考点2 测量误差概述《工程测量基本技能》江苏省（职教高考）建筑类 知识点讲解

江苏省建筑职教高考《工程测量基本技能》复习讲义 模块1 测量基本知识 单元8 测量误差概述 【考纲要求】 1.了解测量误差的来源、分类、特性。 2.了解测量精度的三个指标：中误差、相对中误差、极限误差（允许误差）。 【知识网络】 【知识和技能要点】 考点一、测量误差的来源、分类及特性 一、测量误差的来源 测量误差是指测量结果与被测量的真值之间的差值，其产生的原因主要来源于三个方面，三者相互关联、共同影响测量结果的准确性，缺一不可。 1.测量仪器误差（仪器本身因素） （1）仪器制造误差：由于仪器生产过程中精度不足、结构设计缺陷导致的固有误差，如水准仪视准轴与水准管轴不平行、经纬仪水平度盘偏心、卷尺刻度不均匀等，属于仪器出厂时就存在的误差。 （2）仪器校准误差：仪器使用前未进行规范校准，或校准方法不当，导致仪器精度偏离标准，产生系统性偏差。 （3）仪器使用损耗误差：仪器长期使用过程中，零部件磨损、老化，如卷尺刻度磨损、仪器转轴松动等，会加剧误差，降低测量精度。 2.观测者误差（人为操作因素） （1）操作技能误差：观测者操作仪器的熟练程度不足，如瞄准目标时对准偏差、调平仪器不规范，导致观测结果偏差。 （2）读数估读误差：观测者读取仪器刻度时，对最小刻度以下的数值进行估读，因个人判断差异产生的误差，如水准尺毫米数估读偏差。 （3）主观失误误差：观测者粗心大意导致的误差，如记错观测数据、读错刻度（如将12.34m读成123.4m）、漏记观测信息等。 （4）生理条件误差：观测者视觉疲劳、反应速度差异、视力偏差等生理因素，导致操作和读数出现偏差。 3.外界环境误差（环境影响因素） （1）温度误差：环境温度变化导致测量仪器或测量介质形变，如钢尺热胀冷缩、水准管气泡因温度变化偏移，影响测量结果。 （2）气象误差：风力、气压、湿度等气象因素的变化，如风力过大导致仪器晃动、气压变化影响大气折光效果，进而产生误差。 （3）光照误差：光照强度不足或光线反射不均匀，导致观测者瞄准目标困难、读数模糊，产生瞄准和读数误差。 二、测量误差的来源 根据测量误差的性质和特点，可将其分为系统误差、偶然误差和粗差三类，三类误差的产生原因、表现形式、影响方式截然不同，在测量工作中需分别识别和处理。 1.系统误差 （1）定义：在相同的观测条件下，多次观测同一量时，误差的大小和符号保持不变，或按一定规律（如线性、周期性）变化的误差。 （2）产生原因： · 仪器因素：测量仪器的制造缺陷、校准不当、结构偏差； · 方法因素：观测方法不完善、观测流程不规范； · 环境因素：外界环境的固定影响（如固定温度、固定气压）； · 人为因素：观测者的固定操作习惯（如始终偏向某一侧读数）。 （3）常见实例： · 水准仪视准轴倾斜导致每次观测高差存在固定偏差； · 钢尺实际长度与名义长度不符导致距离测量产生线性误差； · 经纬仪度盘偏心导致角度观测偏差。 （4）影响特点：具有累积性，随着观测次数的增加，误差会逐渐累积，对测量结果的影响较大，且误差方向固定或有规律，可提前预判。 2.偶然误差 （1）定义：在相同的观测条件下，多次观测同一量时，误差的大小和符号随机变化，没有固定规律，且无法预先确定的误差。 （2）产生原因： · 人为因素：观测者的微小操作偏差（如瞄准目标时的轻微晃动）、读数时的微小估读差异； · 环境因素：外界环境的随机波动（如微风、温度微小变化、光照瞬间变化）。 （3）常见实例： · 观测者估读水准尺时的毫米数微小偏差； · 风力微小变化导致仪器轻微晃动，产生的瞄准偏差； · 读数时视线瞬间偏移产生的误差。 （4）影响特点：具有随机性，单个误差无规律可循，但大量偶然误差的分布服从正态分布，具有对称性、有界性、抵偿性等特点，不会累积，可通过增加观测次数减小影响。 3.粗差 （1）定义：由于观测者的粗心大意、操作失误或仪器故障等原因造成的超出正常误差范围的巨大误差，又称过失误差，不属于正常测量误差范畴。 （2）产生原因： · 人为失误：读错刻度、记错数据、操作仪器失误（如水准测量未调平仪器、角度观测未对准目标）； · 仪器故障：仪器突然损坏、零部件脱落，导致观测数据异常。 （3）常见实例： · 将12.34m读成123.4m； · 记错观测数据（如将15.68m记为16.58m）； · 水准测量时未调平仪器就进行观测，产生巨大高差偏差。 （4）影响特点：具有偶然性和巨大性，误差绝对值远大于系统误差和偶然误差，会严重歪曲测量结果，导致测量成果失效，必须予以剔除。 三、测量误差的特性 不同类型的测量误差，具有不同的特性，其中偶然误差的特性最为典型，是测量误差分析的核心，系统误差和粗差也有明确的特性区分。 1.系统误差的特性 （1）规律性：误差的大小和符号要么固定不变（如仪器固有偏差），要么按一定的规律变化，常见的规律有线性变化、周期性变化、非线性变化等。 （2）累积性：随着观测次数的增加，误差会逐渐累积，误差总量不断增大，对测量结果的影响越来越显著（如钢尺长度偏差，测量距离越长，误差累积越大）。 （3）可修正性：通过科学方法可消除或显著减弱系统误差的影响，如校准仪器、改进观测方法、引入修正值、更换合格仪器等。 （4）可预判性：由于误差具有规律性，可通过分析误差规律，提前预判误差的大小和方向，为修正误差提供依据。 2.偶然误差的特性（正态分布特性） （1）对称性：绝对值相等、符号相反的误差出现的概率相等，即正误差和负误差的数量大致相等，误差分布以零为中心呈对称分布。 （2）有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过某个限值（即极限误差），超出限值的偶然误差出现的概率极小，可视为异常数据。 （3）抵偿性：当观测次数无限增多时，所有偶然误差的代数和趋近于零，即偶然误差的平均值趋近于零，正、负误差相互抵消。 （4）单峰性：绝对值越小的误差，出现的概率越大；绝对值越大的误差，出现的概率越小，误差分布呈单峰状，以零误差为峰值。 3.粗差的特性 （1）偶然性：粗差的产生是偶然的，无固定规律，多由人为失误或仪器突发故障导致，无法提前预判。 （2）巨大性：粗差的绝对值远大于系统误差和偶然误差，超出正常的误差范围，通常是正常误差的几倍甚至几十倍。 （3）危害性：粗差会严重歪曲测量结果，导致测量成果失效，若不剔除，会影响整个测量工作的准确性和可靠性。 （4）不可修正性：粗差不属于正常测量误差，无法通过修正方法减弱其影响，只能通过剔除含粗差的观测数据、重新观测来消除其影响。 【练习题】 一、单项选择题 1.测量误差产生的主要来源不包括（） A.测量仪器误差 B.观测者误差 C.外界环境误差 D.测量数据整理误差 2.下列属于系统误差的是（） A.观测者估读刻度的微小偏差 B.钢尺热胀冷缩导致的长度偏差 C.风力导致仪器晃动产生的误差 D.读错刻度产生的误差 3.偶然误差的核心特性是（） A.累积性 B.规律性 C.随机性 D.巨大性 4.下列关于系统误差的说法，正确的是（） A.系统误差无法消除 B.系统误差具有抵偿性 C.系统误差的大小和符号固定或按规律变化 D.系统误差由观测者粗心导致 5.粗差的本质是（） A.仪器精度不足导致的误差 B.外界环境变化导致的误差 C.超出正常误差范围的过失误差 D.随机变化的微小误差 6.下列哪种情况会产生偶然误差（） A.水准仪视准轴不平行于水准管轴 B.观测者瞄准目标时的轻微晃动 C.卷尺刻度不均匀 D.记错观测数据 7.系统误差的累积性表现为（） A.误差随观测次数增加而减小 B.误差随观测次数增加而增大 C.误差随机变化，无规律 D.误差代数和趋近于零 8.偶然误差的有界性是指（） A.偶然误差的绝对值不会超过某个限值 B.偶然误差的符号固定 C.偶然误差的代数和为零 D.偶然误差的绝对值越小，出现概率越大 9.下列哪种方法不能消除系统误差（） A.校准仪器 B.改进观测方法 C.增加观测次数 D.引入修正值 10.测量工作中，发现粗差后应采取的措施是（） A.忽略该误差 B.修正该误差 C.剔除观测数据，重新观测 D.增加观测次数抵消误差 二、多项选择题 1.测量误差的来源包括（） A.测量仪器误差 B.观测者误差 C.外界环境误差 D.测量目的误差 2.下列属于偶然误差特性的有（） A.对称性 B.有界性 C.抵偿性 D.累积性 3.系统误差的产生原因可能是（） A.仪器制造缺陷 B.观测方法不完善 C.外界环境固定影响 D.观测者粗心 4.关于粗差的说法，正确的有（） A.粗差又称过失误差 B.粗差的绝对值远大于正常误差 C.粗差可通过增加观测次数消除 D.粗差会导致测量成果失效 5.下列误差中，属于系统误差的有（） A.经纬仪水平度盘偏心误差 B.观测者估读误差 C.钢尺名义长度与实际长度偏差 D.风力导致的仪器晃动误差 三、填空题 1.测量误差是指测量结果与被测量的________之间的差值。 2.测量误差按性质可分为系统误差、________和粗差三类。 3.系统误差在相同观测条件下，误差的大小和符号保持不变或按________变化。 4.偶然误差的分布服从________分布，具有对称性、有界性、抵偿性和单峰性。 5.当观测次数无限增多时，所有偶然误差的________趋近于零。 6.粗差是超出正常误差范围的________，又称过失误差。 7.外界环境误差主要由温度、湿度、________、风力等因素引起。 8.系统误差具有________，会随着观测次数的增加而逐渐累积。 9.消除或减弱系统误差的方法包括校准仪器、改进观测方法和引入________。 10.偶然误差的________特性是指绝对值越小的误差，出现的概率越大。 四、简答题 1.简述测量误差的三个主要来源，并各举一个实例。 2.系统误差和偶然误差的核心区别是什么?如何分别减小两者对测量结果的影响? 3.简述偶然误差的四个基本特性，并简要解释每个特性的含义。 4.什么是粗差?粗差与系统误差、偶然误差的主要区别是什么?发现粗差后应如何处理? 5.为什么说系统误差具有累积性而偶然误差具有抵偿性?这两种特性对测量工作有什么指导意义? 【答案】 一、单项选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.B 7.B 8.A 9.C 10.C 二、多项选择题 1.ABC 2.ABC 3.ABC 4.ABD 5.AC 三、填空题 1.真值 2.偶然误差 3.一定规律 4.正态 5.代数和 6.巨大误差（过失误差） 7.气压 8.累积性 9.修正值 10.单峰性 四、简答题 1.答：测量误差的三个主要来源及实例： （1）测量仪器误差：由仪器本身缺陷、校准不当等导致，例如水准仪视准轴不平行于水准管轴，导致高差测量偏差； （2）观测者误差：由观测者操作、判断等导致，例如观测者读取水准尺时估读毫米数的偏差； （3）外界环境误差：由自然环境变化导致，例如温度变化使钢尺热胀冷缩，导致长度测量偏差。 2.答：核心区别：系统误差具有规律性（大小、符号固定或按规律变化）和累积性；偶然误差具有随机性（大小、符号随机变化）和抵偿性。 减小影响的方法：系统误差可通过校准仪器、改进观测方法、引入修正值等消除或减弱；偶然误差可通过增加观测次数，利用其抵偿性减小影响。 3.答：偶然误差的四个基本特性及含义： （1）对称性：绝对值相等、符号相反的误差出现概率相等，正、负误差数量大致相同； （2）有界性：一定观测条件下，偶然误差绝对值不会超过某个限值，超限值误差概率极小； （3）抵偿性：观测次数无限增多时，所有偶然误差代数和趋近于零； （4）单峰性：绝对值越小的误差，出现概率越大，误差分布以零为中心呈单峰对称。 4.答：粗差：由观测者粗心、操作失误或仪器故障导致的超出正常误差范围的巨大误差，又称过失误差。 主要区别：粗差无规律、绝对值巨大，会严重歪曲测量结果；系统误差有规律、可修正；偶然误差随机、可通过增加观测次数抵消。 处理方法：立即剔除含有粗差的观测数据，查找粗差产生的原因，重新进行观测。 5.答：系统误差累积性：系统误差在相同观测条件下，误差大小和符号固定或按规律变化，每次观测的误差方向一致，随着观测次数增加，误差会不断累积，影响越来越大； 偶然误差抵偿性：偶然误差随机变化，正、负误差出现概率相等，观测次数越多，正、负误差相互抵消，代数和趋近于零。 指导意义：测量工作中，需优先消除或减弱系统误差，避免误差累积；对于偶然误差，可通过增加观测次数提高测量精度。 考点二、测量精度的标准 1、 测量精度的定义 测量精度是指测量结果与被测量真值的接近程度，反映了测量误差的大小。 1.核心内涵：精度与误差呈反比关系，精度越高，测量误差越小；精度越低，测量误差越大，精度是衡量测量成果可靠性的核心指标。 2.精度与误差的区别：误差是测量结果与真值的差值（具体数值），精度是误差的综合反映（程度描述），两者不可混淆，例如“误差小”等价于“精度高”。 3.精度的量化需求：单纯用“高”“低”描述精度不够严谨，需通过具体的精度指标（中误差、相对中误差、极限误差）量化，便于对比和规范。 二、中误差（均方误差） 中误差是衡量偶然误差离散程度的核心指标，也是最常用的精度指标之一。 1.定义：在相同的观测条件下，对同一量进行n次等精度观测，各观测值的真误差（观测值与真值之差）平方和的平均值的平方根，称为中误差，用符号m表示。 2.计算公式（分两种情况） （1）真值已知时：，其中表示各真误差的平方和，表示单个观测值的真误差（，l为观测值，X为真值），n为观测次数。 （2）真值未知时（实际常用）：由于真值X通常无法直接获取，实际工作中常采用算术平均值代替真值，此时用观测值与算术平均值的差值（称为改正数v）代替真误差，计算公式变为，其中为改正数的平方和，n-1为自由度（因算术平均值已利用了n个观测值的信息，损失了1个自由度）。 3.核心特性 （1）离散性反映：中误差的大小直接反映观测值的离散程度，中误差越小，观测值越集中，测量精度越高；反之，精度越低。 （2）统计性：中误差是一个统计量，无法通过单次观测计算得出，需通过多次等精度观测，利用误差或改正数计算。 （3）适用范围：仅适用于等精度观测（即观测条件相同的观测，如同一人、同一仪器、同一环境下的多次观测），不适用于不等精度观测。 （4）量纲特性：中误差的单位与观测值的单位一致（如长度观测中，中误差单位为米、毫米；角度观测中，单位为秒）。 4.注意事项 （1）中误差是衡量偶然误差的指标，对系统误差不敏感，若存在系统误差，需先消除或修正，再计算中误差。 （2）自由度的意义：n-1是为了弥补用算术平均值代替真值带来的偏差，使中误差计算更准确。 三、相对中误差 相对中误差是中误差的相对形式，主要用于衡量长度、距离等具有不同量级观测值的精度。 1.定义 中误差与观测值的算术平均值（或观测值本身）的比值，称为相对中误差，用符号k表示。相对中误差是一个无量纲的比值，通常用分子为1的分数形式表示（如1/5000）。 2.计算公式 ，其中m为中误差，为观测值的算术平均值（对于单次观测，可直接用观测值l代替）；计算结果需化简为分子为1的分数，便于直观对比。 3.核心特性 （1）无量纲性：消除了观测值量级的影响，解决了不同量级观测值无法直接用中误差对比精度的问题。 （2）精度对比性：相对中误差越小，测量精度越高，可直接用于不同量级观测值的精度对比。 （3）适用范围：适用于长度、距离、面积等观测值（量级可变化），不适用于角度、高差等无量纲或量级固定的观测值（角度观测常用中误差直接衡量精度）。 4.实例解析 测量两段距离，第一段距离l1=100m，中误差m1=±0.02m；第二段距离l2=1000m，中误差m2=±0.05m。 （1）直接对比中误差：m1<m2，但由于两段距离量级不同，无法直接判断精度高低； （2）计算相对中误差：k1=0.02/100=1/5000，k2=0.05/1000=1/20000； （3）精度判断：由于k1> k2，说明第二段距离的测量精度更高，体现了相对中误差的对比优势。 四、极限误差（允许误差） 极限误差是判断观测数据是否包含粗差的重要依据，也是规范中规定的测量精度允许范围。 1.定义：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过的最大限值，称为极限误差，又称允许误差，用符号表示。 2.确定依据 （1）理论依据：根据偶然误差的正态分布特性，偶然误差的分布服从正态分布，其概率分布规律为：①误差绝对值小于1倍中误差（Δ<m）的概率约为68.3%；②误差绝对值小于2倍中误差（Δ<2m）的概率约为95.4%；③误差绝对值小于3倍中误差（Δ<3m）的概率约为99.7%。 （2）实际依据：结合测量精度要求，选择合适的倍数作为极限误差，兼顾精度和实用性。 3.常用取值（规范规定） （1）一般测量工作：取2倍中误差作为极限误差，即，此时超出极限误差的偶然误差出现概率仅为4.6%，可视为异常数据； （2）高精度测量工作：取3倍中误差作为极限误差，即，此时超出极限误差的偶然误差出现概率仅为0.3%，精度要求更高； （3）应用原则：超出极限误差的观测值，大概率包含粗差，应予以剔除，重新观测。 4.核心特性 （1）关联性：极限误差由中误差计算得出，与观测条件相关（观测条件越好，中误差越小，极限误差也越小）； （2）实用性：用于判断观测数据的有效性，剔除粗差，保证测量成果的可靠性； （3）量纲特性：极限误差的单位与中误差、观测值的单位一致，与中误差保持量纲统一。 五、三个精度指标的关系 中误差、相对中误差、极限误差三者相互关联，各司其职，共同量化测量精度。 1.中误差：核心基础指标，反映偶然误差的离散程度，是计算相对中误差和极限误差的前提，决定了测量精度的基准； 2.相对中误差：中误差的延伸形式，消除了观测值量级的影响，专门用于不同量级观测值的精度比较，补充了中误差的局限性； 3.极限误差：中误差的应用延伸，基于中误差确定误差限值，用于判断观测数据的有效性，剔除粗差，保障测量成果质量； 4.量纲关联：中误差和极限误差是有量纲的，与观测值单位一致；相对中误差是无量纲的，仅用于精度对比； 5.选用原则：根据观测对象选择合适的指标，角度、高差观测用中误差，长度、距离观测用相对中误差，判断数据有效性用极限误差。 【练习题】 一、单项选择题 1.衡量偶然误差离散程度的核心精度指标是（） A.相对中误差 B.中误差 C.极限误差 D.真误差 2.中误差的计算公式中，表示的是（） A.真误差的和 B.真误差的平方和 C.改正数的平方和 D.观测值的和 3.相对中误差的特点是（） A.有量纲 B.无量纲 C.仅适用于角度观测 D.与观测值量级无关 4.实际测量中，当真值无法获取时，中误差计算采用的是（） A.真误差 B.改正数 C.极限误差 D.相对误差 5.下列关于极限误差的说法，正确的是（） A.极限误差与中误差无关 B.极限误差是偶然误差的最大允许值 C.极限误差一定等于3倍中误差 D.超出极限误差的观测值可保留 6.测量两段距离，l1=50m，m1=±0.01m；l2=500m，m2=±0.05m，两者精度关系为（） A.l1精度更高 B.l2精度更高 C.两者精度相同 D.无法比较 7.中误差的单位与（）一致。 A.观测值单位 B.相对中误差单位 C.极限误差单位 D.真误差单位 8.规范中规定，一般测量工作的极限误差取（） A.1倍中误差 B.2倍中误差 C.3倍中误差 D.4倍中误差 9.相对中误差的计算公式是（） A. B. C. D. 10.下列观测值中，适合用相对中误差衡量精度的是（） A.角度观测值 B.高差观测值 C.距离观测值 D.方位角观测值 二、多项选择题 1.测量精度的三个核心指标包括（） A.中误差 B.相对中误差 C.极限误差 D.真误差 2.关于中误差的说法，正确的有（） A.中误差越小，测量精度越高 B.中误差适用于等精度观测 C.中误差是一个确定的数值，与观测次数无关 D.中误差可通过单次观测计算得出 3.相对中误差的作用包括（） A.消除观测值量级的影响 B.比较不同量级观测值的精度 C.判断观测数据是否包含粗差 D.衡量角度观测的精度 4.极限误差的确定依据包括（） A.偶然误差的正态分布特性 B.中误差的大小 C.测量精度要求 D.观测次数 5.下列关于三个精度指标关系的说法，正确的有（） A.中误差是计算相对中误差和极限误差的基础 B.相对中误差是中误差的相对形式 C.极限误差是中误差的延伸应用 D.三者均有量纲 三、填空题 1.测量精度是指测量结果与被测量________的接近程度。 2.中误差是各真误差的平方和的平均值的________。 3.实际工作中，用算术平均值代替真值时，中误差计算公式中自由度为________。 4.相对中误差是中误差与观测值________的比值，是无量纲的比值。 5.相对中误差通常用________为1的分数形式表示。 6.极限误差又称________，是偶然误差的最大允许限值。 7.偶然误差绝对值小于2倍中误差的概率约为________。 8.精度要求较高的测量工作，极限误差可取________倍中误差。 9.中误差和极限误差是________的，相对中误差是无量纲的。 10.超出________的观测值，大概率包含粗差，应予以剔除。 四、简答题 1.简述中误差的定义、计算公式及核心特性。 2.什么是相对中误差?为什么要引入相对中误差?举例说明其应用场景。 3.极限误差的定义是什么?其确定依据是什么?实际测量中如何利用极限误差判断观测数据的有效性? 4.简述中误差、相对中误差、极限误差三者之间的关系。 5.某段距离进行了5次等精度观测，观测值分别为：125.36m、125.38m、125.35m、125.37m、125.39m，试计算该距离的算术平均值、改正数、中误差及相对中误差。 【答案】 一、单项选择题 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.A 8.B 9.B 10.C 二、多项选择题 1.ABC 2.AB 3.AB 4.ABC 5.ABC 三、填空题 1.真值 2.平方根 3.n-1 4.算术平均值 5.分子 6.允许误差 7.95.4% 8.3 9.有量纲 10.极限误差 四、简答题 1.答：定义：在相同观测条件下，对同一量进行n次等精度观测，各真误差的平方和的平均值的平方根，称为中误差，用m表示。 计算公式：真值已知时，；真值未知时，。 核心特性：①中误差越小，观测值越集中，测量精度越高；②适用于等精度观测；③是统计量，需多次观测计算；④单位与观测值一致。 2.答：相对中误差：中误差与观测值算术平均值的比值，是无量纲的分数，用K表示。 引入原因：中误差是有量纲的，无法直接比较不同量级观测值的精度，相对中误差消除了观测值量级的影响，便于跨量级精度比较。 应用场景：例如，测量100m和1000m两段距离，中误差分别为±0.02m和±0.05m，直接比较中误差无法判断精度，计算相对中误差（1/5000和1/20000），可得出1000m距离测量精度更高。 3.答：定义：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过的最大限值，称为极限误差，又称允许误差。 确定依据：基于偶然误差的正态分布特性，结合测量精度要求确定，常用2倍或3倍中误差作为极限误差。 判断方法：将观测值的真误差（或改正数的绝对值）与极限误差比较，若误差绝对值超过极限误差，说明该观测值大概率包含粗差，应剔除并重新观测；若未超过，则观测值有效。 4.答：三者关系：①中误差是基础，是计算相对中误差和极限误差的前提，反映偶然误差的离散程度；②相对中误差是中误差的相对形式，消除观测值量级影响，用于不同量级观测值的精度比较；③极限误差是基于中误差确定的误差限值，用于判断观测数据有效性，是中误差的延伸；④中误差和极限误差有量纲，相对中误差无量纲，三者共同量化测量精度。 5.答：计算过程： （1）算术平均值 （2）改正数v（v=-l）： v1=125.37-125.36=+0.01m；v2=125.37-125.38=-0.01m；v3=125.37-125.35=+0.02m；v4=125.37-125.37=0m；v5=125.37-125.39=-0.02m （3）改正数平方和 （4）中误差m： （5）相对中误差K： 最终结果：算术平均值125.37m，中误差±0.016m，相对中误差1/7836。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $