专题28 空间几何体的表面积和体积（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题28 空间几何体的表面积和体积 一、选择题 1．一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为是（     ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 3．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（     ） A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3 4．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（     ） A． B． C． D． 5．若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（     ） A． B．1 C．3 D．9 二、填空题 6．圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为 . 7．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 . 8．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 . 9．圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 三、解答题 10．若长方体的三条棱长分别是，求长方体体对角线长为. 11．已知球的直径为，求它的表面积和体积. 12．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点. （1）求证：平面ABC； （2）求正三棱锥的表面积. 一、选择题 13．下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（     ） A． B． C． D． 15．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（     ） A． B． C． D． 16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（     ） A． B．2 C． D． 17．木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（     ） A．60倍 B．倍 C．120倍 D．倍 二、填空题 18．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为 . 19．用一个圆心角为，半径为4的扇形做一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为 . 20．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为2，则该三棱柱的体积为 . 21．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是 . 三、解答题 22．如如图，在正三棱柱中，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 23．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积. 24．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 1．（2026年·河南对口升学高考第6题）下列几何体为旋转体的是（ ） A.球 B.正方体 C.长方体 D.正棱柱 2．（2026年·河南对口升学高考第17题）一个无盖圆柱体，体积36π，底面半径为3，则圆柱表面积为 . 3．（2025年·河南对口升学高考第17题）把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________. 4．（2024年·河南对口升学高考第17题）一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 5．（2023年·河南对口升学高考第16题）已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______． 6．（2022年·河南对口升学高考第17题）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题28 空间几何体的表面积和体积 一、选择题 1．一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将长方形分别绕着长或宽进行旋转，可得两种不同的圆柱， 故选：B. 2．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为， 所以圆锥的体积为， 故选：D. 3．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（     ） A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3 【答案】A 【解析】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r， 圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，其比例为1:1， 故选：A. 4．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用圆柱底面圆半径r表示出其高h，由侧面积列式求出r，进而求得体积. 【解析】设该圆柱的底面圆半径为，则其高(母线)为，而圆柱的轴截面是正方形，则， 圆柱侧面积为，从而，，故该圆柱的体积是． 故选：A. 5．若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（     ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件利用锥体的体积公式计算即得. 【解析】设四棱锥的高为h，则由锥体的体积公式得：×3h=9，解得h=9， 所以所求高为9. 故选：D. 二、填空题 6．圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱轴截面为矩形直接求解即可. 【解析】圆柱的轴截面面积. 故答案为：. 7．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案. 【解析】由题意得，圆锥的底面半径为，母线长为， 故圆锥的侧面积为. 故答案为：. 8．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 . 【答案】 【分析】先根据球的体积公式求半径，然后根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，即可求得正方体体积. 【解析】记正方体棱长为a，外接球半径为R， 则，解得， 因为正方体的体对角线即为外接球的直径， 所以，解得， 所以，正方体的体积为. 故答案为：. 9．圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 【答案】 【解析】由题知圆柱的底面半径为1，高为2，所以，， 故答案为：. 三、解答题 10．若长方体的三条棱长分别是，求长方体体对角线长为. 【答案】 【分析】利用勾股定理计算可得； 【解析】如图长方体中、，， 则， 所以； 11．已知球的直径为，求它的表面积和体积. 【答案】， 【分析】根据球的表面积和体积公式求解. 【解析】解：∵球的直径为， ∴球的半径. ∴球的表面积， 球的体积. 12．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点. （1）求证：平面ABC； （2）求正三棱锥的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面ABC. （2）解：设BC中点为D，连接PD，因为三棱锥P-ABC是正三棱锥， 所以是等腰三角形，所以， 在Rt中，又 ，PB=5 ，PD=， 所以正三棱锥侧面积为，底面积为， 所以正三棱锥P-ABC的表面积为． 一、选择题 13．下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据直四棱柱的定义，分别判断各个命题即可得出结果. 【解析】对于命题（1），斜四棱柱的两个相对侧面可能平行且垂直于底面，故命题（1）为假命题； 对于命题（2），两截面的交线平行于侧棱且垂直于底面，故命题（2）为真命题； 对于命题（3），如图③：作正四棱柱的两个平行的菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱，故命题（3）为假命题；    对于命题（4），如图④：四棱柱的一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形， 于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故命题（4）为真命题； 故选：B. 14．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直角圆角的底面半径为，母线为，高为， 因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 所以有， 因为直角圆锥的侧面积为， 所以有，即， 因此， 所以该直角圆锥的体积为， 故选：B. 15．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球的半径为， 则，解得：， 球的体积， 故选：A. 16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设此圆的底面半径为，高为，母线为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴，又，解得， 因此，此圆锥的高， 故选：C． 17．木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（     ） A．60倍 B．倍 C．120倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据球的体积公式之比可得，结合球的表面积公式化简计算即可求解. 【解析】由题意知，木星的体积约是地球体积的倍， ， 所以， 所以， 即木星的表面积约是地球表面积的倍. 故选：C. 二、填空题 18．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为 . 【答案】1 【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径. 【解析】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为半圆的弧长：，设底面圆半径为，则有，所以底面半径为：1. 故答案为：1. 19．用一个圆心角为，半径为4的扇形做一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为 . 【答案】 【分析】根据圆锥的结构特征结合扇形的弧长公式即可得解. 【解析】由题意，圆锥的底面周长为扇形的弧长， ， 则圆锥的底面周长为. 故答案为：. 20．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为2，则该三棱柱的体积为 . 【答案】6 【分析】利用棱柱的体积公式求三棱柱的体积. 【解析】由题设，所以该三棱柱的体积为. 故答案为：6. 21．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是 . 【答案】/ 【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【解析】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面，. 故答案为：. 三、解答题 22．如如图，在正三棱柱中，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】（1）证明：连接 ,与相交于M，连接DM，则M是的中点， 又D为BC的中点，所以，平面，平面， 所以平面． （2）解：在正三棱柱中，，点为的中点， ， 故三棱锥的体积． 23．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积. 【答案】 【解析】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为， 底面半径为2母线长为4的圆锥的高为， 则圆柱的上底面为中截面，可得， ，，． 24．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【答案】(1)； (2)﹒ 【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和； (2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解． 【解析】解：（1）∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为； （2）连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高， 则， 故棱锥的体积． 1．（2026年·河南对口升学高考第6题）下列几何体为旋转体的是（ ） A.球 B.正方体 C.长方体 D.正棱柱 【答案】A 【解析】球是旋转体，正方体、长方体、正棱柱为多面体． 故选：A． 2．（2026年·河南对口升学高考第17题）一个无盖圆柱体，体积36π，底面半径为3，则圆柱表面积为 . 【答案】 33π 【解析】无盖圆柱体积 得h=4;表面积 ． 故答案为：33π． 3．（2025年·河南对口升学高考第17题）把一个高的三棱锥形容器灌满水，倒进一个与它底面积相等，高度相等的直三棱柱形容器中，此时水面的高度是_________. 【答案】4 【分析】根据水的体积相等，利用三棱锥和三棱柱的体积公式求出水面的高度即可. 【详解】已知三棱锥形容器高， 根据三棱锥体积公式，水的体积. 将水倒入直三棱柱形容器中，设水面高度为， 根据直三棱柱体积公式， 由于水的体积不变，则， 等式两边同时除以，可得. 故答案为：4. 4．（2024年·河南对口升学高考第17题）一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面的半径，应用圆柱的体积公式求出结果. 【解析】设圆柱底面的圆的半径为,母线为, 则由题意可得,又,所以, 所以, 故答案为： 5．（2023年·河南对口升学高考第16题）已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______． 【答案】 【分析】根据题意求出圆柱的底面积和侧面积，进而求解答案. 【解析】根据圆柱的底面半径为4，高为2， 则圆柱的底面面积， 则圆柱的侧面积， 故圆柱的全面积. 故答案为:. 6．（2022年·河南对口升学高考第17题）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________. 【答案】 【解析】设轴截面的边长为，由三角形的面积公式可得：，， 即圆锥的底面直径为12，则半径为6，圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为；， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $