专题27 空间中的垂直关系（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题27 空间中的垂直关系 一、选择题 1．若直线平面，则下列说法正确的是（       ） A．l仅垂直平面内的一条直线 B．l仅垂直平面内与l相交的直线 C．l仅垂直平面内的两条直线 D．l与平面内的任意一条直线垂直 2．已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 3．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（       ） A．20° B．70° C．90° D．110° 4．已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为.若点是线段的中点，则直线与底面所成角的正切值为（       ） A． B． C． D． 5．空间四边形ABCD中，若，，那么有（       ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 二、填空题 6．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 . 7．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是 .(填序号) 8．将正方形沿对角线折成直二面角后， . 9．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为 . 三、解答题 10．如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：. 11．如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值． 12．已知矩形，点为平面外一点，,且. 求证：. 一、选择题 13．在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（       ） A． B． C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直 14．在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 15．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（       ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 16．在正方体中, 二面角的大小是（       ） A． B． C． D． 17．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 18．如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为 . 19．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件 _时，有.（只需填写一种正确条件即可） 20．如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有 . (写出全部正确命题的序号). ①平面平面； ②平面平面； ③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面. 21．在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 三、解答题 22．已知直四棱柱中，底面中，，，，且. 求证：. 23．在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 24．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点． （1）证明：平面； （2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值． 1．（2026年·河南对口升学高考第23题）四边形ABEF 为矩形，平面 ABCD⊥ABEF，将 △BEF沿 BF折叠，点 E 恰好落在DC上，记作点G，连接AG. 求证：平面 AFG⊥BFG. 2．（2024年·河南对口升学高考第23题）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 3．（2022年·河南对口升学高考第23题）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题27 空间中的垂直关系 一、选择题 1．若直线平面，则下列说法正确的是（       ） A．l仅垂直平面内的一条直线 B．l仅垂直平面内与l相交的直线 C．l仅垂直平面内的两条直线 D．l与平面内的任意一条直线垂直 【答案】D 【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可 【解析】因为若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直． 所以ABC错误，D正确， 故选：D. 2．已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【答案】A 【解析】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行， 故选：A． 3．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（       ） A．20° B．70° C．90° D．110° 【答案】B 【解析】∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角， 又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°， 故选：B. 4．已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为.若点是线段的中点，则直线与底面所成角的正切值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点M作于点N，连接， 根据面面垂直的性质可得：平面， 则为直线与底面所成的角. 由已知，可得，，所以， 故选：B. 5．空间四边形ABCD中，若，，那么有（       ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 【答案】D 【解析】∵，，，平面， ∴平面BDC． 又∵AD平面ADC， ∴平面平面DBC， 故选：D. 二、填空题 6．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 . 【答案】垂直 【解析】∵直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直， 且AC，BC是相交直线，∴l⊥平面ABC． 又∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC， 故答案为：垂直． 7．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是 .(填序号) 【答案】①③④ 【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的， 1， ③，④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直， 2， 而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件． 故答案为：①③④. 8．将正方形沿对角线折成直二面角后， . 【答案】 【解析】设正方形对角线的焦点为O，边长为2， 根据直二面角的性质知，折起后DB=2，又因为DA=DB=2， 所以为等边三角形，， 故答案为：. 9．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【解析】连接， 平面，即为直线与平面所成角， 在中，，， . 故答案为：. 三、解答题 10．如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在直三棱柱中，， ∵，∴， ∵，，，所以三边符合勾股定理， ，因为，，∴，得证. 11．如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值． 【答案】 【解析】解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角定义知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角．因为AM＝BM＝，AB＝2 所以cos ∠AMB＝＝，即二面角A-CD-B的余弦值为. 12．已知矩形，点为平面外一点，,且. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在矩形中， ∵，，，， ∴， ∵，∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴. 一、选择题 13．在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（       ） A． B． C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直 【答案】B 【解析】∵平面，直线平面，∴， 故选：B． 14．在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 【答案】A 【解析】 长方体中，直线平面， 所以就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以，所以， 故选：A. 15．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（       ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 由四边形ABCD为矩形得， 因为，所以平面PAD． 又平面PCD，所以平面平面PAD， 故选：C. 16．在正方体中, 二面角的大小是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从图中可知，， 则即为二面角， ∵，， 所以二面角的大小是：， 故选：C. 17．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取的中点，连接， 三棱柱为直三棱柱，则平面， 又平面，所以， 又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点， 从而，而平面，平面，且， 所以平面， 则为与平面所成的角.在直角中， ， 故选：C. 二、填空题 18．如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】由已知可得，根据可求． 【解析】，， ，，， ，， 故答案为：． 19．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件 _时，有.（只需填写一种正确条件即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】根据直四棱柱可得：∥，且， 所以四边形是矩形，所以∥， 同理可证：∥， 当时，可得：，且底面， 而底面，所以， 而，从而平面， 因为平面，所以， 所以当满足题意. 故答案为：. 20．如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有 . (写出全部正确命题的序号). ①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面. 【答案】③ 【解析】因为，且是的中点，所以，同理有， 因为，平面，所以平面. 因为在平面内，所以平面平面， 又由于平面，所以平面平面， 故答案为：③． 21．在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 【答案】 【解析】如图 取的中点，连接， 在正方体中，可知， 所以，所以二面角的平面角为， 设，所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题 22．已知直四棱柱中，底面中，，，，且. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在底面中，，，∴， 又∵，，所以，故， ∵四棱柱为直棱柱，所以， 又∵，，∴， ∵，∴. 23．在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【答案】(1)证明见解析；(1)证明见解析 【解析】证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC. 24．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点． （1）证明：平面； （2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图，连结，设与的交点为O，连接． 因为四边形为矩形，所以点O为的中点． 又点E为的中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2）解：作于点H． ∵平面，平面，∴， 又∵为矩形，， ∴， 由，可得． 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，故平面， 即的长就是点A到平面的距离． 因为，所以， 因此为与平面所成角， 则． 1．（2026年·河南对口升学高考第23题）四边形ABEF 为矩形，平面 ABCD⊥ABEF，将 △BEF沿 BF折叠，点 E 恰好落在DC上，记作点G，连接AG. 求证：平面 AFG⊥BFG. 【答案】证明见解析 【解析】证明：折叠前：ABEF 为矩形，故 BE⊥EF 折叠后，由矩形性质得 平面 故 又 故 因 故平面 2．（2024年·河南对口升学高考第23题）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明； 【解析】证明：连接，，如图， 因为，是正方形的对角线，所以， 又分别是中点， 所以，， 又平面，平面，所以 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 3．（2022年·河南对口升学高考第23题）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵是圆的一条直径，是圆上不同于、的任意一点， ∴是直角，即， 又垂直于圆所在的平面，∴ 从而平面， 故平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $