专题25 空间中点、线、面间的位置关系（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题25 空间中点、线、面间的位置关系 【复习目标】 1. 理解平面的特征，掌握平面的基本性质. 2. 理解异面直线的概念，会求异面直线所成角. 【考点1 平面的概念及性质】 1．平面的特征和表示 (1)平面的特征 几何里的“平面”没有边界，画平面的时候一般用平行四边形表示平面. (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍. 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来. (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. (4)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 2．平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 【即时训练】 1．下列图形中不一定是平面图形的是（   ） A．四边形 B．圆 C．三角形 D．梯形 【答案】A 【分析】根据平面的定义判断即可. 【详解】由不共线的三点确定一个平面， 知圆、三角形、梯形是平面图形， 四边形如空间四边形不是平面图形. 故选：A. 2．如图所示，用符号语言可表述为（ ） A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【答案】A 【解析】由图知平面α与平面β相交于直线m，直线n在α内，直线m与n相交于A点，A成立． 故选：A. 3．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有（    ）个平面 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】A 【分析】根据平面的基本性质来判断. 【详解】根据平面的基本事实：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面， 所以经过一条直线和这条直线外一点，有且只有1个平面. 故选：A. 4．经过同一条直线上的3个点的平面（   ） A．有且只有一个 B．有且只有3个 C．有无数个 D．不存在 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，即可求解. 【详解】经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点. 故选：C. 5．平行于同一条直线的两条直线一定（ ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【答案】B 【解析】根据平行的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线一定平行， 故选：B. 6．一条直线和直线外的三点所能确定的平面个数是（    ） A．1或3 B．1或4 C．1，3或4 D．1，2或4 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】如图，（1）当与共面时，可确定一个平面； （2）当与不共面时， ①当中只有两点连线与平行时，这样可确定3个平面； ②当中任意两点连线不与平行时，则 与 分别确定 3 个平面， 且 自身确定 1 个平面，共 4个平面. 故选：C. 7．已知，，，则与两边方向相同的等于（ ） A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对 【答案】A 【解析】因，，又与两边方向相同， 所以. 故选：A. 8．下列说法正确的是（   ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间三个平面相交，三条交线只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的性质逐项判断即可得解. 【详解】过空间两条相交或平行直线有且只有一个平面，故选项错误； 过空间不共线的三点有且只有一个平面，故错误； 空间三个平面相交，三条交线可能互相平行，此时交线没有交点，故错误； 过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故正确， 故选：. 9．下列说法错误的是（ ） A．三个点确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内 【答案】A 【分析】由平面的基本事实及其推论可判断正误. 【解析】A.只有不共线的三个点可以确定一个平面，故错误； B．两条平行直线可确定一个平面，故正确； C. 两条相交直线可确定一个平面，故正确； D. 一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内，正确； 故选：A. 10．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 【答案】8 【解析】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分． 故答案为：8． 【考点2 空间两直线的位置关系】 1．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线 (2)异面直线所成的角 ①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角． ②异面直线所成的角θ的取值范围：． ③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b． (3)求两条异面直线所成角的步骤 ①恰当选点，用平移法构造出一个相交角． ②证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． ③把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． ④若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角． 2．公理4及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．符号表示：⇒a∥c． (2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 【即时训练】 1．空间直线都垂直于直线，那么与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面直线 D．平行或相交或异面 【答案】D 【分析】借助长方体模型，通过观察棱与棱的关系，即可确定与的位置关系. 【详解】如图所示： 通过观察长方体可知：， 和异面， 所以空间直线都垂直于直线，则与的位置关系是：平行或相交或异面. 故选：D. 2．与同一平面平行的两条直线（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 【答案】D 【解析】与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面． 故选：D . 3．正方体中，P、Q分别为棱、的中点，则异面直线与BD所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】 连接，∵P、Q分别为棱、的中点， ∴，故即为所求，由正方体的性质可知为等边三角形， 所以，即异面直线与BD所成角的大小为， 故选：C. 4．如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（ ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【答案】D 【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【解析】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 5．已知l是平面α的一条斜线，直线，则（ ） A．存在唯一一条直线m，使得l⊥m B．存在无数多条直线m，使得l⊥m C．存在唯一一条直线m，使得l∥m D．存在无数多条直线m，使得l∥m 【答案】B 【分析】面内与平面的斜线在面内的投影垂直的直线与斜线垂直，这样的直线时一组平行线，有无数多条；面内的直线与斜线只有相交和异面两种情况，没有平行的可能. 【解析】平面内的直线与平面的一条斜线在面内的投影垂直，则与斜线垂直，这样的平行线有无数多条，所以A不正确，B正确， 面内的直线若有与斜线平行的则斜线与面平行，显然不可能的， 所以C，D不正确. 故选：B. 6．如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共3条. 故选：C. 7．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【解析】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C.    8．已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是 .(填“平行”或“异面”) 【答案】异面 【解析】因为AB，CD是两条异面直线，由异面直线定义可知直线AC与BD必不相交也不平行，一定异面． 故答案为：异面. 9．如图，在正方体中，面对角线与所在直线的位置关系为 .（填“平行”、“相交”或“异面”） 【答案】异面 【分析】根据正方体的性质，以及异面直线的概念求解. 【详解】在正方体中，平面， 平面平面，所以面对角线与所在直线的位置关系为异面. 故答案为：异面. 10．已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是 .(填“平行”或“异面”) 【答案】异面 【解析】因为AB，CD是两条异面直线，由异面直线定义可知直线AC与BD必不相交也不平行，一定异面． 故答案为：异面. 1．（2022年·河南对口升学高考第8题）在空间中，以下说法正确的是（ ） A.若，，则 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】A选项，若，，则与不一定垂直，A不正确； B选项，平行于同一平面的两条直线不一定平行，B不正确； C选项，过直线外一点不一定有且只有一条直线与已知直线垂直；C不正确； D选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D正确， 故选：D. 2．（2019年·河南对口升学高考第8题）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取中点M，连接EM，FM，则FM∥， 则即为直线与所成角，，，，，所以， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题25 空间中点、线、面间的位置关系 【复习目标】 1. 理解平面的特征，掌握平面的基本性质. 2. 理解异面直线的概念，会求异面直线所成角. 【考点1 平面的概念及性质】 1．平面的特征和表示 (1)平面的特征 几何里的“平面”没有边界，画平面的时候一般用平行四边形表示平面. (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍. 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来. (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. (4)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 2．平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 【即时训练】 1．下列图形中不一定是平面图形的是（   ） A．四边形 B．圆 C．三角形 D．梯形 2．如图所示，用符号语言可表述为（ ） A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 3．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有（    ）个平面 A．1 B．2 C．3 D．无数 4．经过同一条直线上的3个点的平面（   ） A．有且只有一个 B．有且只有3个 C．有无数个 D．不存在 5．平行于同一条直线的两条直线一定（ ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．平行或异面 6．一条直线和直线外的三点所能确定的平面个数是（    ） A．1或3 B．1或4 C．1，3或4 D．1，2或4 7．已知，，，则与两边方向相同的等于（ ） A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对 8．下列说法正确的是（   ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间三个平面相交，三条交线只有一个公共点 D．过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 9．下列说法错误的是（ ） A．三个点确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内 10．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 【考点2 空间两直线的位置关系】 1．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线 (2)异面直线所成的角 ①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角． ②异面直线所成的角θ的取值范围：． ③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b． (3)求两条异面直线所成角的步骤 ①恰当选点，用平移法构造出一个相交角． ②证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． ③把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． ④若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角． 2．公理4及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．符号表示：⇒a∥c． (2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 【即时训练】 1．空间直线都垂直于直线，那么与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面直线 D．平行或相交或异面 2．与同一平面平行的两条直线（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 3．正方体中，P、Q分别为棱、的中点，则异面直线与BD所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（ ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 5．已知l是平面α的一条斜线，直线，则（ ） A．存在唯一一条直线m，使得l⊥m B．存在无数多条直线m，使得l⊥m C．存在唯一一条直线m，使得l∥m D．存在无数多条直线m，使得l∥m 6．如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ）    A． B． C． D． 8．已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是 .(填“平行”或“异面”) 9．如图，在正方体中，面对角线与所在直线的位置关系为 .（填“平行”、“相交”或“异面”） 10．已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是 .(填“平行”或“异面”) 1．（2022年·河南对口升学高考第8题）在空间中，以下说法正确的是（ ） A.若，，则 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2019年·河南对口升学高考第8题）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $