专题3 不等式的基本性质（讲义）-2027年江苏省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3不等式的基本性质 【复习目标】 1. 理解不等式的基本性质，掌握判断两个数（式）大小的“作差比较法”； 2. 会用不等式的性质，会证明不等式； 3. 理解基本不等式，会运用此不等式求解一些最值问题。 【考点1 不等式的基本性质】 1.不等式的性质 （1）传递性：a>b,b>c⇒ （2）加法性质：a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒ （3）乘法性质：a>b,c>0⇒ a>b,c<0⇒ ;a>b>0,c>d>0⇒ 【即时训练】 1．在实数范围内，下列命题正确的是（） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．设，则的范围是__________.（用区间表示） 5．已知，，则的取值范围是________________. 6.解答题 若，，分别求的取值范围． 【考点2 不等式的证明方法】 2.证明不等式常用方法 作差比较法解题基本步骤： 第一步：作差 第二步：变形，常用配方法、因式分解法等恒等变形手段，将“差”转化为“积” 第三步：定号 最后得出结论. 【即时训练】 1．已知，，则M，N的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A． B． C． D． 3．在下列各不等式中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若，，则A，B的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 5．作差比较法的理论依据是（   ） A． B． C． D．以上都是 6．下列选项说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 7．设，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【考点3 基本不等式】 3.基本不等式 如果a,b是正数，那么 （当且仅当a=b时取等号） （一正：a,b是正数.二定：积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值.三相等：当a=b时取等号.） 【即时训练】 1．已知，且，则下列不等关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 5．已知，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若，则的最小值为（ ） A．13 B．26 C． D． 7．若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 8．已知，且，则的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 9．(其中)的最大值是 （ ） A． B． C．1 D．2 考点01 不等式的基本性质 1.（2026江苏省职教高考数学真题）若实数满足，其中，，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 16 2.（2025江苏省职教高考数学真题）若实数满足，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 25 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. 9 B. 13 C. 18 D. 26 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知函数，当时，函数有（ ） A.最小值 B.最小值12 C.最大值 D.最大值0 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3不等式的基本性质 【复习目标】 1. 理解不等式的基本性质，掌握判断两个数（式）大小的“作差比较法”； 2. 会用不等式的性质，会证明不等式； 3. 理解基本不等式，会运用此不等式求解一些最值问题。 【考点1 不等式的基本性质】 1.不等式的性质 （1）传递性：a>b,b>c⇒ a>c （2）加法性质：a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒ a+c > b+d （3）乘法性质：a>b,c>0⇒ ac > bc a>b,c<0⇒ ac < bc ;a>b>0,c>d>0⇒ ac> bd 【即时训练】 1．在实数范围内，下列命题正确的是（） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A：当时，那么没有意义，.故A错误； 选项B：，此时，故B选项错误； 选项C：，此时,故C选项错误； 选项D：因为，不等式两边同时除以一个大于0的数，不等号方向不变，可得，故D选项正确. 故选：D. 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举反例排除ACD，利用不等式的性质判断B，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，取，则，故D错误. 故选：B. 3．已知实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围. 设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 4．设，则的范围是__________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以； 所以，即. 故答案为：. 5．已知，，则的取值范围是________________. 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质可求解. 【详解】由，可得， 由，可得， 所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 6.解答题 若，，分别求的取值范围． 【答案】，，． 【分析】利用不等式的性质求范围即可. 【详解】因为，， 则，即； ，则，即； ，，则，； 所以的取值范围是，，． 【考点2 不等式的证明方法】 2.证明不等式常用方法 作差比较法解题基本步骤： 第一步：作差 第二步：变形，常用配方法、因式分解法等恒等变形手段，将“差”转化为“积” 第三步：定号 最后得出结论. 【即时训练】 1．已知，，则M，N的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可比较大小. 【详解】因为 ， 所以. 故选：A 2．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合作差法比较大小即可得解. 【详解】， 则 ， 所以， 故选：. 3．在下列各不等式中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，利用作差比较法，即可判断求解. 【详解】因为，所以，所以， 故选项A正确，不符合题意； 因为，所以，所以，所以， 故选项B正确，不符合题意； 因为，所以，当，，所以，即， 当，，所以，即， 故不一定成立，故选项C错误，符合题意； 若，则，所以，即， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C. 4．若，，则A，B的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可得解. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 5．作差比较法的理论依据是（   ） A． B． C． D．以上都是 【答案】D 【分析】根据不等式的性质和作差比较法即可求解. 【详解】作差比较法的理论依据是，，. 故选：D. 6．下列选项说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【分析】举反例排除ABC，利用作差法判断D，从而得解. 【详解】对于A，若，，取， 则，故A错误； 对于B，若，取，则，故B错误； 对于C，若，取，则，故C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，即，故D正确. 故选：D. 7．设，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】运用作差法比较大小即可. 【详解】已知，， 则 ， 所以. 故选：A. 【考点3 基本不等式】 3.基本不等式 如果a,b是正数，那么 （当且仅当a=b时取等号） （一正：a,b是正数.二定：积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值.三相等：当a=b时取等号.） 【即时训练】 1．已知，且，则下列不等关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 对于A，由于，则，故，进而，A错误， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C， 由于，则，故，C错误， 对于D， ，由于，则，故 ，故，D 错误， 2．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合奇函数与单调函数的性质，可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∵正实数满足，∴， ∵是定义在上的单调函数，∴，即， ∴，且， ∴ ， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 3．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数在的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】令， 则，当且仅当时等号成立. 所以函数在的最小值为12. 不等式对一切恒成立，等价于， 化简为，故实数的取值范围是. 故选：C. 4．若，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 5．已知，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求最大值. 因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 6．若，则的最小值为（ ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 7．若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】由题意得，利用1的代换及基本不等式求出最小值. 【详解】正数满足，则， 则， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值是5． 故选：C． 8．已知，且，则的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式确定最值即可. 【详解】已知，且， 则， 因为， 则，当且仅当时等号成立， 即时等号成立， 所以的最小值是， 故选：A. 9．(其中)的最大值是 （ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 因为)，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 考点01 不等式的基本性质 1.（2026江苏省职教高考数学真题）若实数满足，其中，，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先化简指数等式，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，可得. 令，， 代入得 ，整理得， ∴. 当且仅当时，即时取等号， 因此的最小值是. 故选：C. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）若实数满足，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】令，结合题意将变形成，利用均值不等式即可得解. 【详解】实数满足，其中， 令，则， 已知， 将变形为， 展开可得：， 对于，有， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值是5， 故选：. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. 9 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到，由此得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， ，因此，故实数的最大值为. 故选：C. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知函数，当时，函数有（ ） A.最小值 B.最小值12 C.最大值 D.最大值0 【答案】C 【解析】 【分析】首先观察函数形式，先对函数进行化简，判断其单调性，再结合给定的定义域x≥21​，分析函数的最值情况。 【详解】∵，∴， ，当且仅当即等号成立， ，，最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $