七年级数学下学期5月学情自测卷（新教材苏科版，高效培优）

2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版七年级下册第七章~第十一章。 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，则计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别是边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点分别沿折叠至点，，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：______． 10．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，，则______． 11．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，将绕着点C逆时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上，若，则线段的长为_______． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 13．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 三、解答题（本题共11小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 18．（5分）（24-25七年级下·江苏扬州·月考）解下列方程组与不等式组，并将不等式组的解集表示在数轴上； (1) (2) 19．（6分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，． 20．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 21．（6分）（25-26七年级下·江苏盐城·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中，将沿方向平移，当点移动到点时，画出平移后的； (2)在图中，作关于直线对称的； (3)在图中，作关于点中心对称的． 22．（8分）（24-25七年级下·江苏苏州·月考）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． (1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 23．（8分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【材料阅读】利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值类等问题中均有广泛应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用． 例：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 所以当时，有最小值，最小值为1． 即的最小值为1． 根据上述材料，解答下列问题： 【类比探究】 (1)求多项式的最小值． 【方法迁移】 (2)已知，．试说明：． 【实际应用】 (3)某种植园计划对一块长20米、宽10米的长方形种植区进行改造，若长减少x米，宽增加x米，则改造后的种植区面积的最大值为______平方米． 24．（8分）（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 25．（10分）（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 26．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 27．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版七年级下册第七章~第十一章。 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列运用一元一次不等式性质的变形中，正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的性质，关键是准确掌握不等式的三个核心性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向必须改变． 【详解】解：选项A：∵，根据不等式性质①，两边同时加2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项B：∵，根据不等式性质①，两边同时减2，不等号方向不变， ∴，而选项中写，变形错误； 选项C：∵，根据不等式性质②，两边同时乘正数2，不等号方向不变， ∴，变形正确； 选项D：∵，根据不等式性质③，两边同时乘负数，不等号方向需改变， ∴，而选项中写，变形错误； 故选：C． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，则计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题利用多项式乘法展开已知式和待求式，通过整体代入法计算结果即可． 【详解】解：∵ ， 展开左边得 ， ∴ ， ∴ ， 将 代入得： 原式． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． ∴． 6．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别是边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点分别沿折叠至点，，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当在上方时，延长，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当在下方时，延长，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可． 【详解】解：如图1，当在上方时，延长，二线交于点Q， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别折叠至点N，M，P，K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当在下方时，延长，二线交于点T， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别沿折叠至点N，M，P，K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，∠EFC的度数为或， 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 10．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，，则______． 【答案】3 【分析】根据公式，求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 解得． 11．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，将绕着点C逆时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上，若，则线段的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查旋转的性质，线段的和与差，根据旋转的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵旋转，， ∴， ∵点E落在边上， ∴； 故答案为：6． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，先代入计算得的值，设☆为：，将代入得关系式，最后选取数值得到方程． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 设☆为：（不全为0）， 将代入，得：， 只要满足上述关系且即可， 令， 则， 则此时的方程为：． 13．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 【答案】28 【分析】本题主要考查解二元一次方程和解不等式组，利用参数表示方程的解和不等式的解集是解题的关键． 首先解方程得到，由解为整数可知为奇数，再解不等式组，得到解集为，再由有且仅有3个整数解确定a的取值范围，结合为奇数，得到或，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵解为整数， ∴为偶数，即a为奇数， 解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， ∴，解得：， ∵a为整数，且a为奇数， ∴或， ∴满足条件的整数a和为， 故答案为：28． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 【答案】 【分析】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【详解】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 三、解答题（本题共11小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． （2）先计算多项式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解：．····················2分 （2）解： ．··················5分 18．（5分）（24-25七年级下·江苏扬州·月考）解下列方程组与不等式组，并将不等式组的解集表示在数轴上； (1) (2) 【答案】(1) (2) ，在数轴上表示见解析 【分析】（1）得，将②整体代入③消去x，求出y的值，y代入②求出x的值即可； （2）分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可. 【详解】（1）解：， ，得， 将②代入③， 得， 解得， 把代入②， 得， 解得， ∴原方程组的解为．···················2分 （2）解：， 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴ ∴不等式组的解集为．···················4分 在数轴上表示不等式组的解集： ···················5分 19．（6分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】利用平方差公式和完全平方公式以及单项式乘多项式的法则计算． 【详解】解： ，···················3分 将，代入上式得， 原式．···················6分 20．（6分）（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【答案】2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：，···················2分 ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：，···················4分 ．···················6分 21．（6分）（25-26七年级下·江苏盐城·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中，将沿方向平移，当点移动到点时，画出平移后的； (2)在图中，作关于直线对称的； (3)在图中，作关于点中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质，点的对应点为，再确定、即可； （2）根据轴对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到； （3）根据中心对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ···················2分 （2）解：如图所示，即为所求； ···················4分 （3）解：如图所示，即为所求． ···················6分 22．（8分）（24-25七年级下·江苏苏州·月考）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． (1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合投入资金不少于万元又不超过12万元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元， 根据题意得：， 解得． 答：购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元；············3分 （2）解：根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为5，6，7，···················5分 共有3种购买方案， 方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件．···················8分 23．（8分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【材料阅读】利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值类等问题中均有广泛应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用． 例：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 所以当时，有最小值，最小值为1． 即的最小值为1． 根据上述材料，解答下列问题： 【类比探究】 (1)求多项式的最小值． 【方法迁移】 (2)已知，．试说明：． 【实际应用】 (3)某种植园计划对一块长20米、宽10米的长方形种植区进行改造，若长减少x米，宽增加x米，则改造后的种植区面积的最大值为______平方米． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)225 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）作差，利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 【详解】（1）解：． 因为， 所以． 所以当时，有最小值，最小值为3． 即的最小值为3．···················3分 （2）解：因为，， ， 因为， 所以， 故， 故．···················6分 （3）解：设改造后的种植区面积为， 根据题意， ， 因为， 所以， 所以． 所以当时，有最大值，最大值为225．···················8分 24．（8分）（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)90 (3)的度数为或． 【分析】（1）由折叠的性质得，据此求解即可； （2）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质得；···················2分 （2）解：∵E，，三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴；···················4分 （3）解：当折叠部分不重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 当折叠部分重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或．···················8分 25．（10分）（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是；···················3分 （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是；···················6分 （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ．···················10分 26．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：；···················3分 （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20；···················6分 （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：．···················10分 27．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1．···················3分 （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为；···················6分 （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为．···················10分 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C D C A D D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9． 10．3 11．6 12．（答案不唯一） 13．28 14． 15． 16．②③④ 三、解答题（本题共11小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． （2）先计算多项式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解：．····················2分 （2）解： ．··················5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) ，在数轴上表示见解析 【分析】（1）得，将②整体代入③消去x，求出y的值，y代入②求出x的值即可； （2）分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可. 【详解】（1）解：， ，得， 将②代入③， 得， 解得， 把代入②， 得， 解得， ∴原方程组的解为．···················2分 （2）解：， 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴ ∴不等式组的解集为．···················4分 在数轴上表示不等式组的解集： ···················5分 19．（6分） 【答案】，2 【分析】利用平方差公式和完全平方公式以及单项式乘多项式的法则计算． 【详解】解： ，···················3分 将，代入上式得， 原式．···················6分 20．（6分） 【答案】2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：，···················2分 ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：，···················4分 ．···················6分 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质，点的对应点为，再确定、即可； （2）根据轴对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到； （3）根据中心对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ···················2分 （2）解：如图所示，即为所求； ···················4分 （3）解：如图所示，即为所求． ···················6分 22．（8分） 【答案】(1)购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合投入资金不少于万元又不超过12万元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元， 根据题意得：， 解得． 答：购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元；············3分 （2）解：根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为5，6，7，···················5分 共有3种购买方案， 方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件．···················8分 23．（8分） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)225 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）作差，利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 【详解】（1）解：． 因为， 所以． 所以当时，有最小值，最小值为3． 即的最小值为3．···················3分 （2）解：因为，， ， 因为， 所以， 故， 故．···················6分 （3）解：设改造后的种植区面积为， 根据题意， ， 因为， 所以， 所以． 所以当时，有最大值，最大值为225．···················8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)90 (3)的度数为或． 【分析】（1）由折叠的性质得，据此求解即可； （2）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质得；···················2分 （2）解：∵E，，三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴；···················4分 （3）解：当折叠部分不重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 当折叠部分重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或．···················8分 25．（10分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是；···················3分 （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是；···················6分 （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ．···················10分 26．（10分） 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：；···················3分 （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20；···················6分 （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：．···················10分 27．（10分） 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1．···················3分 （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为；···················6分 （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为．···················10分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $