专题29 平面向量的概念及线性运算（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题29 平面向量的概念及线性运算 【复习目标】 1. 掌握平面向量的概念，理解单位向量、相等向量、相反向量、共线向量等的含义. 2. 掌握平面向量的加减法、会进行平面向量的线性运算. 3. 掌握平面向量共线定理. 【考点1 向量有关的概念】 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 向量表示方法：向量或；模或. (2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 【即时训练】 1．下列说法正确的是（ ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．下列命题中，正确的是（ ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 3．“向量”是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 5．下列命题正确的是（ ） A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 6．下列四个命题正确的是（ ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 7．下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 8．下列说法错误的是（ ） A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 9．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量. 【考点2 向量的线性运算】 (1)向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. (2)向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. (3)向量的数乘 向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. (4)共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 【即时训练】 1．在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 2．化简（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，若，，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 4．的化简结果为（   ） A． B． C． D． 5．向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 6．已知是两个不共线的向量，设，则（    ） A． B． C． D． 7．下列说法不正确的是（ ） A．零向量和任何向量平行 B．平面上任意三点、、，一定有 C．若，，当时， D．若向量，则 8．若向量,,则等于（ ） A． B． C． D． 9．已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 10．已知是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数（ ） A．6 B． C．3 D． 1．（2026年·河南对口升学高考第4题）设向量=(1，2)，向量=(1，4)，则|3-| =（ ） A. 2 B.2 C.3 D.6 2．（2025年·河南对口升学高考第3题）在四边形中，如果向量，那么四边形是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3．（2023年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，且，则__________. 4．（2022年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，则__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题29 平面向量的概念及线性运算 【复习目标】 1. 掌握平面向量的概念，理解单位向量、相等向量、相反向量、共线向量等的含义. 2. 掌握平面向量的加减法、会进行平面向量的线性运算. 3. 掌握平面向量共线定理. 【考点1 向量有关的概念】 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 向量表示方法：向量或；模或. (2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 【即时训练】 1．下列说法正确的是（ ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据共线向量，相反向量的定义即可求解. 【解析】，方向相反，但模不一定相等，与不一定是相反向量，故A错误； 相反向量的模相等，且为平行向量，但不是相等向量，故B错误； 由有向线段和向量的定义知，C正确； 共线的两个非零向量也可能不在同一条直线上，故D错误． 故选：C. 2．下列命题中，正确的是（ ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 【答案】D 【解析】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有∥，知A错； 取，则对于任意向量，都有∥，∥，但得不到∥，知B错； 两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错； 由两向量相等的概念知D正确， 故选：D． 3．“向量”是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】两向量相加为零向量，说明两向量是相反向量，模的大小相等方向相反， 所以能推出，但推不出， 故选：A. 4．下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【解析】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确； B.规定零向量与任意向量都平行，故错误； C.平行向量就是共线向量，故正确； D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确， 故选：B． 5．下列命题正确的是（ ） A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 【答案】D 【解析】当时，A不对； 如图，△ABC的中位线EF，a＝，c＝，b＝，显然满足B的条件，但a∥c，故B不对； 当与的基线平行或重合时，与共线，但显然前者A、B、C、D四点不共线，故C错； 假若a与b中存在一个向量为0，则一定有a∥b，与a、b不共线条件矛盾，∴D正确， 故选：D. 6．下列四个命题正确的是（ ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【答案】B 【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同； 若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线； 共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量； 两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移． 故选：B． 7．下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 【答案】B 【解析】向量相等包含两层含义，一个是方向相同，一个是大小相等， 两个向量是不能比较大小的，只有向量的模长可以比较大小， 所以应选：B. 8．下列说法错误的是（ ） A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【解析】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A. 9．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题； 对于②，在平行四边形中，是大小相等，方向相反的向量，即，故②是假命题； 对于③，显然若，，则，故③是真命题； 对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题. 故选：C. 10．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量. 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】解：画出图形，如图所示． （1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为. （2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC， 所以与长度相等的向量为，，，，，，. （3）与共线的向量为，，. 【考点2 向量的线性运算】 (1)向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. (2)向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. (3)向量的数乘 向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. (4)共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 【即时训练】 1．在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法运算解答即可. 【详解】在矩形中： A，， B，， C，， D，. 故选：D. 2．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法法则可化简. 【详解】. 故选：A 3．如图所示，若，，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件，利用平面向量的加法法则求解. 【详解】因为，为的中点,所以. 因为，所以. 故选：C. 4．的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可. 【详解】 ， 故选：B. 5．向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C. 6．已知是两个不共线的向量，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算性质，计算得到答案. 【详解】已知， 则， 故选：C. 7．下列说法不正确的是（ ） A．零向量和任何向量平行 B．平面上任意三点、、，一定有 C．若，，当时， D．若向量，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念辨析判断对错. 【解析】零向量的方向是任意的，所以零向量和任何向量平行，故A正确； 向量的加法运算，，故B正确； 不一定等于，所以当时，不一定等于，故C不正确； 由向量基本定理可知，若向量，则，故D正确. 故选：C 8．若向量,,则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 9．已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【答案】B 【解析】，， ， ，， 由平面向量共线定理可知，与为共线向量， 又与有公共点，，，三点共线， 故选：B． 10．已知是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数（ ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】，． 向量，， ，， 是平面上的两个不共线向量， ，， 故选：B． 1．（2026年·河南对口升学高考第4题）设向量=(1，2)，向量=(1，4)，则|3-| =（ ） A. 2 B.2 C.3 D.6 【答案】A 【解析】 ． 故选：A ． 2．（2025年·河南对口升学高考第3题）在四边形中，如果向量，那么四边形是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【分析】根据向量关系判断四边形的平行及长度关系即可得解. 【详解】 由可得向量与平行，即， 且，即， 根据梯形的定义，一组对边平行且不相等的四边形是梯形，所以四边形是梯形, 菱形需四条边相等，矩形要有四个直角且对边相等，正方形要求四条边相等且四个角为直角，题中条件均不满足， 故选： 3．（2023年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，且，则______． 【答案】## 【分析】根据平行向量的性质求解. 【解析】∵向量，，且， ∴得到，解得，. 故答案：. 4．（2022年·河南对口升学高考第15题）已知向量，，则__________. 【答案】 【解析】， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $