专题30 平面向量的基本定理及坐标表示（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题30 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1．已知向量，，若，则实数（ ） A． B． C．2 D．4 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若与共线，则m的值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知三点，，，则等于（    ） A．5 B． C．10 D． 二、填空题 6．已知向量，，若，则等于 ． 7．已知平面向量，则 ． 8．已知向量，，则等于 ． 9．已知，为两个不共线的向量，，，则 ．（用，表示） 三、解答题 10．已知，，，求证：三点共线. 11．已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 12．设平面内三点. (1)求； (2)设向量与的夹角为，求. 一、选择题 13．已知，，则“”是“和方向相同”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若向量，，，，且，则（ ） A． B． C． D． 15．已知向量，则向量与夹角的大小等于（   ） A． B． C． D． 16．若，，，三点共线，则实数的值为（ ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 17．已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 18．已知向量，，若，，三点共线，则 ． 19．已知向量，，若向量与共线，则实数 ． 20．已知向量，，且，则 ． 21．若向量与的夹角为，且，则 . 三、解答题 22．已知向量，. （1）若，求向量的坐标； （2）若，，且，，三点共线，求的值. 23．已知向量，，，且，. (1)求和的值； (2)计算． 24．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，. （1）用和表示向量，； （2）若，求实数的值. 1．（2026年·河南对口升学高考第18题）向量=(21)，向量=(16)A、B、C三点共线，则 = . 2．（2025年·河南对口升学高考第14题）若向量，，当，则_________. 3．（2024年·河南对口升学高考第21题）已知向量，且，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题30 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1．已知向量，，若，则实数（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】直接根据向量平行得到关系式，解得答案. 【解析】已知向量，，若，所以， 则实数. 故选：A. 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算求解即可； 【详解】因为，， 所以， 故选：A 3．已知向量，，若与共线，则m的值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量共线的性质求解即可. 【详解】已知向量，，且与共线， 所以，解得. 故选：B. 4．已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标的混合运算求解即可. 【详解】已知点，，，则， 进而. 故选：B. 5．已知三点，，，则等于（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】首先根据两点坐标求出，再根据向量的模的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 所以． 故选：B. 二、填空题 6．已知向量，，若，则等于 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算得解. 【解析】向量，，由，得， 所以. 故答案为：. 7．已知平面向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量加法的坐标运算计算即可得解. 【解析】. 故答案为： 8．已知向量，，则等于 ． 【答案】 【解析】，， . . 故答案为：. 9．已知，为两个不共线的向量，，，则 ．（用，表示） 【答案】 【分析】根据向量的加减、数乘法则进行计算即可. 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 三、解答题 10．已知，，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量共线的坐标表示式即可证明三点共线. 【解析】因，， ， ，且，有公共点， 故三点共线. 11．已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【解析】解：（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 12．设平面内三点. (1)求； (2)设向量与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据三点坐标求出向量，再利用向量线性运算的坐标表示及向量模的计算求解； （2）根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】（1）由题意可得，， ，. （2）. 一、选择题 13．已知，，则“”是“和方向相同”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据平面向量同向的坐标表示，结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【解析】当时，，则和方向相同，满足充分性； 而若和方向相同，则有正数，满足， 即，解之得或（舍去），即，满足必要性. 故选：C. 14．若向量，，，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以， 解得， 故选：A. 15．已知向量，则向量与夹角的大小等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的内积公式及向量内积的坐标表示求夹角即可. 【详解】， ， 则， 则向量与夹角的大小等于； 故选：C. 16．若，，，三点共线，则实数的值为（ ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【答案】B 【分析】由点取向量，根据向量共线定理，建立方程组，可得答案. 【解析】由题意可得，则， 可得，解得. 故选：B. 17．已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【解析】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故选：C. 二、填空题 18．已知向量，，若，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【解析】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 19．已知向量，，若向量与共线，则实数 【答案】3 【分析】首先由向量的线性坐标表示得出的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 则， 由向量与共线， 得，解得， 故答案为：. 20．已知向量，，且，则 ． 【答案】/-0.6 【分析】由向量共线关系得出方程，求得，再由余弦二倍角公式，进而化为齐次式即可求解. 【解析】因为，，且，所以，所以， 所以. 故答案为：. 21．若向量与的夹角为，且，则 . 【答案】 【分析】由向量的数量积的定义可得，再由计算即可． 【详解】∵，∴， 又向量与的夹角为，且， ∴， ∴， 故 . 故答案为：. 三、解答题 22．已知向量，. （1）若，求向量的坐标； （2）若，，且，，三点共线，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）因为，所以， 又，， 所以； （2）因为，，三点共线， 所以，所以存在实数，使得， 又与不共线，所以， 解得. 23．已知向量，，，且，. (1)求和的值； (2)计算． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知向量， ，， 由可得， 解得． 由可得， 又因为，解得. （2）∵，， ∴ 24．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，. （1）用和表示向量，； （2）若，求实数的值. 【答案】(1)，；(2) 【解析】解：（1）依题意，A是BC的中点， ∴ ， 即; . （2）设 ( )，则， ∵与共线，∴存在实数k，使， 即,则 ， 解得. 1．（2026年·河南对口升学高考第18题）向量=(21)，向量=(16)A、B、C三点共线，则 = . 【答案】8 【解析】 三点共线则 ． 故答案为：8． 2．（2025年·河南对口升学高考第14题）若向量，，当，则_________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 已知，， 则，即， 解得. 故答案为：2. 3．（2024年·河南对口升学高考第21题）已知向量，且，求m的值． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，得出的坐标，又由向量垂直得出，最后解出. 【解析】 因为 所以 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $