1】两条平行线之间，所有垂直线段的长度一定相等。（ ） 【易错专练2】如图，两条线没有相交，就可以看作一组平行线。（ ） 【易错专练3】“空中造楼机”可建千米级高楼。在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁是否竖直。如果墙壁竖直，铅垂线会与墙壁（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 【易错专练4】小梦去参加环保实践活动，图中是活动附近的街道平面图，图中互相平行的两条路是（ ）和（ ），互相垂直的两条路是（ ）和（ ）。 【易错专练5】下图中的各条直线中，（ ）互相平行，（ ）互相垂直。 易错点3：长方形和正方形特征混淆。 【典例3】判断：正方形的四条边都相等，所以长方形不是正方形。（ ） 【错误答案】错误 【错解分析】正方形的特征：四条边相等，四个角都是直角 长方形的特征：对边相等，四个角都是直角 当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形 正方形是特殊的长方形。本题对于长方形和正方形的特征理解混淆。 【正确解答】正确 【易错专练1】下面的彩纸分别盖住了一个图形的一部分，可能盖住了长方形的是（    ）。 A． B． C． 【易错专练2】观察下面的长方形，一共有（    ）组线段互相垂直。 A．5 B．4 C．2 【易错专练3】下列图形中，长方形有（ ），正方形有（ ）。（填序号） 【易错专练4】在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出（ ）个同样大的正方形，这个正方形的边长是（ ）毫米。 【易错专练5】选择下面的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。 （1）选择（ ）根（ ）厘米的小棒就能摆出一个正方形。 （2）选择（ ）根（ ）厘米和（ ）根（ ）厘米的小棒，就能摆出一个长方形。 易错点4：解决图形的拼组或分割类型题错误。 【典例4】下图中有几个长方形？ 【错误答案】4个 【错解分析】只数了单个的小长方形，漏数了由多个小长方形组成的大长方形。 分类计数： 小长方形：4个 由2个小长方形组成：4个（横2个，竖2个） 大长方形：1个 总共：4+4+1=9个 【正确解答】9个 【易错专练1】下图中分别有多少个正方形和长方形？ （ ）个长方形        （ ）个正方形 （ ）个长方形        （ ）个正方形 【易错专练2】用4个边长是3厘米的正方形拼图形。（先画图，再解答） （1）拼一个大长方形，长和宽各是多少？ （2）拼一个大正方形，边长是多少？ 【易错专练3】 （1）用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ （2）用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ 【易错专练4】在下面的图形中，你能找到哪些不同的正方形和长方形？ 【易错专练5】如图，有4个长都是4厘米，宽都是1厘米的长方形。 （1）如果拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） （2）如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长是多少厘米？宽是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 长方形和正方形易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：相交与垂直概念混淆。 2 易错点2：平行线概念理解错误。 4 易错点3：长方形和正方形特征混淆。 6 易错点4：解决图形的拼组或分割类型题错误。 8 模块一 易错知识点梳理 1、容易混淆“相交”和“垂直”的概念。 2、相交：两条直线有一个公共点。 3、垂直：两条直线相交成直角（是相交的特殊情况）。 4、所有垂直的线都相交，但相交的线不一定垂直。 5、平行线的完整定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。 6、必须强调“在同一平面内”。 7、在立体空间中，不相交的直线可能是异面直线，不是平行线 8、正方形的特征：四条边相等，四个角都是直角 9、长方形的特征：对边相等，四个角都是直角 10、当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：相交与垂直概念混淆。 【典例1】判断：两条直线相交，它们的夹角一定是直角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】混淆了“相交”和“垂直”的概念 相交：两条直线有一个公共点。垂直：两条直线相交成直角（是相交的特殊情况），所有垂直的线都相交，但相交的线不一定垂直。 【正确解答】错误 【易错专练1】把一张长方形纸按下图所示的方式折起来，折痕a和b的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不互相垂直 【答案】B 【分析】将长方形纸按图示方式折叠，观察折痕a和b的位置关系。通过折叠过程可知，折痕a和b形成的角为90度，根据垂直的定义，当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 【解答】长方形的角是90°，折叠后折痕a和b将这个直角进行了对称分割，左边变为45°，右边变为45°，使得它们之间的夹角恰好为90°，因此折痕a和b互相垂直。 【易错专练2】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画（    ）条。 A．1 B．4 C．2 D．无数 【答案】D 【分析】在同一平面内，过直线上或直线外任意一点都能画已知直线的一条垂线，由于这样的点有无数个，所以可以画无数条已知直线的垂线。 【解答】由分析可知在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画（无数）条。 故答案为：D 【易错专练3】点A到直线l的距离是（    ）cm。 A．10 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短，它的长度叫这点到直线的距离。点A到直线l的距离就是垂线段的长度，据此作答。 【解答】点A到直线l的距离就是垂线段的长度，由图可知，垂线段长6cm，因此点A到直线l的距离是6cm。 故答案为：C 【易错专练4】在平直的公路一侧有3条小路通往乐乐家，它们的长度分别是178米、296米、208米，其中一条小路与公路互相垂直，这条小路长（ ）米。 【答案】178 【分析】因为这条小路与公路是垂直的，根据点到直线的距离垂线段最短，比较这三条小路的长度，最短的就是这条与公路垂直的小路的长度。 【解答】178米＜208米＜296米 在平直的公路一侧有3条小路通往乐乐家，它们的长度分别是178米、296米、208米，其中一条小路与公路互相垂直，这条小路长178米。 【易错专练5】当两条直线相交时，所形成的4个角都是直角。（ ） 【答案】× 【分析】两条直线相交时，有两种情况：如图，一种是两条直线相互垂直，这时形成的4个角才都是直角； 一种是两条直线相交不垂直，这时形成的4个角都不是直角。据此分析判断即可。 【解答】两条直线相交形成的4个角，若两条直线互相垂直，则形成的4个角都是直角。若两条直线相交不垂直，则形成的4个角都不是直角；原题说法错误。 故答案为：× 易错点2：平行线概念理解错误。 【典例2】判断：永不相交的两条直线叫做平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】平行线的完整定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。 必须强调“在同一平面内”，在立体空间中，不相交的直线可能是异面直线，不是平行线。 【正确解答】错误 【易错专练1】两条平行线之间，所有垂直线段的长度一定相等。（ ） 【答案】√ 【分析】两条平行线之间的距离处处相等。从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，所得垂直线段的长度即为该距离。因此，所有垂直线段的长度都等于这个恒定的距离，故一定相等。 【解答】依据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等。因此，在两条平行线之间，任何垂直线段的长度都等于这个距离，所以所有垂直线段的长度一定相等。 故答案为：√ 【易错专练2】如图，两条线没有相交，就可以看作一组平行线。（ ） 【答案】× 【分析】本题考查平行线的定义，平行线是指在同一平面内，永不相交的直线 。需要判断图中的线是否符合直线且在同一平面内永不相交这两个条件。 【解答】图中的线是曲线，而平行线的定义限定为直线，所以即使这两条曲线没有相交，也不能看作一组平行线，该说法错误。 故答案为： 【易错专练3】“空中造楼机”可建千米级高楼。在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁是否竖直。如果墙壁竖直，铅垂线会与墙壁（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 【答案】A 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做互相平行。如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直。 【解答】铅垂线受重力作用，永远是竖直向下的直线，墙壁竖直，墙壁的边线也是竖直方向，两条竖直方向、永不相交的直线，位置关系是互相平行。 【易错专练4】小梦去参加环保实践活动，图中是活动附近的街道平面图，图中互相平行的两条路是（ ）和（ ），互相垂直的两条路是（ ）和（ ）。 【答案】工农路 文昌路 文昌路 红星路 【分析】判断两条路是否互相平行，看两条路在图中是否永远不相交，并且之间的距离处处相等；判断两条路是否互相垂直，看两条路相交形成的角是不是直角；在图里找出符合条件的道路名称。 【解答】从图中可以看出，图中互相平行的两条路是工农路和文昌路，互相垂直的两条路有很多，如文昌路和红星路、工农路和红星路、山河路和星汇路，任选一组填写。 【易错专练5】下图中的各条直线中，（ ）互相平行，（ ）互相垂直。 【答案】直线③和直线④ 直线①和直线② 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内，如果两条直线永不相交，我们就说它们互相平行，或者说其中一条直线是另一条直线的平行线；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；据此解答即可。 【解答】由分析可知，直线③和直线④互相平行，直线①和直线②互相垂直。 易错点3：长方形和正方形特征混淆。 【典例3】判断：正方形的四条边都相等，所以长方形不是正方形。（ ） 【错误答案】错误 【错解分析】正方形的特征：四条边相等，四个角都是直角 长方形的特征：对边相等，四个角都是直角 当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形 正方形是特殊的长方形。本题对于长方形和正方形的特征理解混淆。 【正确解答】正确 【易错专练1】下面的彩纸分别盖住了一个图形的一部分，可能盖住了长方形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】长方形的核心特征是：四个角都是直角，所有边都是直的，不存在曲线边，逐个判断即可。 【解答】A．露出的图形顶点处是锐角，没有符合长方形要求的直角，不可能是长方形。 B．露出了直角，边也都是直边，符合长方形的特征，因此可能是被彩纸盖住的长方形。 C．露出的图形带有圆弧曲线边，不符合长方形“所有边都是直边”的要求，不可能是长方形。 则可能盖住了长方形的是第二个图形。 【易错专练2】观察下面的长方形，一共有（    ）组线段互相垂直。 A．5 B．4 C．2 【答案】B 【分析】根据题意，依据长方形的特征及性质可知：长方形有四组互相垂直的线段；每条边都和相邻的两条边垂直. 长方形的两条对边平行且相等，有4个角，每个角都是直角，每条边都和与它相邻的两条边互相垂直。 【解答】根据分析可知： 观察下面的长方形，一共有4组线段互相垂直。 故答案为：B 【易错专练3】下列图形中，长方形有（ ），正方形有（ ）。（填序号） 【答案】④⑥⑦ ②⑤/⑤② 【分析】长方形的特征：四边形，4个角都是直角，对边相等；正方形的特征：四边形，四个角都是直角，且4条边长度都相等，判断即可。 【解答】由分析得出：②⑤符合正方形的特征，是正方形； ④⑥⑦符合长方形的特征，属于长方形。 【易错专练4】在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出（ ）个同样大的正方形，这个正方形的边长是（ ）毫米。 【答案】2 40 【分析】需要根据长方形和正方形的特征，结合题目要求确定能折出的正方形个数和正方形的边长。要在这个长方形中折出同样大的正方形，且要使折出的正方形个数最少，那么正方形的边长就要最大，根据长方形的长和宽的长度关系确定正方形的边长，即可算出正方形的个数。最后根据1厘米＝10毫米，把正方形的边长换算成毫米即可。 【解答】长方形的长8厘米，宽4厘米，长正好是宽的2倍，可以确定最大的正方形的边长为4厘米；沿着长折正好可以折出两个4厘米，宽是4厘米只能折出1个，那么总共能折出的正方形个数为2×1＝2个。所以至少能折出2个同样大的正方形，这个正方形的边长是4厘米，4厘米＝40毫米。 所以，在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出2个同样大的正方形，这个正方形的边长是40毫米。 【易错专练5】选择下面的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。 （1）选择（ ）根（ ）厘米的小棒就能摆出一个正方形。 （2）选择（ ）根（ ）厘米和（ ）根（ ）厘米的小棒，就能摆出一个长方形。 【答案】（1）4 2 （2）2 1 2 3 【分析】正方形的特征是四条边长度完全相等，需要4根长度相同的小棒；长方形的特征是对边相等，需要分别取两组同长度的小棒，满足要求的组合不唯一，判断即可。 【解答】（1）观察小棒数量：只有2厘米的小棒刚好有4根，其余长度的小棒数量都不够4根，因此选择4根2厘米的小棒就能摆出一个正方形。 （2）由分析得出，可以选2根1厘米和2根3厘米，就能摆出一个长方形。（答案不唯一） 易错点4：解决图形的拼组或分割类型题错误。 【典例4】下图中有几个长方形？ 【错误答案】4个 【错解分析】只数了单个的小长方形，漏数了由多个小长方形组成的大长方形。 分类计数： 小长方形：4个 由2个小长方形组成：4个（横2个，竖2个） 大长方形：1个 总共：4+4+1=9个 【正确解答】9个 【易错专练1】下图中分别有多少个正方形和长方形？ （ ）个长方形        （ ）个正方形 （ ）个长方形        （ ）个正方形 【答案】1 2 4 5 【分析】根据正方形和长方形的图形特点，统计数量即可。正方形和长方形均有4个直角，正方形的四条边均相等。 【解答】第一幅图： 单个小正方形有2个，两个小正方形可以拼成1个大长方形； 第二幅图： 小正方形有4个，4个小正方形可以拼成1个大正方形，一共（个）正方形；2个小正方形拼成长方形，横向拼有2个、纵向拼有2个，一共（个）长方形。 【易错专练2】用4个边长是3厘米的正方形拼图形。（先画图，再解答） （1）拼一个大长方形，长和宽各是多少？ （2）拼一个大正方形，边长是多少？ 【答案】（1）图见详解；长12厘米；宽3厘米 （2）图见详解；6厘米 【分析】（1）用4个小正方形拼成一个大长方形，只能将这4个小正方形排成一行。此时大长方形的宽等于小正方形的边长，长等于4个小正方形边长的总和。 （2）用4个小正方形拼成一个大正方形，需要将这4个小正方形排成2行2列。此时大正方形的边长等于2个小正方形边长的总和。 【解答】（1）拼成大长方形： 长：3×4＝12（厘米） 宽：3 厘米 答：大长方形的长是 12 厘米，宽是 3 厘米。 （2）拼成大正方形： 边长：3×2＝6（厘米） 答：大正方形的边长是 6 厘米。 【易错专练3】 （1）用上面这种正方形和长方形拼一个边长3厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ （2）用上面这种正方形和长方形拼一个长4厘米、宽3厘米的长方形，又可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？ 【答案】（1）正方形需要个，长方形需要个； 或正方形需要6个，长方形需要1个。 （2）正方形需要个，长方形需要3个； 或正方形需要6个，长方形需要2个。 【分析】根据题意可知：要拼成一个边长是厘米的正方形，使用边长厘米的小正方形需要个并排放置，此时保证长是厘米，而宽是厘米，需要再用个长厘米，宽厘米的长方形，即可拼成；也可以用6个边长为1厘米的正方形拼成2排和一个长厘米，宽厘米的长方形 要拼成一个长厘米，宽厘米的长方形，需要个边长1厘米的小正方形和一个长为厘米，宽为厘米的长方形并排放置，此时长厘米，宽厘米，再按照这样的方式再摆两排即可拼成；也可以6个正方形和一个长方形拼成，用据此解答。 【解答】（1） 答：正方形需要个，长方形需要个。 答：正方形需要6个，长方形需要1个。 （答案不唯一） （2） 答：正方形需要个，长方形需要个。 答：正方形需要6个，长方形需要2个。 （答案不唯一） 【易错专练4】在下面的图形中，你能找到哪些不同的正方形和长方形？ 【答案】见详解 【分析】正方形四条边都相等，四个角都是直角；长方形两组对边相等，四个角都是直角；据此分别找出正方形和长方形即可。 【解答】如图所示： 左边图形中①②④⑥是单独的4个正方形，①②③这3个部分组成1个正方形，①②③④⑤这5个部分组成了1个正方形，①②③④⑤⑥⑦这7个部分组成了1个正方形，一共有7个正方形；③⑤⑦是单独的3个长方形，①②这2个部分组成1个长方形，①②③④这4个部分组成了1个长方形，①②③④⑤⑥这6个部分组成了1个长方形，一共有6个长方形； 右边图形中①③④⑤⑥是单独的5个正方形，且只有这5个正方形；②是1个单独的长方形，①②这2个部分组成1个长方形，①②③这3个部分组成1个长方形，①②③④这4个部分组成了1个长方形，①②③④⑤这5个部分组成了1个长方形，①②③④⑤⑥这6个部分组成了1个长方形，一共有6个长方形。 【易错专练5】如图，有4个长都是4厘米，宽都是1厘米的长方形。 （1）如果拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） （2）如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长是多少厘米？宽是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） 【答案】（1）画图见详解；4厘米 （2）画图见详解；长8厘米、宽2厘米或者长16厘米、宽1厘米 【分析】（1）因为宽是1厘米，长是4厘米，可以如下图拼成正方形： ，边长是4厘米； （2）如果拼成一个长方形，有两种不同拼法，第一种如图： ，长为4×2厘米，宽为1×2厘米； 第二种如图： ，长为4×4厘米，宽为1厘米。 【解答】 （1），正方形边长为4厘米； （2）有两种不同拼法，第一种： 4×2＝8（厘米） 1×2＝2（厘米） 第二种： 4×4＝16（厘米） 答：如果拼成一个长方形，长方形的长为8厘米，宽为2厘米或者长为16厘米，宽为1厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $