2026年内蒙古中考数学核心素养培优综合卷（三）

**基本信息** 内蒙古2026年中考数学核心素养培优综合卷（三）以地域文化情境（蒙古包骨架、草原羊圈）设计原创试题，融合几何作图、函数应用与探究性问题，凸显几何直观、推理能力及应用意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4/20|几何作图（角平分线）、平行四边形性质、反比例函数图象性质|结合尺规作图考查空间观念，函数题分层设置参数讨论| |填空题|4/20|正六边形与圆锥底面半径、菱形面积计算、反比例函数与三角形面积|原创题融入蒙古包、羊圈等地域场景，考查模型意识| |解答题|3/60|圆的切线证明与计算、旋转线段关系探究、菱形旋转综合|注重多问递进（如切线证明-等腰三角形判定-长度计算），体现从特殊到一般的探究思维|

内蒙古2026年中考数学核心素养培优综合卷（三） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题只有一项是符合要求的。 1.如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧两弧半径相等交于点，作射线，交边于点，过点作，垂足为，的延长线交边于点，交过点平行于的直线于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意可得：， 由作图可知， ， ， ，  在和中， ≌， ， ， ， ∽， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 首先根据勾股定理求出的长，再根据作图可知平分，证≌，求出和的长，然后利用平行线证明∽，求出的长及与的关系，最后利用勾股定理求出，即可得答案． 本题考查垂径定理，正确进行计算是解题关键． 2.如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径作弧，交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：过点作交延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ∽， ，即， ， ， 解得， 故选：． 3.若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 【答案】C  【解析】解：， 函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ，且， ，两点不在同一象限， 点在第二象限，点在第四象限， ， 解不等式组得． 故选：． 先根据的符号判断函数图象位置和增减性，再结合判断两点位置，列不等式组即可求解的取值范围； 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 4.已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B  【解析】解：反比例函数常量， 反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内随的增大而增大， A、当时，三点都在第二象限，则，原说法错误，不符合题意； B、当时，，在第二象限，在第四象限，，原说法正确，符合题意； C、当时，在第二象限，，在第四象限，原说法错误，不符合题意； D、当时，，，三点都在第四象限，，原说法错误，不符合题意； 故选：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 5.（原创试题）如图，在边长为的正六边形蒙古包骨架中，牧民以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的毡布罩，则这个圆锥的底面半径为        ． 【答案】  【解析】解：如图，过点作，垂足为，则， ，， ， ， ， ， 设这个圆锥的底面半径为， ， 解得． 故答案为：． 根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，弧长的计算，正确进行计算是解题关键． 6.（原创试题）如图，在边长为10（单位：米）的菱形草原羊圈 ABCD 中，两条对角线 AC、BD 是羊圈的围栏中线，相交于中心点 O。点 E 位于羊圈外 BC 边的牧道延长线上，牧民牵羊的绳索 OE 与 CD 边的围栏交于点 F。若，，则这个菱形羊圈的占地面积为__________。 【答案】  【解析】解：四边形是边长为的菱形，对角线，相交于点，如图，作交于点，则∽， ，，，， ，， ， ，， ∽， ， ， 四边形是菱形，且， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，， ， 故答案为：． 作交于点，则∽，求得，再证明∽，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 7.如图，点和点在反比例函数的图象上，连接，若，且，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，   ， ，， ， ≌， ，， 由条件可知，， ， ，在反比例函数的图象上， ， 解得：或舍去， ． 故答案为：． 过点作轴于点，过点作于点，证明≌，进而根据全等三角形的性质得出，，根据点，进而得出，根据点，在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 8.函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． 当时，则； 若方程有两根，则； 点，是抛物线上不同于，的两个点，当时，； 函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的序号是 ______． 【答案】  【解析】解：函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中，  函数对称轴为，，  ，，  函数可化为，  该函数顶点坐标为，其中，  ，  ；  分析：  时，，  ，  ，成立，故结论成立；  分析：  ，  ，可化为，  ，即，，  ，要使得该方程有两个根，则，  ，故结论不成立；  分析：  ，表示点到点的距离，，表示点到点的距离，  ，  或，综合函数图象特点，  ，故结论成立；  分析：  ，则图象恒过点，  对函数，  当时，，  显然不一定恒大于，  函数的图象与的函数图象不一定总有两个不同交点，  故结论不一定成立；  综上所述，结论成立．  故答案为：． 由题目条件可以推断出，，根据图象特征，利用数形结合，函数思想，再对每个问题逐一分析解决． 本题考查了学生对二次函数图象与系数的关系，并要求学生能根据所给条件，综合分析问题，所涉及的思想有函数思想、数形结合等，综合性很强． 三、解答题：本题共3小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证：是的切线； 求证：是等腰三角形； 若，，求的长． 【答案】证明：连接，如图， 是的中点，是的中点， ， ， ， ， 为的直径， ， 即， ， ， 是半径， 是的切线； 证明：点是的中点，，即， ， ， 四边形内接于， ， ， 是等腰三角形； 解：连接，如图， ，， ∽， ，即， ，， ； 在中，由勾股定理得， 即， 解得，则， 是圆的直径， ， ，即． 解得．  【解析】连接，点是的中点，是的中点，即有，，即可得到根据为的直径，有，即，，则有，可知是的切线； 根据点是的中点，是的中点，可知，根据四边形内接于，可知，即有，结论得证； 先证得∽，则有，可解得，；在中，由勾股定理可得，解得，在和中，利用勾股定理来求即可． 本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，证得是圆的切线是解答本题的关键． 10.本小题分 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点不与端点重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 猜想求解：如图，若，，求的度数； 拓展延伸： 如图，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：； 如图，点是的中点，点是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． 【解析】解：，，  是等边三角形，  ，  由旋转得，  ，  ；  证明：如图，连接，   ，，  ，  由旋转知，，  ，  即，  ，  ≌，  ，，  ，  ，    ，  ，  ，  ≌，  ，；  解：，理由如下：  连接，  点是的中点，，  ，  ，  ，  ，即  点是的中点，，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ，  即，  ． 先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案；  连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明≌，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明≌，即可得出答案；  连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键． 11.本小题分 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中的线段的数量关系开展探究如图，菱形与菱形，点、分别在边、上． 如图，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接、、，当点、点和点共线时． 与全等吗？为什么？ 请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 如图，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，，延长交于点，连接请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【解析】解：≌． 理由：四边形和四边形是菱形， ，． ， ， ， ≌． ． 理由：连接，交于点． 四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ≌， ． ， ． ． 理由：在上截取，连接． 四边形和是菱形， ，， ， ， ≌， ． ，， ≌， ，， ， ， 过点作，垂足为． ，． 在中，， ， ． ， ． 通过边角边易证≌； 连接，交于点解三角形，即可得解； 在上截取，连接，先证≌，再证≌，再通过特殊角换边即可． 本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2026年中考数学核心素养培优综合卷（三） 1． 双向细目表 题号 题型 考点 难度 1 选择题 角平分线尺规作图、相似三角形判定与性质、坐标法综合应用 较难 2 选择题 平行四边形性质、角平分线尺规作图、相似三角形判定与性质 较难 3 选择题 反比例函数图象与性质（增减性、点坐标特征） 中等 4 选择题 反比例函数图象与性质（增减性、象限分布） 较难 5 填空题 正六边形性质、弧长公式、圆锥侧面展开图与底面圆关系 中等 6 填空题 菱形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理、面积计算 难 7 填空题 反比例函数图象与性质、全等三角形、等腰直角三角形性质 较难 8 填空题 二次函数图象与性质、顶点式、对称性、函数值比较 难 9 解答题 圆的切线判定、等腰三角形判定、相似三角形、勾股定理综合 难 10 解答题 旋转的性质、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线 难 11 解答题 菱形性质、旋转的性质、全等三角形、线段数量关系探究 难 2． 试卷分析 本套试卷为初三数学培优专用，聚焦中考核心难点，适配学科网命题大赛要求。 1.内容聚焦：以几何综合（尺规作图、相似、圆、旋转）和函数综合（反比例、二次函数）为主，覆盖九年级核心考点，贴合中考培优方向。 2.难度梯度：由中等难度题目过渡到难题，区分度明显，能有效选拔尖子生的综合解题能力。 3.情境创新：部分题目融入内蒙古草原特色情境（如蒙古包骨架、草原羊圈），既保留原题严谨性，又体现地域特色，符合原创命题要求。 4.能力导向：注重考查逻辑推理、几何建模和综合探究能力，与中考命题趋势高度契合。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2026年中考数学核心素养培优综合卷（三） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题只有一项是符合要求的。 1.如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧两弧半径相等交于点，作射线，交边于点，过点作，垂足为，的延长线交边于点，交过点平行于的直线于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径作弧，交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为(    ) A. B. C. D. 3.若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 4.已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第1题图 第2题图 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 5.（原创试题）如图，在边长为的正六边形蒙古包骨架中，牧民以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的毡布罩，则这个圆锥的底面半径为        ． 6.（原创试题）如图，在边长为10（单位：米）的菱形草原羊圈 ABCD 中，两条对角线 AC、BD 是羊圈的围栏中线，相交于中心点 O。点 E 位于羊圈外 BC 边的牧道延长线上，牧民牵羊的绳索 OE 与 CD 边的围栏交于点 F。若，，则这个菱形羊圈的占地面积为__________。 7.如图，点和点在反比例函数的图象上，连接，若，且，则的值为        ． 第5题图 第6题图 第7题图 8.函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． 当时，则； 若方程有两根，则； 点，是抛物线上不同于，的两个点，当时，； 函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的序号是 ______． 三、解答题：本题共3小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证：是的切线； 求证：是等腰三角形； 若，，求的长． 10. 本小题分综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点不与端点重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 猜想求解：如图，若，，求的度数； 拓展延伸： 如图，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：； 如图，点是的中点，点是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． 11.本小题分从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中的线段的数量关系开展探究如图，菱形与菱形，点、分别在边、上． 如图，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接、、，当点、点和点共线时． 与全等吗？为什么？ 请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 如图，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，，延长交于点，连接请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $