9.2.3总体集中趋势的估计课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 9.2.3 总体集中趋势的估计 学习目标 学习目标 核心素养 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（如众数、中位数、平均数）. 数学运算 2.理解集中趋势参数的统计含义. 数学抽象 复习回顾 平均数、中位数、众数的概念 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 问题：以下是一支足球队运动员的身高： 183cm 182cm 178cm 182cm 183cm 177cm 185cm 170cm 174cm 176cm 183cm 运动员身高的平均数、中位数、众数是什么？这些统计量刻画了数据的什么特点？ 平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，这小节我们将进一步了解这些量的意义，通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势. 探索新知 探索新知 探索新知 思考：小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数.但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77，请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大?你能解释其中的原因吗? 通过简单计算可以发现，平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.6t.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变;但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。因此，与中位数比较，平均数反映出祥本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感. 探索新知 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在图中的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系? 单峰对称 右拖尾 左拖尾 平均数大于中位数 平均数≈中位数 平均数小于中位数 结论：平均数总是在“长尾巴”那边 探索新知 探索新知 解:为了更直观地观察数据的特征，用条形图表示表中的数据. 由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理. 可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高， 所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适. 探索新知 归纳总结 众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.对极端值也不敏感. 对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数； 对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数. 探索新知 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布. 探索新知 样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和.所以样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大. 探索新知 根据中位数的意义，在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数. 与根据原始数据求得的中位数6.6相差不大. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. 因此中位数落在区间[4.2,7.2)内 设中位数是x，则 探索新知 在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值. 众数常用在描述分类型数据中，众数5.7让我们知道月均用水量在区间[4.2，7.2)的居民用户最多. 即 探索新知 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 （1）众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． （2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与 x 轴交点的横坐标称为中位数． （3）平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 课堂小结 总体集中趋势的估计 统计量 平均数、中位数、众数的区别与联系 平均数、中位数、众数在频率分布直方图中的计算 平均数、中位数、众数 课堂检测 D 课堂检测 C 课堂检测 3、如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图,估计这批产品的中位数为 　　　 　.  22.5 mm 解析:由频率分布直方图得0.02×5+0.04×5=0.3<0.5, 0.3+0.08×5=0.7>0.5. 所以中位数应在[20,25)内, 设中位数为x, 则0.3+(x-20)×0.08=0.5, 解得x=22.5. 所以这批产品的中位数是22.5 mm. 课堂检测 4.已知四个数1,2,4,a的平均数为4,则这四个数的中位数是　　　　.  3 课堂检测 5、某网站对某促销活动期间的10 000名网络购物者的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. ①求频率分布直方图中的a的值; 解:①由题意可知, 0.02+0.08+0.15+0.2+0.25+0.1×a=1, 解得a=3. 课堂检测 ②估计这10 000名网络购物者在该促销活动期间消费金额的中位数和平均数.(保留小数点后三位) 课后作业 课本第xx页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 平均数:数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为 =. 中位数:一般地,如果一组数据有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称xn+1为这组数据的中位数. 如果一组数据有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称为这组数据的中位数. 众数:一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现的次数最多的数据称为这组数据的众数. 1.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为 ，小华调查的样本量为100，平均数为 .则下列说法正确的是( ) A.小明抽样的样本容量更大，所以 更接近总体平均数 B.小华使用的抽样方法更好，所以 更接近总体平均数 C.将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数 D.样本平均数具有随机性，以上说法均不对 解析:由题意,=4,解得a=9,故中位数为=3. 解:②设中位数为t,则1.5×0.1+2.5×0.1+(t-0.5)×3=0.5, 解得t≈0.533. 平均数=0.35×0.15+0.45×0.25+0.55×0.3+0.65×0.2+ 0.75×0.08+0.85×0.02=0.537. $