专题11 指数幂及指数函数（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 指数幂及指数函数 【复习目标】 1. 能体会指数从正整数推广到有理数、实数的过程，知道实数指数幂的运算； 2. 能借助几何直观和代数运算认识指数函数，知道指数函数的定义及性质，会用指数函数的单调性比较同底指数幂的大小； 3. 会用指数函数的图像和性质解决问题； 4. 能通过数学建模，解决简单的与指数函数有关的实际的问题。 【考点1 指数幂】 1.根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 1．下列描述正确的是（    ） A． B．16的四次方根是 C． D． 2．的图像经过点（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 6．把用分数指数幂形式表示的是（ ） A． B． C． D． 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做 ，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)指数函数（且）比较大小： 当时，指数x越大，函数值越 ；当时，指数x越大，函数值越 . 即：当被比较的两个数值是同一指数函数的两个函数值时，可利用函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小． 2.【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. (2)指数函数的图象与性质 特点 图像 性质 定义域：值域： 图像过点（0,1） 在上是增函数 在上是减函数 【即时训练】 7．下列函数中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各函数中，属于指数函数的是（    ） A． B． C． D． 9．下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 10．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 11．如图所示指数函数，的图像，下列结论判断正确的是（    ） A．， B． C． D． 12．在同一直角坐标系中，若，则函数与的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   13．指数函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．指数函数的定义域为（   ） A．R B． C． D． 15．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 16．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 17．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D．或 18．函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 19．若指数函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的污垢的2%，该洗衣机至少要清洗的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 21．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 23．函数的最大值为（ ） A．4 B．3 C． D． 24．函数在区间上的最大值是（  ） A． B． C． D． 25．设，函数在区间上的最大值和最小值的差为2，则（    ） A． B．2 C．3 D．5 26．某新型机械的生产效率（件/小时）与使用年限的关系为.使用年后，该机械的生产效率约为（    ）（参考数据：） A．件/小时 B．件/小时 C．件/小时 D．件/小时 27．新冠疫情影响经济发展，特别是对个体企业的冲击较大，某银行为响应国家号召，扶持个体企业的发展，对小微企业实行贴息贷款，若该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%，那么请你根据所学知识估算，该银行的年贷款利率下降了多少个百分点（    ） A．1.5 B．1.8 C．2.0 D．2.2 28．某家庭在2022年年收入有20万，预计年收入年平均增长率为1%，那么五年后这个家庭的年收入为（    ） A．万 B．万 C．万 D．万 29．已知且的图像恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 30．已知且的图像经过点P，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 1.（2026云南）已知函数则 。 2.（2026云南）计算: 3.（2025云南）已知指数函数（且）的图像经过点，则= ． 4.（2025云南）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5.（2024云南）已知a、b均为实数，且满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 6.（2024云南）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7.（2023云南）设，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.（2023云南）设，则（ ） A. B. C. D. 9.（2023云南） （ ） A. 5 B. 4 C. D. 10.（2022云南）设，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 11.（2022云南）（ ）． A. B. C. D. 12.（2022云南）设，则（ ）． A. B. C. D. 13.（2022云南）若，则与的大小关系是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 指数幂及指数函数 【复习目标】 1. 能体会指数从正整数推广到有理数、实数的过程，知道实数指数幂的运算； 2. 能借助几何直观和代数运算认识指数函数，知道指数函数的定义及性质，会用指数函数的单调性比较同底指数幂的大小； 3. 会用指数函数的图像和性质解决问题； 4. 能通过数学建模，解决简单的与指数函数有关的实际的问题。 【考点1 指数幂】 1.根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 1．下列描述正确的是（    ） A． B．16的四次方根是 C． D． 【答案】B 【分析】根据n次方根的性质即可求解. 【详解】根据n次方根的性质，当n为奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数，0的n次方根是0；当n是偶数时，正数有两个n次方根，它们互为相反数，负数没有偶次方根. 故选项A，，错误； 选项B，16的四次方根是，正确； 选项C，，错误； 选项D，,错误. 故选：B. 2．的图像经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将点的坐标代入函数解析式，即可求解. 【详解】因为函数， 当时，，故函数过，点不在函数图像上，故选项A不符合题意； 当时，，故函数过，点和点不在函数图像上， 故选项B和D不符合题意； 当时，，故函数过，故选项C符合题意； 故选：C. 3．若，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数幂的运算法则判断选项即可. 【详解】对A：若，则，故A正确， 对B：若，则，故B错误， 对C：若，则，故C错误， 对D：若，则，故D错误. 故选：A. 4．已知，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】，故A错， ，故B错， ，故C错， ，故D正确. 故选：D 5．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算、根式的化简和求值可得结果. 【详解】对A选项，，故错误； 对B选项，，故正确； 对C选项，，故错误； 对D选项，，故错误. 故选：B 6．把用分数指数幂形式表示的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的互化法则进行转化即可. 【详解】由于， 故用分数指数幂形式表示为. 故选：C 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)指数函数（且）比较大小： 当时，指数x越大，函数值越大；当时，指数x越大，函数值越小. 即：当被比较的两个数值是同一指数函数的两个函数值时，可利用函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小． 2.【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. (2)指数函数的图象与性质 特点 图像 性质 定义域：值域： 图像过点（0,1） 在上是增函数 在上是减函数 【即时训练】 7．下列函数中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义可判断. 【详解】由指数函数的定义可知 是指数函数，其它都不是. 故选：C. 8．下列各函数中，属于指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念判断. 【详解】形如且的函数为指数函数， 函数，，，中，只有符合，故C正确. 故选：C. 9．下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念逐项分析即可. 【详解】A．符合指数函数的定义，故本选项正确， B．中，底数，无意义，故本选项错误， C．是一次函数不是指数函数，故本选项错误， D．是二次函数不是指数函数，故本选项错误. 故选：A. 10．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】解方程即得或，再检验即得解. 【详解】解：由题得或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意. 所以. 故选：D 11．如图所示指数函数，的图像，下列结论判断正确的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像性质即可判断求解. 【详解】由图像可知在定义域上单调递减，因此； 在定义域上单调递增，因此，因此. 故选：C. 12．在同一直角坐标系中，若，则函数与的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据指数函数的图像与单调性结合一次函数的图像进行判断即可. 【详解】是减函数， 与轴交点的纵坐标介于0和1之间，D选项正确. 故选：D． 13．指数函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义域求解即可. 【详解】因为指数函数. 所以函数的定义域为. 故选：B. 14．指数函数的定义域为（   ） A．R B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的定义域求解即可. 【详解】形如且的函数为指数函数，指数函数的定义域为R， 故选：A． 15．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数值域可求. 【详解】为指数函数，指数函数值域为， 则函数的值域是； 故选：C. 16．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是减函数，且， 所以 ， 又 ， 故函数 的值域为. 故选：C. 17．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以， 解得. 故选：C. 18．函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，利用单调性求出最大值即得. 【详解】函数在R上单调递减， 所以当时，. 故选：A 19．若指数函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】因为在R上的减函数, 得, 解得. 故选:D. 20．在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的污垢的2%，该洗衣机至少要清洗的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意列指数不等式求解即可. 【详解】设原有污垢为，漂洗次后，存留污垢为， 解不等式得． 故选：C. 21．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求解不等式即可； 【详解】不等式，因为是定义域上的增函数， 所以，即． 所以的取值范围是； 故选：D 22．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性进行判断. 【详解】函数、在定义域内均为单调递增函数； 由指数函数性质：底数为单调递增函数，底数为单调递减函数， 可知为增函数，为减函数． 故选：C. 23．函数的最大值为（ ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数单调性，在已知区间上求解即可解得. 【详解】函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值， 最大值为. 故选：A 24．函数在区间上的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性求最值即可. 【详解】由指数函数性质可知在区间上单调递减； 当时取得最大值为； 故选：D. 25．设，函数在区间上的最大值和最小值的差为2，则（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据指数函数的图像与性质列式求解即可. 【详解】因为，函数+1是上的增函数， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以，解得或． 因为，所以． 故选：B. 26．某新型机械的生产效率（件/小时）与使用年限的关系为.使用年后，该机械的生产效率约为（    ）（参考数据：） A．件/小时 B．件/小时 C．件/小时 D．件/小时 【答案】B 【分析】根据指数的运算，即可求解. 【详解】把代入，得件/小时. 故选：B. 27．新冠疫情影响经济发展，特别是对个体企业的冲击较大，某银行为响应国家号召，扶持个体企业的发展，对小微企业实行贴息贷款，若该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%，那么请你根据所学知识估算，该银行的年贷款利率下降了多少个百分点（    ） A．1.5 B．1.8 C．2.0 D．2.2 【答案】B 【分析】先求出月利率的下降百分点，再乘以即可得解. 【详解】该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%， 则月利率下降了， 所以该银行的年贷款利率下降了个百分点. 故选：B. 28．某家庭在2022年年收入有20万，预计年收入年平均增长率为1%，那么五年后这个家庭的年收入为（    ） A．万 B．万 C．万 D．万 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义列出算式易得答案. 【详解】某家庭在2022年年收入有20万，预计年收入年平均增长率为1%， 那么1年后这个家庭的年收入为， 2年后这个家庭的年收入为， 3年后这个家庭的年收入为， 4年后这个家庭的年收入为， 5年后这个家庭的年收入为. 故选:A． 29．已知且的图像恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型函数图象过定点，使代入解析式中，即可确定点P. 【详解】已知且， 使，得， 所以且的图像过定点， 即点P的坐标是， 故选：C. 30．已知且的图像经过点P，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使代入解析式中，即可确定点. 【详解】使，得， 所以且的图像过定点， 即点P的坐标是， 故选：C. 1.（2026云南）已知函数则 。 【答案】0 【分析】根据分段函数求解方法可得结果. 【详解】函数因为0<1,所以． 故答案为：0 2.（2026云南）计算: 【答案】-1 【分析】利用指数、对数的性质、特殊角三角函数值、运算法则求解即可. 【详解】. 3.（2025云南）已知指数函数（且）的图像经过点，则= ． 【答案】 【分析】代点求出指数函数解析式，再根据解析式代值求解即可. 【详解】指数函数（且）的图像经过点， 则有，解得（舍去）， 则， ， 故答案为：. 4.（2025云南）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由根号下非负及指数函数的单调性即可求解. 【详解】函数的定义域满足，即， 因为函数在上单调递增，所以，即函数的定义域为. 故选：A. 5.（2024云南）已知a、b均为实数，且满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由非负数和为0求出a，b的值，然后再求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：A. 6.（2024云南）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性进行求解. 【详解】由题意， ， 因此，. 故选：C. 7.（2023云南）设，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的性质分析即可. 【详解】因为指数函数在R上是减函数， 所以，所以， 又因为幂函数在上是增函数， 所以，所以， 所以a、b、c的大小关系为. 故选：A. 8.（2023云南）设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用绝对值的性质、根式的性质化简计算即可. 【详解】因为, 所以,,, 所以原式=. 故选：D 9.（2023云南） （ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由根式化简，指数幂运算和对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故选：B. 10.（2022云南）设，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将根式化为分数指数幂的形式，再由幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为， ， ， 又因为函数在上是增函数， 且， 所以. 故选：D. 11.（2022云南）（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算求解. 【详解】， ， ， . 故选:C. 12.（2022云南）设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】由根式化简计算即可. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选:A. 13.（2022云南）若，则与的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的单调性即可判断大小. 【详解】因为指数函数在R上为减函数， 若，则有， 所以， 所以m与n的大小关系为. 故答案为:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $