专题31 平面向量的内积（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题31 平面向量的内积 一、选择题 1．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A. 2．已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若，则，，， 故选：D. 3．设、是任意两个向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断. 【详解】由，得，满足必要性， 反之，当中有零向量时，有， 而不满足向量夹角的定义， 即不能推出，不满足充分性， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知向量，则（ ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】A 【解析】因为， 所以， 故选：A. 5．已知向量，，则（ ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【解析】 ，, ， 所以， 故选：C. 二、填空题 6．已知，，，则 . 【答案】18 【分析】根据向量的坐标表示和数量积的坐标表示，求出向量数量积. 【解析】已知，，，则, 可知， 故答案为：18. 7．已知向量，向量，则的值是 . 【答案】 【分析】利用向量坐标求出的坐标，再由向量模长公式计算即得. 【解析】由，，可得， 则. 故答案为：． 8．已知向量满足，则 ． 【答案】 【分析】利用向量内积的分配律展开表达式，结合已知条件代入计算即可求解. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 9．中，，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的内积即可得解. 【详解】由题意可知为等边三角形，所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题 10．设向量，． (1)求； (2)求向量，的夹角. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求得结果. （2）利用向量的夹角公式求解. 【解析】解：（1）由向量，，得. （2），则， 而，所以. 11．已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【解析】解：（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 12．已知点，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出，然后再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可. 【解析】解：（1）因为点，，， 所以， 所以 所以 （2）因为，， 所以. 一、选择题 13．已知向量，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，则，解得. 故选：D. 14．已知平面向量的夹角为，且，则等于（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量的模的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以. 故选：B. 15．已知，，且，，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由，， 得 ， 所以, 故选：C. 16．以为顶点的三角形是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．以为直角的直角三角形 D．以为直角的直角三角形 【答案】C 【解析】由题意得， 则， 则，即， 则△ABC为以A为直角的直角三角形， 故选：C. 17．已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为与垂直，故，解得， 则,， 设与夹角为， 则， 故选：A. 二、填空题 18．若等边三角形的边长为，则 . 【答案】 【解析】根据题意可得的夹角为， 根据数量积的定义可得， 故答案为：. 19．若向量与的夹角为30°，且，则 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开并结合向量数量积公式进行计算. 【详解】因为向量与的夹角为，且， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 20．已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【分析】先根据向量线性运算求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【解析】解：∵，，∴. 由得， ∴，解得. 故答案为：. 21．已知向量的夹角为，满足，则 . 【答案】1 【分析】由已知得，展开结合向量数量积的定义可求. 【解析】由题意知，则，因为，所以， 所以，又所以， 所以，得或（舍去）． 故答案为：. 三、解答题 22．已知，，，且．求： (1)； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的夹角公式求解； （2）根据向量垂直的条件列出方程求解. 【详解】（1）∵，，， ∴. （2）∵，∴， ∴，又，， ∴，解得. 23．已知向量，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. （2）根据向量模的计算公式计算可得. （3）利用向量夹角余弦公式可求出答案. 【解析】解：（1）因为，, 所以 （2）因为，, 所以， 所以, （3）. 24．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可； （2）由，的夹角为锐角，则，且，不共线，建立不等式组求解即可. 【解析】解：（1）若，则，，所以 所以. （2）向量，， 若，的夹角为锐角，则，且，不共线， 故，所以的取值范围为. 1．（2023年·河南对口升学高考第14题）已知向量，，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式计算，再代内积的坐标公式计算即可. 【解析】， 则. 故答案为：. 2．（2022年·河南对口升学高考第24题）已知向量，，. （1）若，求； （2）求的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）， 又，联立解得， 考虑到，故得. （2） ， 当时，， 原式取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $公共基础课一轮讲练测 今A山职教》 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项、 〡训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化1 专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进！ !阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到· 【能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题31平面向量的内积 01 系列考点夯实练 一、选择题 1.已知向量a=(5,-2),b=(2,6),则a.b=( A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 2.己知向量a=(-2,3),向量b=(x,-6),若aLb,则x的值为() A.4 B.-4 c.9 D.-9 3.设ā、6是任意两个向量，则“ā.b=0”是“āLb”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知向量a=(2,-,则d=() A.5 B.1 C.2 D.5 5.已知向量a=(2,3),i=(3,2),则a-=() A.5 B.2 C.√2 D.0 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 9AI职教∑》》 二、填空题 6.已知A(2,5),B(5,2),C10,7),则AB.AC= 7.已知向量a=(1,0),向量6=(-L,√5)，则2a-的值是 8.已知向量a,b满足a=l,a.i=-l,则a2a-)= 9.ABC中，AB=BC=AC=6,则BA.AC= 三、解答题 10.设向量a=(5,-5),b=(0,2). (1)求a6: (2)求向量a,五的夹角0. 11.己知向量ā=(L,0),b=(3,2). (1)求向量ā+3b,4a-26的坐标； (2)求a+向量的模. 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 今A山职教》 12.己知点A1,0,B(0,2),C(2,1 (①)求AB+Ad: (2)求cos∠BAC 02 核心突破提升练 一、选择题 13.已知向量a=(-3,m),b=(1,-2),若b⊥(a-b),则m的值为( A.6 B.6 C.4 D.-4 14.已知平面向量a,6的夹角为，且a-(a-i)=2,a2,则a+i1等于( A.√5 B.25 C.4 D.2 15.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b.c=1,则c的坐标为( A.(3,-2) B.3,2 C.（-3,-2 D.（-3,2) 16.以A(-1,),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.以A为直角的直角三角形 D.以C为直角的直角三角形 17.已知向量a=(1,2),b=(4,k),若a与b垂直，则d与a+b夹角的余弦值为(） A.5 5 B. v2 C. 3 D. 二、填空题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 公共基础课一轮讲练测 A1职教∑》》 18.若等边三角形ABC的边长为4，则AB.BC=_ 19.若向量ā与6的夹角为30°，且l=1,5=5,则2ā+= 20.已知向量a=(4,0),b=(x,1,若(a+2b)1a,则实数x=_ 21.己知向量ā，b的夹角为60°，满足ā=(1,0)，ā+2b=√7，则b=_ 三、解答题 22.已知1a=4,16=1,a6=2,且(ma+b)12a.求： (①)cos(a,b)； (2)求m的值， 23.已知向量a=(1,2),b=（-2,3). (1)求2a+3b: (2)求(a+ba-b): (3)求cos(a,b）. 24.已知向量ā=(2,5)，b=(1,x) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 gAI职教∑》》 1)若x=2,求a-b)b的值： (2)若a,的夹角为锐角，求x的取值范围. 03 真题溯源过关练 1.(2023年河南对口升学高考第14题)已知向量a=(1,0),b=(1,2),则 (2a-b)b= 2.(2022年河南对口升学高考第24题)已知向量a=(1,sin0),b=(cos0,1, -<0< (1)若ā⊥b,求0： (2)求a-b的最小值 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！