第18章 等腰三角形（复习讲义，6知识&9题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第18章 等腰三角形（复习讲义） 1.理解等腰（等边）三角形的定义、性质、判定，掌握 “等边对等角”“三线合一”“等角对等边”。 2.理解线段垂直平分线（中垂线）的定义、性质定理与逆定理，会尺规作中垂线、过点垂线、等腰三角形。 3.能进行角度 / 边长计算、线段相等证明、等腰 / 等边三角形判定、中垂线综合应用。 知识点01等腰三角形的概念与性质 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.各部分名称： 相等的两条边：腰 第三条边：底边 两腰的夹角：顶角 腰与底边的夹角：底角（两个底角） 3.等腰三角形的性质（重点） 等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 几何语言：∵ 在△ABC中，AB=AC∴ ∠B=∠C 等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 几何语言（3种形式）：角平分线→中线+高：∵ AB=AC，AD平分∠BAC∴ AD⊥BC，BD=DC 中线→角平分线+高：∵ AB=AC，BD=DC∴ AD平分∠BAC，AD⊥BC 高→角平分线+中线：∵ AB=AC，AD⊥BC∴ AD平分∠BAC，BD=DC 4.轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边的垂直平分线）。 知识点02等腰三角形的判定（重点） 等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 几何语言：∵ 在△ABC中，∠B=∠C，∴ AB=AC 知识点03等边三角形（特殊的等腰三角形） 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 2. 性质 等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； 等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 任意边上的三线合一（高、中线、角平分线重合）。 3. 判定 等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 知识点04线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称“中垂线”）。 几何描述：若直线 于点 ，且 ，则直线 是线段 的垂直平分线。 2.性质（重点）：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵ 点 在 的垂直平分线上，∴ 作用：证线段相等、转移线段长度。 3.判定（逆定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ ，∴ 点 在 的垂直平分线上 作用：证点在垂直平分线上、证直线是垂直平分线。 4.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 。 求作： 的垂直平分线。 步骤：（1）分别以 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于 两点；（2）作直线 ，直线 EF即为所求。 5.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心。 外心到三角形三个顶点的距离相等（外心是外接圆圆心）。 位置： 锐角三角形：外心在三角形内部； 直角三角形：外心在斜边中点； 钝角三角形：外心在三角形外部。 知识点05易错点与注意事项 1.边的分类讨论：已知等腰三角形两边长，求周长时，需分“腰长=第一边”和“腰长=第二边”讨论，且必须满足三角形三边关系（两边之和＞第三边）。 例：两边长为2和7，腰只能为7（2+2＜7不成立），周长=7+7+2=16。 2.角的分类讨论：已知等腰三角形一个角，求另外两角时，需分“该角为顶角”和“该角为底角”讨论（底角必为锐角）。 例：一个角为70°，另两角为70°、40°或55°、55°；一个角为100°，另两角只能为40°、40°。 3.三线合一的前提：必须是等腰三角形，且针对顶角平分线、底边中线、底边高，非腰上的线段。 4.等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形（腰=底边），具备等腰三角形的所有性质。 知识点06常见辅助线做法 1.遇等腰三角形，作顶角平分线/底边中线/底边高（三线合一）； 2.遇等腰三角形底边中点，连接顶点与中点（中线→三线合一）； 3.遇角平分线+平行线，构造等腰三角形（等角对等边）。 题型一 等腰三角形角度计算（分类讨论） 【例1】（24-25七年级下·上海·月考）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于_______． 【变式1-2】（25-26七年级下·上海金山·期末）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 题型二 等腰三角形边长与周长（三边关系） 【例2】（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则___________ 【变式2-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【变式2-2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知是等腰三角形，，则边_________． 【变式2-3】（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 题型三 等腰三角形三线合一应用 【例3】（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【变式3-2】（22-23七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，于D，的周长为，那么______．    【变式3-3】（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    题型四 等腰三角形判定（等角对等边） 【例4】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 【变式4-1】（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【变式4-3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 题型五 等腰三角形动态问题 【例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 【变式5-1】（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【变式5-4】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒． 题型六 线段垂直平分线求边长 / 周长 【例6-1】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【变式6-1】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【变式6-2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【变式6-3】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为______． 【变式6-4】（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 题型七 线段垂直平分线求角度 【例7】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 【变式7-1】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 题型八 尺规作图（解答题） 【例8】（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【变式8-1】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【变式8-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【变式8-3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 题型九 垂直平分线 + 等腰三角形 【例9】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 【变式9-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【变式9-2】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）把以下过程补充完整． (1)如图1，在中，为的平分线，以点为顶点，为一边在外部作，边交边延长线于点，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上______． (2)如图2，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，求的度数． 解：为等边三角形， （）， ， ， ， ， （）， ， ， 为等边三角形（）， ，， 即， ， ， ． 【变式9-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2) 当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·上海松江·月考）等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（   ） A．13 B．17 C．20 D．13或17 2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是射线 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C．三角形的高线交于一点 D．三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外 3．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 4．（24-25七年级下·上海·期末）已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 7．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么________． 10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、，求的度数． 11．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 12．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线与交于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 能力提升进阶练 1．（2026七年级下·上海·专题练习）下列说法中正确的有（   ） （1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴； （3）等边三角形的对称轴是三条边上的高； （4）等边三角形是中心对称图形，对称中心是三条角平分线的交点． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)小川判断，以下是他的证明思路，请帮他完善． 证明：平分， ①___________， 是的垂直平分线， ，②___________， ，③___________． ，④___________， ． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． (1)如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高． （i）请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； （ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整． 证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据） ∵；∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（________）（填推理依据） ∴．即是边上的高． (2)如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高． 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧． ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：是边上的高． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，根据下列要求作图并回答问题： (1)定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接.如果平分，那么的度数为________； (3)在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） 7．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 8．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 等腰三角形（复习讲义） 1.理解等腰（等边）三角形的定义、性质、判定，掌握 “等边对等角”“三线合一”“等角对等边”。 2.理解线段垂直平分线（中垂线）的定义、性质定理与逆定理，会尺规作中垂线、过点垂线、等腰三角形。 3.能进行角度 / 边长计算、线段相等证明、等腰 / 等边三角形判定、中垂线综合应用。 知识点01等腰三角形的概念与性质 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.各部分名称： 相等的两条边：腰 第三条边：底边 两腰的夹角：顶角 腰与底边的夹角：底角（两个底角） 3.等腰三角形的性质（重点） 等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 几何语言：∵ 在△ABC中，AB=AC∴ ∠B=∠C 等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 几何语言（3种形式）：角平分线→中线+高：∵ AB=AC，AD平分∠BAC∴ AD⊥BC，BD=DC 中线→角平分线+高：∵ AB=AC，BD=DC∴ AD平分∠BAC，AD⊥BC 高→角平分线+中线：∵ AB=AC，AD⊥BC∴ AD平分∠BAC，BD=DC 4.轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边的垂直平分线）。 知识点02等腰三角形的判定（重点） 等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 几何语言：∵ 在△ABC中，∠B=∠C，∴ AB=AC 知识点03等边三角形（特殊的等腰三角形） 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 2. 性质 等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； 等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 任意边上的三线合一（高、中线、角平分线重合）。 3. 判定 等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 知识点04线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称“中垂线”）。 几何描述：若直线 于点 ，且 ，则直线 是线段 的垂直平分线。 2.性质（重点）：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵ 点 在 的垂直平分线上，∴ 作用：证线段相等、转移线段长度。 3.判定（逆定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ ，∴ 点 在 的垂直平分线上 作用：证点在垂直平分线上、证直线是垂直平分线。 4.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 。 求作： 的垂直平分线。 步骤：（1）分别以 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于 两点；（2）作直线 ，直线 EF即为所求。 5.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心。 外心到三角形三个顶点的距离相等（外心是外接圆圆心）。 位置： 锐角三角形：外心在三角形内部； 直角三角形：外心在斜边中点； 钝角三角形：外心在三角形外部。 知识点05易错点与注意事项 1.边的分类讨论：已知等腰三角形两边长，求周长时，需分“腰长=第一边”和“腰长=第二边”讨论，且必须满足三角形三边关系（两边之和＞第三边）。 例：两边长为2和7，腰只能为7（2+2＜7不成立），周长=7+7+2=16。 2.角的分类讨论：已知等腰三角形一个角，求另外两角时，需分“该角为顶角”和“该角为底角”讨论（底角必为锐角）。 例：一个角为70°，另两角为70°、40°或55°、55°；一个角为100°，另两角只能为40°、40°。 3.三线合一的前提：必须是等腰三角形，且针对顶角平分线、底边中线、底边高，非腰上的线段。 4.等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形（腰=底边），具备等腰三角形的所有性质。 知识点06常见辅助线做法 1.遇等腰三角形，作顶角平分线/底边中线/底边高（三线合一）； 2.遇等腰三角形底边中点，连接顶点与中点（中线→三线合一）； 3.遇角平分线+平行线，构造等腰三角形（等角对等边）。 题型一 等腰三角形角度计算（分类讨论） 【例1】（24-25七年级下·上海·月考）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于_______． 【答案】或 【详解】解：分以下两种情况： 如图1，为锐角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（此时点E和点C重合）； 如图2，为钝角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式1-2】（25-26七年级下·上海金山·期末）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】或 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 题型二 等腰三角形边长与周长（三边关系） 【例2】（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则___________ 【答案】 【详解】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【详解】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 【变式2-3】（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为7、、， ∴①当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形； ②当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 题型三 等腰三角形三线合一应用 【例3】（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 【变式3-2】（22-23七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，于D，的周长为，那么______．    【答案】3 【详解】解：∵，的周长为， ∴， 即； ∵， ∴， 故答案为：3． 【变式3-3】（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    【答案】 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 题型四 等腰三角形判定（等角对等边） 【例4】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；； 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 【变式4-1】（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（同一个三角形中，等角对等边）． 因为点是的中点（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 【答案】等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一 【详解】解：， （等边对等角）， ， ． 即． （等角对等边）， 在和中， ∵， （SSS）． （全等三角形的对应角相等）， ， （等腰三角形三线合一）． 题型五 等腰三角形动态问题 【例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 【答案】40 【详解】解：由题意得：， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即旋转角度为， ∴， 故答案为40． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 【答案】 【详解】解：三角形中，，， ， 将绕点逆时针旋转后得到的， ，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-4】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒． 【答案】或4 【详解】解：当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为或4． 故答案为：或4． 题型六 线段垂直平分线求边长 / 周长 【例6-1】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 【例6-2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【答案】 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 【变式6-1】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【变式6-3】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 故答案为： 【变式6-4】（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵在中，，D为边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短时，． 故答案为：． 题型七 线段垂直平分线求角度 【例7】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 【答案】40 【详解】解：是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【答案】 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 【答案】50或140 【详解】解：如图1， ，垂直平分， ， ， ， ， ； 如图2， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 当垂直平分线与线段交于点， ，垂直平分， ， ， ， 中不符合三角形的内角和定理，不符合题意， ∴当垂直平分线与线段交于点，此种情况不存在， 综上，或。 故答案为：50或． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 题型八 尺规作图（解答题） 【例8】（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【详解】如图，任画一条直线，在线上取点B，以B为圆心画弧交直线于两点； 分别以为圆心，大于的等长半径画弧，交于点F； 连接，得直角（依据线段垂直平分线性质）． 在上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交于C，则边的长为4倍的单位长度； 在直线上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交于A，则边的长为2倍的单位长度： 最后用直尺连接两点． 则直角三角形就是所作的三角形． 【变式8-1】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 【变式8-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图， 高即为所作； （2）如图所示： 垂线即为所作； （3）如图，点即为所求； 【变式8-3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，即为所求作． 题型九 垂直平分线 + 等腰三角形 【例9】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 【变式9-1】（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式9-2】（24-25七年级下·上海杨浦·月考）把以下过程补充完整． (1)如图1，在中，为的平分线，以点为顶点，为一边在外部作，边交边延长线于点，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上______． (2)如图2，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，求的度数． 解：为等边三角形， （）， ， ， ， ， （）， ， ， 为等边三角形（）， ，， 即， ， ， ． 【答案】(1)，；，等角对等边；线段垂直平分线的性质 (2)等边三角形的性质，，，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理 【详解】（1）证明：为的平分线， ， ， ， ， ， 等角对等边， 点在线段的垂直平分线上线段垂直平分线的性质， 故答案为：，；，等角对等边；线段垂直平分线的性质； （2）解：为等边三角形， 等边三角形的性质，， ， ， ， 等腰三角形的性质， ， ， 为等边三角形等边三角形的判定定理， ，， 即， ， ， ， 故答案为：等边三角形的性质，，，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理． 【变式9-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·上海松江·月考）等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（   ） A．13 B．17 C．20 D．13或17 【答案】B 【详解】解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去； 当7是腰时，则三角形的周长是． 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是射线 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C．三角形的高线交于一点 D．三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外 【答案】B 【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故本选项错误，不符合题意； B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，说法正确，符合题意； C．锐角三角形和直角三角形的高线交于一点，钝角三角形的高线不相交，故本选项错误，不符合题意； D．三角形的三条中线交于一点，这一点不可能在三角形外，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 【答案】85 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海·期末）已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________． 【答案】 【详解】解：当时，由于，不能够构成三角形； 当时，，能构成三角形， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为；． 6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 【答案】90 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90． 7．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴点和关于直线对称， 连接交于点，则此时的值最小，最小为长，即⊥， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么________． 【答案】4 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵边、的垂直平分线交于点P， ∴ ∴ ∴ 11．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）∵是直角三角形，为直角边， ∴ ∵是等边三角形，则， ∴， 由（1）可得 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴． 12．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线与交于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． （2）的垂直平分线与交于点， ， ． ， ． 与的度数之比为：， ， ． 能力提升进阶练 1．（2026七年级下·上海·专题练习）下列说法中正确的有（   ） （1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴； （3）等边三角形的对称轴是三条边上的高； （4）等边三角形是中心对称图形，对称中心是三条角平分线的交点． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【详解】解：（1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形，说法正确； （2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，说法正确； （3）等边三角形的对称轴是三条边上的高所在的直线，说法错误； （4）等边三角形不是中心对称图形，说法错误． 2．（24-25七年级下·上海闵行·月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】或 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)小川判断，以下是他的证明思路，请帮他完善． 证明：平分， ①___________， 是的垂直平分线， ，②___________， ，③___________． ，④___________， ． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ， ， ∴，． 故答案为：，，，． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． (1)如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高． （i）请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； （ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整． 证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据） ∵；∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（________）（填推理依据） ∴．即是边上的高． (2)如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高． 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧． ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：是边上的高． 【答案】(1)①见解析②到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 (2)①见解析②见解析 【详解】（1）解：①如图，即为所作； ②证明：∵； ∴点A在线段的垂直平分线上（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∵； ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（两点确定一条直线）（填推理依据） ∴．即是边上的高． 故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． （2）解：①图形如图所示； 以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求 ②证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的边上的高． 6．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，根据下列要求作图并回答问题： (1)定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接.如果平分，那么的度数为________； (3)在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） 【详解】（1）解：如图，点即为所求， ， 证明：由作图可得：垂直平分，， ∴，即点是的外心； （2）解：如图： ， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，以为圆心，为半径画弧交于，连接交于，点即为所求， 由作图可得、关于直线对称， ∴， ∴由两点之间，线段最短可得，，此时点到点和点的距离和最短． 7．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【详解】（1）证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， （2）解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 8．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $