专题1 集合（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合 【复习目标】 1.理解集合的概念及其表示，理解集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）. 2.掌握集合的表示方法；理解元素与集合的关系及集合间的关系. 3.掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3.掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考点1 元素与集合】 一组对象的全体构成一个集合． 1．集合中元素的三大特征： 、 、 ． 2．集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A， 或 ，二者必居其一． 3．常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N Z R 4．集合的表示法： 、 、Venn图法． 5．集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用 表示，无限集常用 表示． 【即时训练】 1．下列语句中描述的是集合的是（    ） A．大于2的整数 B．高三年级高个子女生 C．数轴上位于原点附近的点的全体 D．远小于0的实数 2．下列集合中表示同一个集合的是（   ） A．， B．， C．， D．，{前个自然数} 3．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列关系中正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．已知集合，且，则实数m为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3 6．已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 7．方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 8．集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 .集合基本关系】 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： 注意：(1)空集用 表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集的个数为 . (3)空集是任何集合的子集，是任何 的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑 的情况，否则会造成漏解. 【即时训练】 1．集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．的集合共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．集合｛正方形｝，集合｛矩形｝，集合｛平行四边形｝，集合｛梯形｝，则下列包含关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则与之间最适合的关系是（ 　） A． B． C． D． 7．已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，给出下列四个命题；①；②；③；④．其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点3 集合的基本运算】 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A， ，A∪B＝B∪A. ，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U， 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 【即时训练】 1．设集合，则（　　） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合B，则（   ） A． B． C． D． 5．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．设全集，则（   ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 8．设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【考点4 利用集合的运算求参数】 A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 【即时训练】 1．已知集合，，若，求实数a的取值集合． 2．已知集合，，若，求实数的取值范围. 3．已知，，且,求实数的取值范围. 4．已知，，，求实数a的取值范围． 1.（2025·河北对口升学·真题T01）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2025·河北对口升学·真题T26） 已知集合，，若且，求实数a 的取值范围. 3.（2024·河北对口升学·真题T01）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4.（2024·河北对口升学·真题T31）设集合，，若，求实数的取值范围. 5.（2023·河北对口升学·真题T01）设集合M=，N=，则（ ） A. B. C. D. 6.（2023·河北对口升学·真题T31）已知集合集合，若求a的取值范围. 7.（2022·河北对口升学·真题T01）已知全集，，则集合M的补集为（ ） A. B. C. D. 8.（2022·河北对口升学·真题T31）设集合，，且，求实数a的取值范围. 9.（2021·河北对口升学·真题T01）设集合，，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合 【复习目标】 1.理解集合的概念及其表示，理解集合中元素的三个特性（确定性、互异性、无序性）. 2.掌握集合的表示方法；理解元素与集合的关系及集合间的关系. 3.掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3.掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考点1 元素与集合】 一组对象的全体构成一个集合． 1．集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． 2．集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． 3．常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R 4．集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． 5．集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 【即时训练】 1．下列语句中描述的是集合的是（    ） A．大于2的整数 B．高三年级高个子女生 C．数轴上位于原点附近的点的全体 D．远小于0的实数 【答案】A 【分析】根据集合的定义判定. 【详解】选项A中，“大于2的整数”是一个明确的数学描述，包括所有大于2的整数，故正确. 选项B中，“高个子”是个模糊的概念，不明确，故错误. 选项C中，“原点附近”是个模糊的概念，不明确，故错误. 选项D中，“远小于0” 是个模糊的概念，不明确，故错误. 故选：A. 2．下列集合中表示同一个集合的是（   ） A．， B．， C．， D．，{前个自然数} 【答案】D 【分析】根据相等集合的概念逐项分析即可. 【详解】A.有序数对，所以，故A错误， B.，所以，故B错误， C. ，所以，故C错误， D. 前个自然数是，故，故D正确， 故选：D. 3．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系，即可作出判断. 【详解】对于A，集合A为数集，集合B为点集，显然二者不等； 对于B，，显然； 对于C，当时，，所以； 对于D，当时，，所以. 故选：C 4．下列关系中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】A：为实数，故，A正确； B：是负整数，故，B错误； C：是无理数，故，C错误； D：是一个无限不循环小数，故，D错误. 故选：A. 5．已知集合，且，则实数m为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3 【答案】B 【分析】根据元素和集合的关系分类讨论易得答案. 【详解】解：因为，所以或， 若，则，不满足集合中元素的互异性，应舍去； 若，则解得或， 显然不满足集合中元素的互异性，应舍去， 故． 故选：B． 6．已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出的值. 【详解】因为集合，且， 所以，解得或， 当时，此时，不满足集合的互异性，舍去； 当时，集合，符合题意， 所以. 故选：C. 7．方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程组解集的表达形式排除，再解出该方程组的解集，从而得解. 【详解】因为方程组的解集中元素应是有序数对形式，故排除选项； 而选项D的集合表示方法有误，故排除选项D； 同时，由解得， 故方程组的解集为. 故选：C. 8．集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意进行计算即可求解. 【详解】由集合 故选:. 【考点2 .集合基本关系】 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 【即时训练】 1．集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】首先找出集合中的所有元素，再由含个元素的集合中有个真子集求出真子集的个数. 【详解】已知中， 共有个元素，所以集合真子集的个数为. 故选：C. 2．的集合共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系分析求解即可. 【详解】因为， 所以满足题意的集合有 ， 共个， 故选：C. 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的符号表示逐个判断即可. 【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误， ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，故正确， ③空集是任意集合的子集，故，故正确， ④空集没有任何元素，故，故错误， ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，故错误， ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误， 所以②③正确， 故选：B. 4．集合｛正方形｝，集合｛矩形｝，集合｛平行四边形｝，集合｛梯形｝，则下列包含关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的包含关系即可判断. 【详解】对A：正方形一定是矩形，A项正确. 对B：矩形一定是平行四边形，B项正确. 对C：梯形不是平行四边形，平行四边形也不是梯形，C项不正确. 对D：正方形一定是平行四边形，D项正确. 故选：C. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，结合集合的子集概念即可得解. 【详解】由题意集合，，所以. 故选：C. 6．已知集合，，则与之间最适合的关系是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合集合之间的关系即可得解. 【详解】集合，， 所以， 故选：. 7．已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，给出下列四个命题；①；②；③；④．其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解. 【详解】{第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角． {锐角}，是指大于而小于的角． {小于的角}，小于的角包括锐角，零角和负角． 根据集合的含义和基本运算判断： 互不相等，①错误； 不是的子集，比如，，但，②错误； 不是的子集，比如，但，③错误； 不是的子集，不相等，④错误； 正确命题个数为0个． 故选：A． 8．给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的定义，及子集和真子集的定义，即可判断求解. 【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确； 由于空集的子集只有它本身，故②不正确； 由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确； 由于空集是任意集合的子集，所以集合A可以是空集，故④不正确； 综上，正确的说法有0个. 故选：A. 【考点3 集合的基本运算】 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 【即时训练】 1．设集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， 所以． 故选：B. 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断两个集合的区间，取相交的部分即可求解. 【详解】，, 故选：A． 3．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数轴，可以求出这两个集合的并集. 【详解】. 故选：A. 4．已知集合，集合B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】因为集合，集合B， 所以， 故选：A 5．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次不等式的解法得，再根据集合的并集运算来求解即可. 【详解】因为集合， 集合， . 故选：C. 6．设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】已知全集，， 则. 故选：B. 7．设全集，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合和集合用列举法表示出来，再根据补集的定义求解即可. 【详解】， ，则. 故选：C. 8．设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集与交集的定义求解. 【详解】∵全集，集合，∴， 又，∴. 故选：D. 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的交集和补集运算即可得解. 【详解】集合，，， 则，所以. 故选：D. 【考点4 利用集合的运算求参数】 A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 【即时训练】 1．已知集合，，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【分析】由交集的概念转化集合A，B的关系，即可求解a的值. 【详解】因为， 所以， 当时，解得. 当时，可知， 因为， 所以或， 即或， 解得或2. 所以综上，a的取值集合为. 2．已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解法求解集合A与集合B，再根据交集的运算转化集合间的关系求解即可. 【详解】∵不等式可化为， 即，解得， ∴集合， ∵不等式可化为， 又∵，解得， ∴集合， ∵，即， ∴，解得， ∴实数的取值范围. 3．已知，，且,求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】化简集合，结合集合之间的包含关系即可得解. 【详解】，解得， 所以， 因为，且, 所以， 则实数的取值范围为， 4．已知，，，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的并集运算结果可得，再根据集合B是否为空集即可求解. 【详解】因为，可得， 当，则有，解得，满足， 当，则有， 所以有，解得，即， 综上，实数a的取值范围为. 1.（2025·河北对口升学·真题T01）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解． 【详解】集合，，则， 故选：A． 2.（2025·河北对口升学·真题T26） 已知集合，，若且，求实数a 的取值范围. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意结合元素与集合的关系列出不等式即可得解. 【详解】集合，， 则，解得， 集合，， 所以满足，即，解得， 综上所述，， 所以实数a 的取值范围为. 3.（2024·河北对口升学·真题T01）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 4.（2024·河北对口升学·真题T31）设集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】先解绝对值不等式与对数不等式化简集合，再利用集合交集的结果得到，进而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由，得，则， 所以， 因为在单调递增， 由，得，则， 所以， 因为，所以，易知， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 5.（2023·河北对口升学·真题T01）设集合M=，N=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据解一元二次方程可以求出集合N，再根据集合并集运算易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 6.（2023·河北对口升学·真题T31）已知集合集合，若求a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由可知A、B有重合部分，然后利用集合端点值间的关系列不等式得答案. 【详解】， ， 因为，则， 所以或，且， 即或，且，所以. 故a的取值范围为：. 7.（2022·河北对口升学·真题T01）已知全集，，则集合M的补集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】已知全集，， 根据补集的定义可知：补集中的元素x满足且 所以集合M的补集为. 故选：B 8.（2022·河北对口升学·真题T31）设集合，，且，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由可知无解，即可解答. 【详解】由题分析可知，若那么方程组无解， 即无解， 即，那么有， 解得. 9.（2021·河北对口升学·真题T01）设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据集合的运算结合集合的表示即可求解. 【详解】因为，， 根据交集的运算性质可得. 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $