专题29 平面向量的概念及线性运算（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题29 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 2．在中，下列向量表示式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如果非零向量，那么下列说法错误的是（ ） A． B． C．向量与平行 D．向量与共线 4．在中，D是的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．化简 . 7．四边形中，若，则四边形的形状为 . 8． . 9．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是 ． 三、解答题 10．如图，四边形和四边形都是平行四边形，解答下列问题： (1)写出与向量的模相等的向量. (2)写出向量的相反向量. (3)写出向量的平行向量. 11．化简下列式子：（1）；（2）． 12．已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）． 一、选择题 13．下列命题中正确的个数是（ ） ①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量，则四点必在一直线上； ③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A．0 B．1 C．2 D．3 14．如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 15．若，是两个不共线的非零向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．在中，，若，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 17．已知在中，点D是线段BC中点，点E是靠近点C的AC三等分点，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 18．在边长为1的正方形ABCD中， . 19．若，，则的取值范围是 . 20．如图所示，已知，则用表示为 . 21．已知向量，不共线，且，则 . 三、解答题 22．已知是平面上两个不共线的向量，，，， (1)若方向相反，求的值； (2)若三点共线，求的值． 23．已知两个非零向量、不共线．若，，，求证：、、三点共线. 24．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量，； (2)若，求实数的值． 1．（2026年·河南对口升学高考第4题）设向量=(1，2)，向量=(1，4)，则|3-| =（ ） A. 2 B.2 C.3 D.6 2．（2025年·河南对口升学高考第3题）在四边形中，如果向量，那么四边形是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3．（2023年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，且，则__________. 4．（2022年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，则__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题29 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，举出反例. 【解析】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 2．在中，下列向量表示式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则及三角形的性质判断. 【解析】∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵三角形中，两边之和大于第三边，∴，∴D正确. 故选：D. 3．如果非零向量，那么下列说法错误的是（ ） A． B． C．向量与平行 D．向量与共线 【答案】A 【分析】根据向量的模的概念和向量共线定理即可求解. 【解析】因为非零向量，所以，故A项错误；B项正确； 又由，所以向量与平行、共线，故C、D项正确. 故选：A. 4．在中，D是的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 故选：A． 5．设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：由共线定理即可判断充分性成立； 必要性：若为零向量，则存在无数实数，使得， 若不为零向量，则存在唯一实数，使得，故必要性成立， 故选：C. 二、填空题 6．化简 . 【答案】 【分析】根据向量的加法和减法运算法则，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 7．四边形中，若，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解析】因为四边形中，， 所以，所以， 所以，且‖， 所以四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． 8． . 【答案】 【解析】， 故答案为：． 9．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是 ． 【答案】 【分析】由平面向量共线定理可设，由平面向量基本定理列方程即可求解. 【详解】若与共线， 则，， 因为非零向量，不共线， 所以，即，所以， 故答案为：. 三、解答题 10．如图，四边形和四边形都是平行四边形，解答下列问题： (1)写出与向量的模相等的向量. (2)写出向量的相反向量. (3)写出向量的平行向量. 【答案】(1)、、、、 (2)、、 (3)、、、、、、 【分析】利用向量的模、相反向量与平行向量的定义即可得解. 【详解】（1）因为四边形和四边形都是平行四边形， 所以，，共线， 则与向量的模相等的向量为、、、、. （2）由（1）得，向量的相反向量为、、. （3）由（1）得，向量的平行向量、、、、、、. 11．化简下列式子：（1）；（2）． 【答案】（1）；（2）. 【解析】解：（1）原式． （2）原式. 12．已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）． 【答案】 【解析】解：，， ． 一、选择题 13．下列命题中正确的个数是（ ） ①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量，则四点必在一直线上； ③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误， 对于B，向量，则四点共线或，故B错误， 对于C，若，当时，不一定平行，故C错误， 对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误， 故选：A. 14．如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案. 【详解】由向量减法的三角形法则可得：，即A正确； 根据相等向量的概念可得：，则，即B错误； 由向量加法的三角形法则可得：，即C正确； 根据平面向量加法的平行四边形法则可得：，所以D正确； 故选：B 15．若，是两个不共线的非零向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量的共线定理，结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为若，是两个不共线的非零向量， 当时，与共线，故充分性成立； 当与共线时，则或，故必要性不成立， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件. 故选：A. 16．在中，，若，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】在中，因，则， 又，于是有，即的三边长相等， 所以是等边三角形， 故选：B. 17．已知在中，点D是线段BC中点，点E是靠近点C的AC三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的运算即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出三角形， ，，， 所以， 故选：. 二、填空题 18．在边长为1的正方形ABCD中， . 【答案】 【解析】， 故答案为：. 19．若，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 所以：当，同向时，； 当，反向时，； 当，不共线时，， 综上可知：， 故答案为：. 20．如图所示，已知，则用表示为 . 【答案】 【解析】， 故答案为：． 21．已知向量，不共线，且，则 . 【答案】 【解析】因为向量，不共线，且， 所以有， 则解得， 故答案为：. 三、解答题 22．已知是平面上两个不共线的向量，，，， (1)若方向相反，求的值； (2)若三点共线，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据题意，结合向量共线定理，即可求解； （2）根据题意，结合向量的线性运算，及向量共线定理，即可求解. 【详解】（1）由题意知 ，则存在 ，使得 ， 即 ， 所以 ，解得 ，或 ， 又 方向相反，则 （2）由题意知 ， 由 三点共线得，存在 ，使得 ，即 ， 从而 ，即， 解得 或 ， 所以 或 ． 23．已知两个非零向量、不共线．若，，，求证：、、三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】计算出，利用平面向量共线的基本定理可证得，由此可证得结论成立. 【解析】证明：因为两个非零向量、不共线．若，，， 则，所以，， 又因为、有公共点，所以，、、三点共线. 24．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算表示向量，即可； （2）由向量的线性运算和平行向量基本定理即可得解. 【详解】（1）依题意，是的中点， 是将分成的一个内分点， ∴ ， 即； ． （2）设 ( )， 则， ∵与共线，∴存在实数k，使， 即， 则，解得． 1．（2026年·河南对口升学高考第4题）设向量=(1，2)，向量=(1，4)，则|3-| =（ ） A. 2 B.2 C.3 D.6 【答案】A 【解析】 ． 故选：A ． 2．（2025年·河南对口升学高考第3题）在四边形中，如果向量，那么四边形是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【分析】根据向量关系判断四边形的平行及长度关系即可得解. 【详解】 由可得向量与平行，即， 且，即， 根据梯形的定义，一组对边平行且不相等的四边形是梯形，所以四边形是梯形, 菱形需四条边相等，矩形要有四个直角且对边相等，正方形要求四条边相等且四个角为直角，题中条件均不满足， 故选： 3．（2023年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，且，则______． 【答案】## 【分析】根据平行向量的性质求解. 【解析】∵向量，，且， ∴得到，解得，. 故答案：. 4．（2022年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，则__________. 【答案】 【解析】， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $