专题14 同角三角函数的关系及诱导公式（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题14 同角三角函数的关系及诱导公式 【复习目标】 1. 会根据任意角的三角函数的定义或借助单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系，能进行有关的化简和计算，知道诱导公式在三角函数求值与化简中的作用； 2. 会根据三角函数值，求出指定范围内的角； 【考点1 同角三角函数的关系】 1.一般地，设点P (x,y)是角α的终边与单位圆O的交点，则|OP|=1，x=cos α， y=sin α. 因为，所以x²+y²=1，即 sin²α+ cos²α =1.而当时有 2.同角三角函数间的基本关系式： （1）平方关系：sin²α+ cos²α =1 变形公式： ； （2）商数关系： 这说明, 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角α的正切． 3．同角三角函数的关系式的基本用途： （1）根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值； （2）化简同角的三角函数式； （3）证明同角的三角恒等式． 4．sin α＋cos α，sin α cos α，sin α－cos α三者之间的关系 （1）(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α； （2） (sin α－cos α)2＝1－sin2α； （3）(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； （4）(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝2sin2α. 【即时训练】 1．已知角满足，则（   ） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】C 【分析】根据三角函数中同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系式即可求解. 【详解】因为， 对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故正确； 对于D，，故错误， 故选：C. 3．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 4．已知，且为锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的平方关系：即可求解. 【详解】因为，所以，因为为锐角，所以. 故选： 5．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系以及角的范围求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：A. 6．若，为第四象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系以及角所在象限计算可得结果. 【详解】由，利用可得， 所以， 又为第四象限角，所以，即. 故选：D. 7．已知，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用同角关系以及两角和的正切公式计算可得结果. 由可得，解得； 则. 8．已知，其中为第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的关系及角所在象限求正切值. 由，为第二象限角，所以，则. 故选：B 9．若，则（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数关系式可得答案. 将表达式分子分母同除以 ： 得：， 因为， 所以. 故选：A 10．若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据商数关系的分式变形，求解即可. 【详解】分子分母同除以，得， 即， 解得：. 故选：A. 11．已知，，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】由题意得，，，， . 故选：B. 12．已知，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】分子分母同时除以然后化简求值即可. 【详解】分子分母同时除以，则； 故选：B. 【考点2 诱导公式】 1．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 2．诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，若是偶数倍，则函数名称不变． 【即时训练】 13．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果. 因为， 所以由诱导公式得． 故选：A 14．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式即可求解. 由，可得， 则， 故选：D 15．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和特殊角的正弦值计算即可. . 故选：B. 16．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式结合特殊角三角函数值计算求解 . 故选：D. 17．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦的诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 18．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及余弦函数的性质求解即可. 【详解】函数的最大值是1. 故选：C. 19．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 20．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】． 故选：D. 21．若角为锐角，则下列选项中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：B. 22．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求解. 【详解】 . 故选：A. 23．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式得出，结合同角三角函数的基本关系可得出的表达式. 因为，且为锐角，则， 所以，因此. 故选：A. 24．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 1.（2026云南）已知tanα=3.则 。 【答案】3 【分析】根据三角函数齐次式化简方法可得结果. 【详解】将分子分母同时除以得到． 故答案为：3 2.（2024云南）化简：． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系式进行化简即可得解. 【详解】原式， 所以原式. 3.（2023云南）已知角为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系关系求解. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以. . 故选：B 4.（2023云南）化简 【答案】 【解析】 【分析】分析原式利用二倍角公式、同角三角函数关系，诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， ， 所以. 5.（2023云南）（ ）． A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值代数求解. 【详解】, , . 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题14 同角三角函数的关系及诱导公式 【复习目标】 1. 会根据任意角的三角函数的定义或借助单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系，能进行有关的化简和计算，知道诱导公式在三角函数求值与化简中的作用； 2. 会根据三角函数值，求出指定范围内的角； 【考点1 同角三角函数的关系】 1.一般地，设点P (x,y)是角α的终边与单位圆O的交点，则|OP|=1，x=cos α， y=sin α. 因为，所以x²+y²=1，即 sin²α+ cos²α =1.而当时有 2.同角三角函数间的基本关系式： （1）平方关系： 变形公式： ； （2）商数关系： 这说明, 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角α的正切． 3．同角三角函数的关系式的基本用途： （1）根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值； （2）化简同角的三角函数式； （3）证明同角的三角恒等式． 4．sin α＋cos α，sin α cos α，sin α－cos α三者之间的关系 （1）(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α； （2） (sin α－cos α)2＝1－sin2α； （3）(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； （4）(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝2sin2α. 【即时训练】 1．已知角满足，则（   ） A．1 B． C．0 D．1或 2．下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，且为锐角，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 6．若，为第四象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B．1 C．2 D． 8．已知，其中为第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 9．若，则（ ） A． B． C．3 D． 10．若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 11．已知，，则等于（    ） A．2 B． C． D． 12．已知，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【考点2 诱导公式】 1．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝ ， cos(α＋2kπ)＝ ， tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ， tan(π－α)＝ 2．诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为： ．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，若是偶数倍，则函数名称不变． 【即时训练】 13．已知，则（ ） A． B． C． D． 14．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 15．（ ） A． B． C． D． 16．（ ） A． B． C． D． 17．等于（   ） A． B． C． D． 18．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 19．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 20．已知，则（   ） A． B． C． D． 21．若角为锐角，则下列选项中与相等的是（    ） A． B． C． D． 22．（   ） A． B． C． D． 23．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 24．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 1.（2026云南）已知tanα=3.则 。 2.（2024云南）化简：． 3.（2023云南）已知角为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4.（2023云南）化简 5.（2023云南）（ ）． A. 3 B. C. D. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $