精品解析：湖南省2026年普通高等学校高三年级学生下学期考前预测数学试卷(对口)（调研卷）

湖南省2026年普通高等学校高三年级学生第三次阶段调研数学 本调研卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本调研卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目. 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本调研卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 3．本调研卷共4页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4．考试结束后，将本调研卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，为奇函数且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若，则数列的前项和取到最小值时，（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一入射光线过点，经过轴反射后的反射光线过点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知两条直线和均与圆相切，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（ ） ①；②；③平面；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知等比数列中的各项均为负数，且，则______． 12. 把函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，可以得到函数_______的图像． 13. 的展开式中的常数项是______． 14. 已知，则______． 15. 某学校为了评估在校学生的生长发育及健康状况，从全校学生中随机抽取了80名学生测量身高，根据测量的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，则抽取的80名学生中身高在（单位：cm）内的人数为______． 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 17. 某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，现从其加工的一批零件中随机抽取3个零件进行质量检测，记抽到的合格品个数为． （1）求随机变量的分布列； （2）求抽到的合格品个数不少于2的概率，以及的数学期望和方差． 18. 如图所示，在正四棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求正四棱柱的体积． 19. 已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 20. 已知数列为等差数列，公差，数列为等比数列，公比且，，， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并指出是否有最大值或最小值，请说明理由． 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21. 已知复数，的三边，，满足，，． （1）求，，的值； （2）求的面积． 22. 某学校的手工社团为了支持市域文旅活动，准备制作一批文创产品．经过测算，制作这批文创产品需要两种不同规格的贴片，其中大贴片需要40片，小贴片需要100片．为了减少开支，社团采购了甲、乙两种型号的专用裁剪卡纸用来裁剪出制作这批文创产品所需要的大、小贴片，每张卡纸可同时裁剪出的大、小贴片数量见下表： 卡纸类型 数量/片 大贴片 小贴片 甲型卡纸 2 6 乙型卡纸 1 2 已知甲型卡纸每张40元，乙型卡纸每张16元，社团购买甲、乙两种型号的卡纸各多少张，可使购买卡纸所用的资金最少？最少资金是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年普通高等学校高三年级学生第三次阶段调研数学 本调研卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本调研卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目. 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本调研卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 3．本调研卷共4页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4．考试结束后，将本调研卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的定义求解即可. 【详解】因为在全集中去掉集合中的三个元素后余下2和3， 所以． 故选：B． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义及指数函数的性质判断. 【详解】指数函数在上单调递增， 则． 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 3. 下列函数中，为奇函数且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及常见函数的单调性判断. 【详解】选项A：对于一次函数，一次项系数，可知在上是减函数，故A错误； 选项B：在上单调递增，在上单调递减， 则在上不是单调递增函数，故B错误； 选项C：函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 选项D：设，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数， 因为在区间上均为增函数， 所以在区间上为增函数，故D正确， 故选：D. 4. 如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 综上，． 故选：D． 5. 已知，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限角三角函数的符号，结合已知三角函数值求角即可求解. 【详解】因为，所以为第三象限角或第四象限角． 又因为，所以第三象限角或第四象限角． 故选：C． 6. 若，则数列的前项和取到最小值时，（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】先判断数列为等差数列，再根据数列性质确定前项和取最小值时的值. 【详解】因为， 且， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 因为该数列首项为负，且递增， 由得，所以取． 故选：B． 7. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，结合向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，， 所以，解得，即 又因为 ， 所以 ． 故选：B． 8. 已知一入射光线过点，经过轴反射后的反射光线过点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，入射光线与反射光线所在直线的倾斜角互补，由此求出反射光线的斜率，然后由点斜式方程得出结果. 【详解】设入射光线经过轴上的点， 由题意，入射光线与反射光线所在直线的倾斜角互补，则, 则，解得． 因此，反射光线的斜率， 故反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 9. 已知两条直线和均与圆相切，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两条平行直线和之间的距离，从而可得圆的半径，进而计算圆的面积即可. 【详解】和的斜率均为1，在轴上的截距分别为，所以两直线平行. 因为两条平行直线和之间的距离， 由题意，圆的半径， 所以圆的面积． 故选：C． 10. 在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（ ） ①；②；③平面；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理判断①，由线面平行判断③，由正三角形的三线合一判断④即可. 【详解】对于①，若，因为， 且，平面， 所以平面，而平面， 于是有，与已知矛盾，所以①错误， 对于②，显然错误， 对于③，因为， 且平面，平面， 所以平面，所以③正确， 对于④，由于点是的中点， 为正三角形，所以，即④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知等比数列中的各项均为负数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质即可求解. 【详解】因为等比数列中，，又各项均为负数，所以． 故答案为：. 12. 把函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，可以得到函数_______的图像． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像平移的规律即可求解. 【详解】把函数的图像上所有点向右平移个单位长度，需要把替换成， 可以得到函数，即的图像． 故答案为： 13. 的展开式中的常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合令的指数为零即可求解. 【详解】由题意得，，令，解得， 则所求常数项为． 故答案为：. 14. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式，结合二倍角的正弦公式，同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，则， 所以． 故答案为：. 15. 某学校为了评估在校学生的生长发育及健康状况，从全校学生中随机抽取了80名学生测量身高，根据测量的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，则抽取的80名学生中身高在（单位：cm）内的人数为______． 【答案】 【解析】 【详解】根据频率分布直方图即可求解. 【分析】因为身高在内的频率为， 所以身高在内的人数为（人）． 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及双曲线过点列方程求解即可. （2）联立两方程，根据判别式为0求解即可. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为， 则，． 因为点在双曲线上， 所以，解得，． 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由得， 所以． 解得． 因此，实数的值为或． 17. 某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，现从其加工的一批零件中随机抽取3个零件进行质量检测，记抽到的合格品个数为． （1）求随机变量的分布列； （2）求抽到的合格品个数不少于2的概率，以及的数学期望和方差． 【答案】（1）分布列见解析 （2），数学期望为2，方差为 【解析】 【分析】（1）根据二项分布，计算的每个取值对应的概率，得出分布列； （2）根据分布列及二项分布的数学期望和方差公式求解. 【小问1详解】 某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，不合格的概率为， 由题意可知，随机变量服从二项分布， 的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，． 故的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】抽到的合格品个数不少于2的概率为， 随机变量服从二项分布， 则的数学期望，的方差． 18. 如图所示，在正四棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求正四棱柱的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判断与性质证明； （2）根据棱柱的体积公式求解． 【小问1详解】 因为平面，平面，所以． 在正方形中，． 又因为，， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以． 在中，． 在中，，， 所以． 因此，正四棱柱的体积． 19. 已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域、复合函数的值域求解即可. （2）根据（1）问的值域以及对数函数的定义域列不等式求解即可. 【小问1详解】 由，得． 故函数的定义域为． 因为， 而， 所以当时，函数有最大值． 因此，函数的值域为． 【小问2详解】 因为关于的方程有实数解， 所以， 即有，解得． 因此，实数的取值范围是． 20. 已知数列为等差数列，公差，数列为等比数列，公比且，，， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并指出是否有最大值或最小值，请说明理由． 【答案】（1） （2）最小值为1，无最大值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式列出方程组求解数列和的通项公式， （2）利用错位相减法求数列的前项和，最后根据的表达式判断其最值情况. 【小问1详解】 由，得， 由可得， 将其代入中，得， 即，即，解得或， 又因为且，所以， 将代入，可得， 又， 因此，数列的通项公式为，即； 数列的通项公式为，即． 【小问2详解】 因为， 所以 ， 两式相减，得 ， 所以， 由于，即， 所以无最大值，但有最小值． 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21. 已知复数，的三边，，满足，，． （1）求，，的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的模的概念求值即可. （2）根据余弦定理求出，再由同角三角函数关系求出，最后由三角形面积公式求值即可. 【小问1详解】 复数，，则， ， ， . 【小问2详解】 在中， 由余弦定理得， 而，所以． 因此，的面积. 22. 某学校的手工社团为了支持市域文旅活动，准备制作一批文创产品．经过测算，制作这批文创产品需要两种不同规格的贴片，其中大贴片需要40片，小贴片需要100片．为了减少开支，社团采购了甲、乙两种型号的专用裁剪卡纸用来裁剪出制作这批文创产品所需要的大、小贴片，每张卡纸可同时裁剪出的大、小贴片数量见下表： 卡纸类型 数量/片 大贴片 小贴片 甲型卡纸 2 6 乙型卡纸 1 2 已知甲型卡纸每张40元，乙型卡纸每张16元，社团购买甲、乙两种型号的卡纸各多少张，可使购买卡纸所用的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】购买甲型卡纸10张，购买乙型卡纸20张，可使购买卡纸所用资金最少，最少资金数为720元 【解析】 【分析】根据题意，用线性规划的方法即可求解. 【详解】设购买甲型卡纸张，购买乙型卡纸张，购买卡纸所用资金为元，则和满足 总目标资金函数：． 作出可行域如图所示： 由得， 即交点为， 作等值线，并平移等值线， 当直线经过可行域中的点为时，目标函数取到最小值． 即当时，有最小值（元）． 则购买甲型卡纸10张，购买乙型卡纸20张，可使购买卡纸所用资金最少，最少资金数为720元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $