精品解析：2026年山东省普通高校招生春季高考知识考试 数学试题（一）

2026年山东省普通高校招生春季高考知识考试 数学试题（一） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上. 1. 已知集合，，若，则实数的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念及运算可得结果. 【详解】因为集合，，且， 所以，则. 故选：B. 2. 已知，，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数相等结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为，所以， 又，，解得， 所以. 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义即可选出正确答案. 【详解】或， 当时，， 所以充分性不成立； ，则一定成立， 所以必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 已知直线过点，，若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线上两点求斜率以及根据倾斜角求斜率，列方程求参数即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率为. 且直线过点，，所以有， 解得. 故选：B. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论的范围，再分析一次函数和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】对数函数中，且， 当时，， 此时一次函数在上单调递减， 对数函数在上单调递减，无符合选项， 当时，， 此时一次函数在上单调递增， 对数函数在上单调递增，选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 6. 若关于的不等式的解集是或，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系，求出的值即可得解. 【详解】由题可知，和是的两根且， 所以，解得， 所以. 故选：A 7. 已知奇函数的定义域为，且函数是减函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质以及函数的单调性和定义域来确定实数的取值范围. 【详解】已知是奇函数，则， 由，可得， 根据奇函数性质进一步得到， 因为是减函数， 所以当时，有，解得， 函数的定义域为， 所以和都要在定义域内，可列出不等式组，可得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 8. 若随机变量的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.4 0.2 则等于（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】由题意可知，，解得， 所以. 故选：. 9. 已知直线是圆的切线，则实数的值是（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，列方程可求解. 【详解】将圆配方，可得， 所以圆心坐标为，半径. 由题可知，圆心到直线的距离， 即，解得或. 故选：C. 10. 有10道不同的菜品，其中荤菜6道，素菜4道，现要搭配成一套3道菜的套餐，要求荤菜2道、素菜1道，则所有不同的搭配方案的种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合组合数的计算即可得. 【详解】荤菜6道，素菜4道，现要搭配成一套3道菜的套餐，要求荤菜2道、素菜1道， 则所有不同的搭配方案的种数为， 故选：. 11. 如图所示，在平行四边形中，，，，则（ ） A. 7 B. C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】在平行四边形中，，，， ， 则 ， 故选：. 12. 下列各组函数中，为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的概念判断是否为同一函数. 【详解】A项，，两个函数的对应法则不同，∴不是同一个函数. B项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，∴不是同一个函数. C项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，∴不是同一个函数. D项，与，定义域、值域和对应法则相同，虽然自变量字母不同，但还是同一个函数，故正确. 故选：D. 13. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件和双曲线的渐近线方程得到，再由双曲线关系求解离心率即可. 【详解】由直线可知，其斜率为. 因为双曲线的渐近线方程为，则， 所以. 故选：C 14. 在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，则含项的系数为（ ） A. 45 B. 252 C. 210 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求出，再根据二项式展开式求解即可. 【详解】在的二项展开式中，只有第6项的系数最大， 所以，解得. 的二项展开式通项为. 令，解得，进而含项的系数为. 故选：D. 15. 已知函数的图像过点，则函数的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用降幂公式及辅助角公式将函数化为正弦型函数，由求出，再根据正弦函数的性质可得结果. 【详解】 , 因为图像过点， 所以，解得， 所以， 所以当，. 故选：A 16. 一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半，则第10次着地时，小球所经过的路程之和为（参考数据：，）（ ） A. 199.8米 B. 299.6米 C. 166.9米 D. 266.9米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式即可得解. 【详解】一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半， 则每次弹起再落地的路程构成首项为，公比为的等比数列， 则第10次着地时，小球所经过的路程之和为第一次下落的米，加前次弹起再落地的路程和， 即米， 故选：. 17. 现有甲、乙、丙3名志愿者被随机分到，两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙不在同一个岗位服务的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法得到所有基本事件，再根据古典概型计算公式可求解. 【详解】由题可知，甲、乙、丙3名志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.基本事件可能为： （甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙），共有6个，而甲、乙两 人不在同一岗位有（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个基本事件， 故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为. 故选：A 18. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式化简函数解析式，再根据余弦型函数的周期性，进行求解即可. 【详解】因为 ， 所以函数的最小正周期为， 故选：A. 19. 已知函数，表示与的较小值.若，，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出函数图像，从而确定的最大值. 【详解】依题意分别作出和的图像如图所示， 令，则， 因式分解为，解得或. 当或，， 该区间内的最大值在处取得，为； 当，，区间内. 因此，函数的最大值为. 故选：B. 20. 如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】 如图所示，连接，因为， 则直线与所成角即为直线与所成角为， 因为，，则， 因为为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以， 故选：. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的模线上. 21. 已知向量，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示求出值，利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，且， 则，解得， 所以，， 则， 故答案为：. 22. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理求解即可. 【详解】因为，根据正弦定理，则. 因为，所以 进而. 故答案为：. 23. 已知一个直三棱柱的三视图及有关尺寸如图所示，则此三棱柱的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图中的数据求出底面积与高，代棱柱体积公式计算即可. 【详解】由图可知，该几何体为放倒的直三棱柱， 该直三棱柱的上下底面为直角三角形，则底面积为：， 且直角三角形的斜边为，即底面三条棱长为：， 由图知直三棱柱的高为，故该三棱柱侧面积为：， 故该三棱柱的表面积为：. 故答案为： 24. 某中等职业学校一年级有学生1600名，二年级有学生1200名，设三年级有学生名，为了解学生们在校学习生活情况，现采用分层抽样方法，从三个年级的学生中随机抽取200名进行访谈.若从一年级抽取的人数是80，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合分层抽样的定义列出方程即可得解. 【详解】根据题意结合分层抽样的定义可知，， 解得， 故答案为：. 25. 已知椭圆的中心为原点，焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，若，的周长为6，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意椭圆的性质及离心率公式求出的值，利用余弦定理求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】 椭圆的中心为原点，焦点分别为，，点在椭圆上，的周长为6， 则， 又因为离心率为，则， 则，解得，则， 在中，， 由余弦定理可知，， 其中，， 则，解得， 所以的面积为， 故答案为：. 三、解答题：本大题5个小题，共40分. 26. 已知函数，且. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】（1） （2）单调递减，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据的值，代入解析式求解即可. （2）根据（1）得到函数的解析式，再根据函数的单调性定义求解即可. 【小问1详解】 因为函数，且，所以，解得. 【小问2详解】 根据（1）知，. 函数在上单调递减，理由如下： 任取，且. . 因为且，所以，，，故. 故函数在上单调递减. 27. 在数列中，通项是项数的一次函数，且，. （1）求的通项公式，并求； （2）若，求数列的前20项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设，由已知列方程组求出，据此可求解； （2）根据等差数列的定义及求和公式可求解. 【小问1详解】 因为通项是项数的一次函数，则设. 又因为，， 所以，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，且， 所以数列是以首项，公差的等差数列， 所以数列的前20项和. 28. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且平面平面. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明过程见详解. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意作出辅助线，结合等边三角形的性质及直线与平面的判定定理得出平面，利用线面垂直的性质即可得解. （）根据平面与平面垂直的性质得出为三棱锥的高，代入棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 如图所示，取中点，连接，， 因为为正三角形，则， 底面是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，则， ，平面，所以平面， 平面，则. 【小问2详解】 平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 在等边内，，， 在等边中，，， 所以三棱锥的体积为. 29. 已知在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点，且点的横坐标为. （1）求的值； （2）若将角的终边绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意求出，结合同角三角函数基本关系式及两角和的正弦公式即可得解. （）根据两角和的正弦和余弦公式求出的值，代入二倍角公式即可得解. 【小问1详解】 在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点，且点的横坐标为， 则，， 则. 【小问2详解】 将角的终边绕点逆时针旋转，得到角， 则， ， ， 则. 30. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若抛物线的焦点与椭圆上的点关于轴上的某点对称，求过抛物线的焦点且斜率为2的直线被抛物线截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率概念及的关系可得，将已知点代入椭圆，解方程组求出和即可； （2）将点的坐标代入椭圆方程求出，根据焦点与关于轴上的点对称，可得及焦点，用点斜式表示出直线方程，与抛物线方程联立、消元，可得根与系数的关系，利用弦长公式求弦长. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，化简可得. 又椭圆过点，所以. 联立，解得，， 所以椭圆的标准方程； 【小问2详解】 因为在椭圆上， 所以，解得. 因为抛物线的焦点为，且焦点与M关于轴上的点对称， 所以，则，， 所以抛物线方程为，焦点， 所以过抛物线的焦点且斜率为2的直线方程为. 联立方程组，消元可得：， 设抛物线与直线的交点坐标为，，则 ，， 所以直线被抛物线截得的弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省普通高校招生春季高考知识考试 数学试题（一） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上. 1. 已知集合，，若，则实数的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 2. 已知，，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线过点，，若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集是或，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 7. 已知奇函数的定义域为，且函数是减函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若随机变量的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.4 0.2 则等于（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 9. 已知直线是圆的切线，则实数的值是（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 或3 D. 或 10. 有10道不同的菜品，其中荤菜6道，素菜4道，现要搭配成一套3道菜的套餐，要求荤菜2道、素菜1道，则所有不同的搭配方案的种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 11. 如图所示，在平行四边形中，，，，则（ ） A. 7 B. C. 2 D. 10 12. 下列各组函数中，为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 13. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 14. 在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，则含项的系数为（ ） A. 45 B. 252 C. 210 D. 120 15. 已知函数的图像过点，则函数的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 16. 一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半，则第10次着地时，小球所经过的路程之和为（参考数据：，）（ ） A. 199.8米 B. 299.6米 C. 166.9米 D. 266.9米 17. 现有甲、乙、丙3名志愿者被随机分到，两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙不在同一个岗位服务的概率为（ ） A. B. C. D. 18. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 19. 已知函数，表示与的较小值.若，，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 20. 如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的模线上. 21. 已知向量，，且，则________. 22. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则________. 23. 已知一个直三棱柱的三视图及有关尺寸如图所示，则此三棱柱的表面积为________. 24. 某中等职业学校一年级有学生1600名，二年级有学生1200名，设三年级有学生名，为了解学生们在校学习生活情况，现采用分层抽样方法，从三个年级的学生中随机抽取200名进行访谈.若从一年级抽取的人数是80，则________. 25. 已知椭圆的中心为原点，焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，若，的周长为6，则的面积为________. 三、解答题：本大题5个小题，共40分. 26. 已知函数，且. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 27. 在数列中，通项是项数的一次函数，且，. （1）求的通项公式，并求； （2）若，求数列的前20项和. 28. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且平面平面. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积. 29. 已知在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点，且点的横坐标为. （1）求的值； （2）若将角的终边绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 30. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若抛物线的焦点与椭圆上的点关于轴上的某点对称，求过抛物线的焦点且斜率为2的直线被抛物线截得的弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $