河北武强中学2025-2026学年高三下学期4月综合素质监测数学试题

2025-2026学年高三下学期4月综合素质监测数学试题

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

 

第一部分（选择题 共58分）

一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数z＝i+i2+2i3，则|z|＝（　　）

A． B．2 C． D．

2．已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|x＞2}，则A∪B＝（　　）

A．（0，2） B．（0，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）

3．抛物线x2＝ay的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为（　　）

A．1 B． C． D．2

4．已知单位向量，，满足，则与的夹角为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°

5．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S9＝S3+S6，且，则正整数k的值为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12

6．已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α＝2kπ+β”是“cosα＝cosβ”的（　　）

A．充分而不必要条件 

B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 

D．既不充分也不必要条件

7．已知函数，定义域为R的函数g（x）满足g（﹣x）+g（x）＝6，若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有四个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12

8．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展．椭圆的两条切线互相

垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）与椭圆的蒙日圆有且仅有两个公共点，则r的取值范围是（　　）

A．（3，+∞） B．（0，7） C．（3，7） D．（7，+∞）

二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．已知m＞0，n＜0，C（x，y）是曲线上的任意一点，若|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的值与x，y无关，则（　　）

A．m的取值范围为 

B．n的取值范围为 

C．|x﹣y+3|的最大值为7 

D．|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的最小值为

10．下列说法正确的是（　　）

A．数据1，2，5，7，8，9，11，15的上四分位数是10 

B．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则数据x1，x2，…，xn，与原数据的极差、平均数都相同 

C．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差             

D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组

11．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（　　）

A．AB与PF所成角为 

B．该二十四等边体的体积为 

C．该二十四等边体外接球的表面积为8π 

D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为

 

第二部分（非选择题 共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．已知随机事件A，B满足，则P（A+B）＝ 　                 　 ．

13．在双曲线中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x、y轴上的截距分别为p、q，双曲线C的离心率为2，则　     　 ．

14．已知数列{an}是有无穷项的等差数列，a1≥0，公差d＞0，若满足条件：①38是数列{an}的项；②对任意的正整数m，n（m≠n），都存在正整数k，使得aman＝ak．则满足这样的数列的个数是 　     　 种．

 

四．解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2+c2﹣bc．

（1）求角A的大小；

（2）若b+c＝4，△ABC的面积为，求a的值．

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，，PA＝2，AB⊥BC，N为PD的中点．

（1）求证：AN∥平面PBC；

（2）求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值；

（3）点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为，求点M到平面PCD的距离．

17．为提高学生的身体素质，某学校每天免费给学生提供水果和牛奶两种营养餐，且每人每天只能选择其中一种．经过统计分析发现：学生第一天选择水果和牛奶的概率均为.若前一天选择水果则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；若前一天选择牛奶则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复．

（1）求某同学第n天选择水果的概率Pn；

（2）若某同学累计n次选择水果时共花了Xn天，求E（Xn）；

（3）若某同学累计n次选择牛奶时共花了Yn天，求E（Yn）．

18．已知椭圆的右焦点为F，过N（2，0）的直线l与C交于A，B两点．

（1）若点M为C上一动点，求|MF|+|MN|的最大值与最小值；

（2）若，求l的斜率；