专题30 平面向量的基本定理及坐标表示（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题30 平面向量的基本定理及坐标表示 【复习目标】 1. 理解平面向量的基本定理，会判断什么样的向量可以作为基底. 2. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算. 【考点1 平面向量基本定理和向量的夹角】 1. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 ．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2. 平面向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)． （2）向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 【即时训练】 1．若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【解析】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基，D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D. 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用向量的线性运算即可求得. 【解析】由图知，. 故选：C. 3．已知在矩形中，，线段交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，结合图形有：. 故选：D. 4．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【解析】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C. 5．已知向量，不共线，，，，则（ ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 【答案】D 【分析】根据向量共线和四点共面的条件进行判断即可． 【解析】，，不共线，故A错误； ，则，即与不共线，故B错误； 若，则， 则，得，即， 则，，，四点共面，故C错误；D正确； 故选：D． 6．在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算，即可求解. 【解析】因为，则， 所以， 故答案为：. 7．已知向量是一个基底，实数满足，则 ． 【答案】3 【解析】因为是一组基底，所以与不共线， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：3. 8．设，是不共线的非零向量，且，．若，求，u的值. 【答案】 【分析】根据向量线性运算化简已知条件，由此列方程组来求得，u的值. 【解析】由， 得， 得，解得． 【考点2 平面向量的坐标表示和运算】 1. 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解． （2）在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为(x，y)．显然，i＝(1，0)， j＝(0，1)，0＝(0，0). 2. 平面向量的坐标运算 （1）已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). （2）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （3）若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). （4）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 【即时训练】 1．已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 故选：A. 2．若，，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【解析】因为，， 所以. 故选：C. 3．若向量与向量相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等的定义求解即可. 【详解】因为向量与向量相等， 则，解得. 故选：C. 4．已知向量，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A. 5．已知向量，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6．已知点，向量，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 故选：C. 7．已知向量，则等于（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量， 则，所以. 故选：. 8．已知向量，若，则实数（ ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【解析】，因为， 则，解得. 故选：D. 9．已知平行四边形中，，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等及向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】设点C的坐标为， 则， 因为平行四边形中，， 所以， 所以，解得， 所以点C的坐标为. 故选：C. 10．已知点，，若点与，共线，则实数（ ） A． B．13 C．12 D． 【答案】D 【分析】根据向量的共线满足的坐标关系即可求解. 【解析】由，可得，， 因为共线，故共线，可得，解得， 故选：D. 11．已知平面向量，若，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据，套入平面向量平行坐标公式即可求解. 【解析】 . . 解得. . 故选：C. 12．已知向量，，若向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共线的坐标关系即可求解. 【解析】因为向量，且， 所以存在实数，使得， 即，即 解得，故， 故选：D. 1．（2026年·河南对口升学高考第18题）向量=(21)，向量=(16)A、B、C三点共线，则 = . 【答案】8 【解析】 三点共线则 ． 故答案为：8． 2．（2025年·河南对口升学高考第14题）若向量，，当，则_________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 已知，， 则，即， 解得. 故答案为：2. 3．（2024年·河南对口升学高考第21题）已知向量，且，求m的值． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，得出的坐标，又由向量垂直得出，最后解出. 【解析】 因为 所以 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题30 平面向量的基本定理及坐标表示 【复习目标】 1. 理解平面向量的基本定理，会判断什么样的向量可以作为基底. 2. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算. 【考点1 平面向量基本定理和向量的夹角】 1. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 ．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2. 平面向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)． （2）向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 【即时训练】 1．若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知在矩形中，，线段交于点，则（ ） A． B． C． D． 4．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，不共线，，，，则（ ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 6．在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则 ． 7．已知向量是一个基底，实数满足，则 ． 8．设，是不共线的非零向量，且，．若，求，u的值. 【考点2 平面向量的坐标表示和运算】 1. 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解． （2）在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为(x，y)．显然，i＝(1，0)， j＝(0，1)，0＝(0，0). 2. 平面向量的坐标运算 （1）已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). （2）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （3）若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). （4）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 【即时训练】 1．已知向量，则（ ） A． B． C． D． 2．若，，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．若向量与向量相等，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则等于（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，向量，则向量（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，则等于（    ） A． B．5 C． D．3 8．已知向量，若，则实数（ ） A． B． C．11 D．2 9．已知平行四边形中，，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知点，，若点与，共线，则实数（ ） A． B．13 C．12 D． 11．已知平面向量，若，则（ ） A． B． C．0 D．1 12．已知向量，，若向量，且，则（ ） A． B． C． D． 1．（2026年·河南对口升学高考第18题）向量=(21)，向量=(16)A、B、C三点共线，则 = . 2．（2025年·河南对口升学高考第14题）若向量，，当，则_________. 3．（2024年·河南对口升学高考第21题）已知向量，且，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $