专题31 平面向量的内积（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 平面向量的内积 【复习目标】 1. 掌握平面向量数量积的公式，理解向量数量积的意义，知道其中夹角及模长的求法. 2. 掌握向量数量积的坐标运算，熟记向量平行与垂直的坐标运算公式. 【考点1 平面向量的内积】 1．向量内积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2．向量的投影及向量数量积的几何意义 (1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． (2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． (3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 【即时训练】 1．若，，，则（    ） A．4 B． C． D．8 2．已知，，且与方向相反，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 3．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．若向量满足，且，则向量的模是（ ） A． B．2 C． D．8 5．已知，向量的夹角为，则（ ） A． B．1 C．2 D． 6．已知，是非零向量且满足，，则的值是（ ） A． B．2 C． D．-2 7．已知向量满足，则等于（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 9．已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，，，则 . 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 1．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【即时训练】 1．已知向量，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知向量，，若，则t的值为（ ） A． B．1 C．2 D．1或2 3．设向量，向量，向量，则向量（ ） A． B．1 C． D． 4．已知向量，，且，则（ ） A．4 B． C．4 D． 5．已知平面向量，，若⊥，则实数（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则（ ） A． B．5 C．2 D．4 7．已知向量，且，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，若，则 . 9．已知向量，若，则 . 10．设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求m的值 1．（2023年·河南对口升学高考第14题）已知向量，，则________． 2．（2022年·河南对口升学高考第24题）已知向量，，. （1）若，求； （2）求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 平面向量的内积 【复习目标】 1. 掌握平面向量数量积的公式，理解向量数量积的意义，知道其中夹角及模长的求法. 2. 掌握向量数量积的坐标运算，熟记向量平行与垂直的坐标运算公式. 【考点1 平面向量的内积】 1．向量内积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2．向量的投影及向量数量积的几何意义 (1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． (2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． (3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 【即时训练】 1．若，，，则（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据内积的定义可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 2．已知，，且与方向相反，则（   ）. A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】根据平面向量的内积公式即可得解. 【详解】因为，，且与方向相反，即， 则， 故选：. 3．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量内积公式，以及夹角的范围，即可求解. 【详解】由题意知，且，， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 4．若向量满足，且，则向量的模是（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则以及垂直的性质求解即可. 【详解】. 因为，所以. 所以，进而. 故选：C. 5．已知，向量的夹角为，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】, 故选：C. 6．已知，是非零向量且满足，，则的值是（ ） A． B．2 C． D．-2 【答案】B 【解析】设，的夹角为， ，，， 又，，. 故选：B. 7．已知向量满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义和运算法则计算即可. 【详解】已知向量满足， 则 ， 故选：B. 8．已知，，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与的夹角为， 因为，，， 所以， 因为， 所以，即与的夹角是, 故选：B. 9．已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【解析】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 10．已知向量，，，则 . 【答案】2 【分析】根据向量垂直、向量的数量积和向量的模进行求解即可. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：2. 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 1．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【即时训练】 1．已知向量，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由题意，向量， 可得， 所以， 故选：A. 2．已知向量，，若，则t的值为（ ） A． B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【解析】因为向量，， 所以， 因为，所以， 解得， 故选：A. 3．设向量，向量，向量，则向量（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】，故， 故选：C. 4．已知向量，，且，则（ ） A．4 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用向量四则运算和数量积的坐标表示求解即可. 【解析】因为向量，，所以， 又，所以，解得， 故选：D. 5．已知平面向量，，若⊥，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案. 【解析】由于⊥，所以，解得. 故选：A. 6．已知向量，，则（ ） A． B．5 C．2 D．4 【答案】A 【解析】， 故选：A. 7．已知向量，且，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以， 即，解得（舍）或 所以，， 因为， 所以， 解得, 故选：D. 8．已知平面向量，，若，则 . 【答案】 【分析】由向量垂直求得，由模的坐标运算公式求解即可. 【解析】已知平面向量，，若，则,解得， 所以. 故答案为：. 9．已知向量，若，则 . 【答案】3 【分析】首先得，然后根据向量垂直列方程求解即可. 【解析】已知向量，则， 若，则，解得. 故答案为：3. 10．设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求m的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加法和模长的坐标运算直接求解即可； （2）根据向量减法的坐标运算和向量共线可构造方程求得. 【解析】解：（1）当时，，.. （2） 又与共线， . 解得：. 1．（2023年·河南对口升学高考第14题）已知向量，，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式计算，再代内积的坐标公式计算即可. 【解析】， 则. 故答案为：. 2．（2022年·河南对口升学高考第24题）已知向量，，. （1）若，求； （2）求的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）， 又，联立解得， 考虑到，故得. （2） ， 当时，， 原式取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $