专题27 空间中的垂直关系（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 空间中的垂直关系 【复习目标】 1. 理解线面角的概念，掌握线面垂直的判定定理和性质定理. 2. 理解二面角的概念，掌握面面垂直的判定定理和性质定理. 【考点1 直线与平面垂直】 1.直线和平面垂直的定义 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. 符号语言：对于任意，都有. 2.直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， . 3.直线和平面垂直的性质定理 3.1定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. 3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 4.直线与平面所成角定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时： ⑥直线与平面所成角取值范围：. 【即时训练】 1．下列说法中可以判断直线平面的是（       ） A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直 C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直 【答案】C 【解析】根据线面垂直的判定定理： 直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A 、B不正确，C正确； 根据线面垂直定义：直线垂直平面内得任一条直线， 此时强调任一条，不是无数条，因为这无数条直线可能是平行的，D不正确， 故选：C． 2．已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（       ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【解析】A中，若，由，可得；故A不满足题意； B中，若，由，可得；故B不满足题意； C中，若，由，可得；故C正确； D中，若与相交，由，可得异面或平，故D不满足题意， 故选：C. 3．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立； 根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立， 故选：A. 4．已知直线平面，则直线平面是直线的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：直线平面，垂直于平面内所有直线， 又直线平面，直线直线，充分性成立； 必要性：若且直线平面，根据线面垂直判定定理得直线平面不成立，必要性不成立， 故选：B. 5．已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果. 【解析】对于A，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，，则与相交、平行或，故B错误； 对于C，，由线面垂直的性质知，故C正确； 对于D，，则与相交、平行或，故D错误. 故选：C. 6．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC(图略)，AC＝， 易知△PAC为等腰直角三角形. AC中点为O， 由正四棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角为45°. 故选：B． 7．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（       ） ①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直； ②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直； ③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等． A．①② B．②③ C．只有③ D．只有② 【答案】C 【解析】过旗杆底部在地面上画一条直线，则旗杆与该直线不一定垂直，所以旗杆与水平地面不一定垂直，故①错误； 过旗杆底部在地面上画两条直线，只有当这两条直线相交，且旗杆与这两条直线都垂直时，才能使旗杆与水平地面垂直，故②错误； 在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．当旗杆与水平地面垂直时，斜线相等时射影相等；能在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等，则旗杆与水平地面垂直，因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故③正确． 故选：C． 8．已知两条不同的直线m､和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（       ） A．若m，⊥m，则⊥α B．若β，⊥，，则⊥m C．若m，⊥，则m⊥ D．若m，，则m 【答案】B 【解析】若m，⊥m，则或l与α相交但不垂直，故A是假命题； 若β，⊥，则⊥β，又，∴l⊥m，故B是真命题； 若m，⊥，则m或m⊥或m与β相交但不垂直，或者m∥β，故C是假命题； 若m，，则m或m，故D是假命题， 故选：B. 9．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取的中点，连接， 三棱柱为直三棱柱，则平面， 又平面，所以， 又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而， 而平面，平面，且， 所以平面，则为与平面所成的角. 在直角中，. 故选：C. 10．如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥平面ABCD； (2)平面PBE⊥平面ABCD. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PE⊥平面ABCD. (2)由(1)知PE⊥平面ABCD， 又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD. 【考点2 平面与平面垂直】 1.二面角定义 （1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． （2）符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. 2.二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）二面角的平面角的取值范围： 3.平面与平面垂直的定义 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 4.平面与平面垂直的判定 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 5.平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【即时训练】 1．设，为两个平面，则的充要条件是（       ） A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．（       ）内存在一条直线垂直于 【答案】D 【解析】，平行于同一个平面时，则，A错误； ，垂直于同一个平面时，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误； 内一条直线垂直于内一条直线，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误； 内一条直线垂直于，则，反之也成立，D正确. 故选：D． 2．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，，可得； 由，，可得，或， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（       ） A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能． 故选：D . 4．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（       ） A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 【答案】D 【解析】如图， A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD， 则∠BDC为二面角α­l­β的平面角， ∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角， ∵∠A＋∠BDC＝180°，∴当二面角的平面角为锐角或直角时， AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等， 当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补， 故选：D. 5．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（       ） A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m 【答案】A 【解析】由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l⊂β，A成立；m与α不一定垂直，C不成立；l与m平行、相交、异面都可能，所以B，D不成立． 故选：A. 6．二面角的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二面角的定义判定选项即可. 【解析】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D. 7．若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（       ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面垂直的性质判断B；根据空间直线的位置关系判断C；根据面面垂直的判定判断D. 【解析】对于A：，，，则有可能与异面，A不对； 对于B：，，则有可能，B不对； 对于C：，，则有可能与异面，C不对； 对于D：，，则在内必存在直线，则，而， 则有，D对. 故选：D. 8．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【分析】设棱长均为2，取的中点，分析可知二面角的平面角为，结合余弦定理运算求解即可. 【解析】设正三棱锥的棱长均为2， 取的中点，连接， 则，且， 可知二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 则， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 9．如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.求证： （1）∥平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】证明：（1）∵别为棱的中点，∴MN∥BC， 又平面，∴∥平面. （2）∵，点为棱的中点，∴， 又平面平面，平面平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 10．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：面面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】证明：(1)连接AC，交BD于O，连接OE， 在△CAP中，，∴， 又∵平面BDE，平面BDE， ∴∥平面BDE； (2)∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD， 又∵是正方形，则AC⊥BD，且， ∴BD⊥平面PAC. ∵平面PBD， ∴平面PAC⊥平面PBD. 1．（2026年·河南对口升学高考第23题）四边形ABEF 为矩形，平面 ABCD⊥ABEF，将 △BEF沿 BF折叠，点 E 恰好落在DC上，记作点G，连接AG. 求证：平面 AFG⊥BFG. 【答案】证明见解析 【解析】证明：折叠前：ABEF 为矩形，故 BE⊥EF 折叠后，由矩形性质得 平面 故 又 故 因 故平面 2．（2024年·河南对口升学高考第23题）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明； 【解析】证明：连接，，如图， 因为，是正方形的对角线，所以， 又分别是中点， 所以，， 又平面，平面，所以 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 3．（2022年·河南对口升学高考第23题）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵是圆的一条直径，是圆上不同于、的任意一点， ∴是直角，即， 又垂直于圆所在的平面，∴ 从而平面， 故平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 空间中的垂直关系 【复习目标】 1. 理解线面角的概念，掌握线面垂直的判定定理和性质定理. 2. 理解二面角的概念，掌握面面垂直的判定定理和性质定理. 【考点1 直线与平面垂直】 1.直线和平面垂直的定义 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. 符号语言：对于任意，都有. 2.直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， . 3.直线和平面垂直的性质定理 3.1定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. 3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 4.直线与平面所成角定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时： ⑥直线与平面所成角取值范围：. 【即时训练】 1．下列说法中可以判断直线平面的是（       ） A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直 C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直 2．已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（       ） A． B． C． D．与相交 3．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线平面，则直线平面是直线的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（       ） A． B． C． D． 6．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（       ） ①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直； ②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直； ③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等． A．①② B．②③ C．只有③ D．只有② 8．已知两条不同的直线m､和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（       ） A．若m，⊥m，则⊥α B．若β，⊥，，则⊥m C．若m，⊥，则m⊥ D．若m，，则m 9．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 10．如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥平面ABCD； (2)平面PBE⊥平面ABCD. 【考点2 平面与平面垂直】 1.二面角定义 （1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． （2）符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. 2.二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）二面角的平面角的取值范围： 3.平面与平面垂直的定义 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 4.平面与平面垂直的判定 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 5.平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【即时训练】 1．设，为两个平面，则的充要条件是（       ） A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．（       ）内存在一条直线垂直于 2．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（       ） A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 4．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（       ） A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 5．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（       ） A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m 6．二面角的取值范围是（       ） A． B． C． D． 7．若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（       ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 9．如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.求证： （1）∥平面； （2）平面平面. 10．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：面面． 1．（2026年·河南对口升学高考第23题）四边形ABEF 为矩形，平面 ABCD⊥ABEF，将 △BEF沿 BF折叠，点 E 恰好落在DC上，记作点G，连接AG. 求证：平面 AFG⊥BFG. 2．（2024年·河南对口升学高考第23题）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 3．（2022年·河南对口升学高考第23题）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $