专题12 对数及对数函数 （讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 对数及对数函数 【复习目标】 1. 会用对数的定义进行指数式与对数式的互化； 2. 能借助集合直观和代数运算认识对数函数，知道对数函数的定义及性质，会用对数函数的单调性比较同底对数值的大小； 3. 会根据对数的性质和运算法则进行对数运算； 4. 会用对数函数的图像和性质解决问题； 5. 能通过数学建模，解决简单的与对数函数有关的实际问题。 【考点1 对数】 1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3．两类重要的对数 （1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； （2）自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. 4．对数的运算公式 (1)对数运算的性质 ： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM； 一般地，＝ logaM； (2)换底公式及对数恒等式： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)． 特别地，logab＝. 【即时训练】 1．若函数的图象经过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将点代入函数解析式中即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，则，所以. 故选：C. 2．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．化为对数式是 B．化为指数式是 C．化为对数式是 D．化为对数式是 【答案】C 【分析】根据指数式和对数式的互化规则可判断结果. 【详解】根据指数式与对数式的互化规则可知， C选项，对数式是，符合互化规则， A选项，化为对数式是， B选项，化为指数式是， D选项，化为对数式是. 故选：C 3．方程的解是（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】根据指数运算，可得，再利用对数式化指数式可求解. 【详解】由可化为， ． 故选：A 4．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数运算和对数的性质分析. 【详解】∵，故，且. ∵底数大于1，是增函数， 即可得：. 故选：A． 5．计算（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用换底公式的推论求解即可. 【详解】用换底公式转化：，， 则. 故选：C. 6．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算法则，恒等式及换底公式，即可判断. 【详解】因为，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：D． 7．的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用对数的运算法则求值. 【详解】. 故选：A． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式结合条件计算即可. 【详解】因数， 所以． 故选：D. 9．设，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两个对数通过换底公式化为同分子的数，根据对数的单调性比较大小. 【详解】∵，， ∵，∴，∴， 即. 故选：C. 10．若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数式与指数式互化即可求解. 【详解】若，得. 故选：C． 【考点2 对数函数】 1.一般地，形如y =loga x(a>0且a≠1)的函数称为对数函数． 2.对数函数y =loga x( (a>0且a≠1)的图像和性质: 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【即时训练】 11．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先假设对数函数，再代入图像通过点，即可得到解析式. 【详解】设对数函数为且，函数过点， 代入计算，得到：，故，即. ∴对数函数为. 故选：B. 12．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义和单调性即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以函数的定义域是. 故选：D. 13．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域求解即可. 【详解】函数的真数满足，解得. 所以函数的定义域为, 故选：A. 14．函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性求得值域即可解得. 【详解】， 因为在上递增， 所以函数的值域为． 故选：C 15．若，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象与性质进行求解. 【详解】由，可得， 因为在上单调递增， 所以且， 则， 所以的取值范围是. 故选：C. 16．对数函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义域和单调性判断即可. 【详解】对数函数的定义域为，故A、C选项错误； 因为，所以单调递减，故D选项错误，B选项正确. 故选：B. 17．已知，，则函数和函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的图像即可得解. 【详解】的图像: 的图像: 的图像: 的图像: 根据对数函数的图象可排除CD，根据两函数图象增减性相同排除C. 故选:. 18．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，，， 即， 所以. 故选：A. 19．若，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的取值范围得到底数的取值，再结合对数函数的单调性即可判断. 【详解】因为.所以. 因为是上的增函数. 所以. 解得. 故选：D. 20．已知某种动物第年的繁殖数量（单位：只）关于的函数解析式为，且该动物第1年的繁殖数量为100只，则第15年的繁殖数量为（    ） A．1500只 B．400只 C．只 D．只 【答案】B 【分析】由条件列式求出，然后把代入函数解析式计算即可. 【详解】∵第1年的繁殖数量为100只，∴，解得， ∴函数解析式为， ∴第15年的繁殖数量为（只）. 故选：B. 21．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式和对数函数的限制条件，列出不等式组求解. 【详解】函数有意义， 则需满足： 且，即 且 ， 所以函数的定义域为 . 故选：B. 22．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型函数的定义域求解即可. 【详解】由对数的定义域可知，,即 . 故选：A 23．已知对数函数的图像过点，则该对数函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出对数函数解析式，将点代入解析式中即可得解. 【详解】设对数函数的解析式为且， 因为对数函数的图像过点， 则，解得， 所以函数解析式为， 故选：A. 24．函数区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的图像和性质即可求得区间上的值域. 【详解】因为函数在定义域内单调递增， 故函数在处取得最小值，， 故函数在处取得最大值，， 故函数区间上的值域为. 故选：D. 25．函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据针对对数函数直接求定点坐标易得答案. 【详解】令，得， 此时， 即函数的图象过定点． 故选：A． 26．对数函数（且），当时，函数图像在（   ） A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】根据对数函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 所以函数在内单调减，经过第一、四象限. 故选：B. 27．函数中，和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性判断函数值大小易得答案. 【详解】因为函数， 所以函数在定义域上单调递减，因为， 所以. 故选：C. 28．函数，则正确的是（　　） A．时， B．时， C．时， D．时， 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，即可选出正确答案. 【详解】函数是定义域内的减函数， 当时，，故A正确，B错误； 当时，， 当时，，故C，D错误. 故选：A 29．函数在上的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．a 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性即可求解最大值. 【详解】因为， 所以函数在定义域内单调递减， 所以在区间内， 在处取得最大值， 所以. 故选:C. 30．已知函数，的最大值与最小值的差为2，则a的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】函数在单调递增，则，则有， 又函数的最大值与最小值的差为2， 所以， 则有，解得. 故选：A. 1.（2026云南）函数的定义域是（ ）。 A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.[-2,+∞) D.(-2,+∞) 【答案】D 【分析】根据对数函数定义域真数大于0即可求解. 【详解】因为 所以 故选：D. 2.（2026云南）已知函数则 。 【答案】0 【分析】根据分段函数求解方法可得结果. 【详解】函数因为0<1,所以． 故答案为：0 3.（2026云南）计算: 【答案】-1 【分析】利用指数、对数的性质、特殊角三角函数值、运算法则求解即可. 【详解】. 4.（2024云南）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性进行求解. 【详解】由题意， ， 因此，. 故选：C. 5.（2024云南）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 6.（2024云南）函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式进行计算即可解得. 【详解】由题，函数， 则， 故答案为： 7.（2024云南）求函数的定义域． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数求定义域需满足的条件即可求解. 【详解】由题意得， 化简得，即且， 所以函数的定义域为. 8.（2023云南） （ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由根式化简，指数幂运算和对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故选：B. 9.（2023云南）函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质计算. 【详解】∵函数， ∴根据对数函数的性质，得到. 解一元二次不等式，化简得到，即不等式的解为. 故函数定义域为. 故答案为：. 10.（2022云南）（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算求解. 【详解】， ， ， . 故选:C. 11.（2022云南）若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的转化直接求解. 【详解】. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 对数及对数函数 【复习目标】 1. 会用对数的定义进行指数式与对数式的互化； 2. 能借助集合直观和代数运算认识对数函数，知道对数函数的定义及性质，会用对数函数的单调性比较同底对数值的大小； 3. 会根据对数的性质和运算法则进行对数运算； 4. 会用对数函数的图像和性质解决问题； 5. 能通过数学建模，解决简单的与对数函数有关的实际问题。 【考点1 对数】 1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的 ，N叫做 ． 2.当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3．两类重要的对数 （1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； （2）自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. 4．对数的运算公式 (1)对数运算的性质 ： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM； 一般地，＝ logaM； (2)换底公式及对数恒等式： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)． 特别地，logab＝. 【即时训练】 1．若函数的图象经过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．化为对数式是 B．化为指数式是 C．化为对数式是 D．化为对数式是 3．方程的解是（    ） A． B． C． D．9 4．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．计算（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．设，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．若，则有（    ） A． B． C． D． 【考点2 对数函数】 1.一般地，形如y =loga x(a>0且a≠1)的函数称为 ． 2.对数函数y =loga x( (a>0且a≠1)的图像和性质: 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【即时训练】 11．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 12．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 13．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 15．若，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 16．对数函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 17．已知，，则函数和函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 18．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．若，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知某种动物第年的繁殖数量（单位：只）关于的函数解析式为，且该动物第1年的繁殖数量为100只，则第15年的繁殖数量为（    ） A．1500只 B．400只 C．只 D．只 21．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 22．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 23．已知对数函数的图像过点，则该对数函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 24．函数区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 25．函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 26．对数函数（且），当时，函数图像在（   ） A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 27．函数中，和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 28．函数，则正确的是（　　） A．时， B．时， C．时， D．时， 29．函数在上的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．a 30．已知函数，的最大值与最小值的差为2，则a的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 1.（2026云南）函数的定义域是（ ）。 A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.[-2,+∞) D.(-2,+∞) 2.（2026云南）已知函数则 。 3.（2026云南）计算: 4.（2024云南）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5.（2024云南）计算：． 6.（2024云南）函数，则__________． 7.（2024云南）求函数的定义域． 8.（2023云南） （ ） A. 5 B. 4 C. D. 9.（2023云南）函数的定义域为______． 10.（2022云南）（ ）． A. B. C. D. 11.（2022云南）若，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $