专题13 弧度制与任意角三角函数 （讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 弧度制与任意角三角函数 【复习目标】 1. 知道推广角的意义和任意角所在的象限，能识别终边相同的角； 2. 知道引入弧度制的意义，会进行角度与弧度的换算； 3. 会根据任意角的三角函数（正弦、余弦和正切）定义，判断角的三角函数的符号； 4. 知道特殊角三角函数值与[0,2]范围内角的对应关系； 5. 知道弧度制下的弧长公式和扇形面积公式的推导过程，并会进行有关的计算。 6. 【考点1 角的概念】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．角的分类 （1） :按逆时针方向旋转所形成的角. （2） :按顺时针方向旋转所形成的角. （3）零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3．象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是 . 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4．轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 5．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 【即时训练】 1．若将钟表里的分针拨快10分钟，则其转过的角度为（    ） A． B． C． D． 2．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 3．的终边在第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 4．下列角中与130°角终边相同的角是（    ） A．1000° B． C． D． 5．下列各角中不是界限角的是（         ）. A． B． C． D． 6．终边在y轴上的角的集合可表示成 A． B． C． D． 7．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是（    ） A．A＝B＝C B．A＝B∩C C．A∪B＝C D．A⊆B⊆C 8．终边落在x轴上的角的集合是（    ） A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 9．是第几象限的角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 10．角是（   ） A．第一角限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【考点2 弧度制】 1．弧度制概念 规定，弧长等于半径(即 ) 的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角. 记作“1rad” (读作“1 弧度”) ．以“弧度”为单位来度量角的制度称为 . 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：， ， 3．常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 4．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 【即时训练】 11．下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 12．一钟（表）的时针经过40分钟所转过的角度是（    ） A． B． C． D． 13．关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．是第（    ）象限角． A．一 B．二 C．三 D．四 15．扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是（   ） A． B．1 C．2 D．3 16．一个扇形的弧长，半径，则该扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 17．转换为弧度是（    ） A． B． C． D． 18．角所对应的弧度为（   ） A． B． C． D． 19．已知圆的半径为2cm，圆心角为，则此圆心角所对的弧长为（    ） A．cm B．45cm C．cm D．90cm 20．已知一个扇形的周长为16，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 21．医护人员为患者进行关节康复训练，假设患者的膝关节转动时转动的面积为，大腿骨（可近似看作转动半径）长为35的圆心角是（    ）弧度. A． B． C． D． 22．一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（    ） A．4 B．4 C．2 D．1 【考点3 任意角三角函数】 1.锐角三角函数 在中 2.设角α为平面直角坐标系Oxy 中的任意一个角, 在其终边上任取与原点O不重合的一点P(x,y) , 则|OM|＝ |x|, |MP|＝ |y|．点P到原点O的距离 3．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的 ，记作sin α，即y＝sin α= 余弦 点P的横坐标x叫做α的 ，记作cos α，即x＝cos α= 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的 ，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 4. 符号坐标图：（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦） 5. 特殊角的三角函数值： 角度 0° 30° 45° 60° 90 120° 135 150° 180° 270 360° 弧度 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 - - - -1 0 1 tan 0 1 / - -1 - 0 / 0 【即时训练】 23．已知角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 24．已知角α的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 25．已知角终边上一点，且，则=（      ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或 26．已知是角终边上一点，则（    ） A．3 B． C． D． 27．已知A是的一内角，若，则（    ） A． B． C． D．或 28．的值是（    ） A． B． C． D． 29．若是第二象限角,则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．设，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 31．（    ）． A．3 B． C． D．2 32．若，则a终边在（   ）. A．第一象限 B．第四象限 C．第二或第三象限 D．第一或第四象限 33．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 1.（2026云南）将120°的角转换为弧度是（ ）。 A. B. C. D. 2.（2026云南）若角α的终边经过点P(4,3),则cosα=（ ）。 A. B. C. D. 3.（2026云南）已知tanα=3.则 。 4.（2025云南）已知，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 5.（2024云南）已知角为第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 6.（2023云南）（ ）． A. 3 B. C. D. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 弧度制与任意角三角函数 【复习目标】 1. 知道推广角的意义和任意角所在的象限，能识别终边相同的角； 2. 知道引入弧度制的意义，会进行角度与弧度的换算； 3. 会根据任意角的三角函数（正弦、余弦和正切）定义，判断角的三角函数的符号； 4. 知道特殊角三角函数值与[0,2]范围内角的对应关系； 5. 知道弧度制下的弧长公式和扇形面积公式的推导过程，并会进行有关的计算。 【考点1 角的概念】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．角的分类 （1）正角:按逆时针方向旋转所形成的角. （2）负角:按顺时针方向旋转所形成的角. （3）零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3．象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4．轴线角 （1）定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. （2）轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 5．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 【即时训练】 1．若将钟表里的分针拨快10分钟，则其转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的定义即可解得. 【详解】将分针拨快十分钟，即角顺时针旋转， 则其转过的角度为： 故选：B 2．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由终边相同角的定义，可得答案． 【详解】由终边相同角的定义可得，与角终边相同角的集合可表示为． 故选：D． 3．的终边在第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】利用终边相同的角得出与终边相同即可得解. 【详解】，所以与终边相同， 所以的终边在第二象限， 故选：. 4．下列角中与130°角终边相同的角是（    ） A．1000° B． C． D． 【答案】C 【分析】利用公式来判断. 【详解】因为与130°角终边相同的角表示为 ， 当时，， 故与130°角终边相同. 故选：C 5．下列各角中不是界限角的是（         ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据界限角的范围求解. 【详解】因为角的终边在轴负半轴， 角的终边在轴正半轴， 角的终边在轴正半轴，都是界限角； 角的终边在第四象限，不属于界限角， 故选：B 6．终边在y轴上的角的集合可表示成 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合终边相同的角的概念可得或，整理即可得解. 【详解】由题意，若的终边在y轴上， 则或， 所以， 所以终边在y轴上的角的集合可表示成. 故选：D. 【点睛】本题考查了终边相同的角的概念的应用，考查了轴线角的求解，属于基础题. 7．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是（    ） A．A＝B＝C B．A＝B∩C C．A∪B＝C D．A⊆B⊆C 【答案】D 【分析】利用终边相同的角的定义判断. 【详解】因为集合A是终边在x轴的非负半轴上的角的集合， 集合B是终边在x轴上的角的集合， 集合C是终边在坐标轴上的角的集合， 所以A⊆B⊆C． 故选：D 8．终边落在x轴上的角的集合是（    ） A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 【答案】C 【解析】先分别表示出终边在x轴非负半轴上的角的集合和终边在x轴非正半轴上的角的集合，再取并集即可. 【详解】因为终边在x轴非负半轴上的角的集合为S1＝{α|α＝k1·360°，k∈Z}＝{x|x＝2k1·180°，k∈Z}， 终边在x轴非正半轴上的角的集合为S2＝{α|α＝k2·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k2＋1)·180°，k∈Z}， 所以终边在x轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·180°，k∈Z}， 故选：C． 9．是第几象限的角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】首先找到与终边相同的角，由此即可判断象限. 【详解】，所以与终边相同， 因为，所以为第三象限角， 所以为第三象限角. 故选：C. 10．角是（   ） A．第一角限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】C 【分析】将其化为的角，然后即可判断. 【详解】，， 则角是第三象限的角； 故选：C. 【考点2 弧度制】 1．弧度制概念 规定，弧长等于半径(即 ) 的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角. 记作“1rad” (读作“1 弧度”) ．以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制 . 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：， ， 3．常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 4．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 【即时训练】 11．下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由任意角和弧度制的定义，求出与终边相同的角即可. 【详解】与终边相同的角为， 当时，. 故选：C. 12．一钟（表）的时针经过40分钟所转过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时针转动特征及方向，用弧度表示角求解即可. 【详解】易知时针走一圈是顺时针转动，则转过的角度是， 经过的时间是小时，即分钟， 则时针经过40分钟所转过的角度是. 故选：D. 13．关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据弧度制的定义求解即可. 【详解】设圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，可知， 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，与圆的半径无关， 据此可知③正确，①②错误． 故选：B 14．是第（    ）象限角． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】根据象限角的概念和弧度制的表示可判断结果. 【详解】因为， 所以是第二象限角． 故选：B 15．扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据弧度数公式求解. 【详解】扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是. 故选：D． 16．一个扇形的弧长，半径，则该扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度的定义可求解. 【详解】因为一个扇形的弧长，半径， 所以该扇形的圆心角. 故选：C 17．转换为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度弧度互换公式计算即可求解. 【详解】因为. 故选：C. 18．角所对应的弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度和角度互相转化易得答案. 【详解】用弧度制表示为. 故选：C. 19．已知圆的半径为2cm，圆心角为，则此圆心角所对的弧长为（    ） A．cm B．45cm C．cm D．90cm 【答案】C 【分析】先将圆心角转化弧度，再由弧长公式即可求解. 【详解】圆心角，转化成弧度即为， 所以此圆心角所对的弧长为. 故选：C. 20．已知一个扇形的周长为16，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据扇形周长找到弧长与半径的关系式，再代入面积公式中得到面积关于半径的一元二次函数，配方法求出函数最大值时对应半径及弧长，再代弧长公式求圆心角即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为， 则扇形周长即， 扇形面积， 则当时，该扇形的面积最大， 此时，. 故选：B. 21．医护人员为患者进行关节康复训练，假设患者的膝关节转动时转动的面积为，大腿骨（可近似看作转动半径）长为35的圆心角是（    ）弧度. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式及题中所给信息计算即可求解. 【详解】因为扇形面积公式，且，， 所以弧度. 故选：B. 22．一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（    ） A．4 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据扇形面积和弧长公式计算即可得出结果. 【详解】设扇形的弧度数为，半径为r，弧长为l， 因为扇形面积， 所以有， 解得， 所以扇形中心角的弧度数. 故选:D. 【考点3 任意角三角函数】 1.锐角三角函数 在中 2.设角α为平面直角坐标系Oxy 中的任意一个角, 在其终边上任取与原点O不重合的一点P(x,y) , 则|OM|＝ |x|, |MP|＝ |y|．点P到原点O的距离 3．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α= 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α= 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 4. 符号坐标图：（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦） 5. 特殊角的三角函数值： 角度 0° 30° 45° 60° 90 120° 135 150° 180° 270 360° 弧度 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 - - - -1 0 1 tan 0 1 / - -1 - 0 / 0 【即时训练】 23．已知角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数定义可求解. 【详解】由题知 ， 故. 故选：D 24．已知角α的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】已知角α的终边经过点， 则. 故选：A. 25．已知角终边上一点，且，则=（      ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或 【答案】D 【分析】由三角函数的定义求出参数即可求解. 【详解】因为角终边上一点，则，所以， 又，解得或. 故选：D. 26．已知是角终边上一点，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义以及同角三角函数商数关系计算即可得出结果. 【详解】因为是角终边上一点，所以， 所以. 故选：A. 27．已知A是的一内角，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，可得，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为A是的一内角，所以， 又， 所以或. 故选：D. 28．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：C. 29．若是第二象限角,则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由象限角的三角函数的正负即可得解. 【详解】若是第二象限角,所以. 所以点. 所以点在第四象限. 故选:. 30．设，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数值的符号，判断象限角的位置，即可. 【详解】由题意知， 所以角在第四象限角. 故选：D. 31．（    ）． A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据特殊三角函数值代数求解. 【详解】, , . 故选:C. 32．若，则a终边在（   ）. A．第一象限 B．第四象限 C．第二或第三象限 D．第一或第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数在各象限符号规则可得结果. 【详解】由可知：与同号. 若与同为正，则a终边在第一象限； 若与同为负，则a终边在第四象限. 综上所述，a终边在第一或第四象限. 故选：D 33．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义来求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 1.（2026云南）将120°的角转换为弧度是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据角度制与弧度制的转换关系即可求解. 【详解】因为1°＝ 所以120°＝120＝ 故选：D. 2.（2026云南）若角α的终边经过点P(4,3),则cosα=（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据余弦函数即可求解. 【详解】 若角α的终边经过点P(x,y)，则cosα=。已知角α的终边经过点P(4,3)，则cosα= 故选：C. 3.（2026云南）已知tanα=3.则 。 【答案】3 【分析】根据三角函数齐次式化简方法可得结果. 【详解】将分子分母同时除以得到． 故答案为：3 4.（2025云南）已知，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 【答案】D 【分析】由各象限三角函数值的符号即可判断. 【详解】因为，所以“且” 或“且”，所以是第一或第四象限角. 故选：D. 5.（2024云南）已知角为第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数值在各象限的符号即可得解. 【详解】因为角为第四象限角， 所以. 故选：A. 6.（2023云南）（ ）． A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值代数求解. 【详解】, , . 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $