第6节　离散型随机变量及其分布列、数字特征课件-2027届高三数学一轮复习

第6节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 课标要求 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）. 3.能计算离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题. 目录/ CONTENTS 考点一 离散型随机变量的分布列 01 考点二 离散型随机变量的均值与方差 02 提能点 均值与方差在决策中的应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 离散型随机变量的分布列 目 录 1. 离散型随机变量 对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之 对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以 ⁠的随机 变量称为离散型随机变量. 2. 离散型随机变量的分布列 一一列举　 （1）定义： 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一 个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列， 简称分布列. 高中总复习·数学 目 录 离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn （2）性质： ①pi≥ ，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝ ⁠. 0　 1　 高中总复习·数学 目 录 （1）设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 4k 0.6 3k k 则P（｜X－2｜≤1）＝（　A　） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.65 解析：依题意，4k＋0.6＋3k＋k＝1，解得k＝0.05，所以P（｜X－ 2｜≤1）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝7k＋0.6＝0.95.故 选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝ ）＝ （k＝1，2，3，4，5），则 实数a的值为 ⁠. 解析：由概率的基本性质知： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝1，解得a＝15. 15 高中总复习·数学 目 录 规律方法 离散型随机变量分布列性质的应用 （1）利用“概率之和为1”可以求相关参数的值； （2）利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和”求某些特定事件的概率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 高中总复习·数学 目 录 练1 若离散型随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P（X＜x）＝0.8时，实数x的取值范围是（　　） A. （－∞，1] B. [1，2] C. （1，2] D. [1，2） √ 高中总复习·数学 目 录 解析：由分布列知，P（X≤1）＝P（X＝－2）＋P（X＝－1）＋P（X＝0）＋P（X＝1）＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，P（X＜2）＝0.8，则当P（X＜x）＝0.8时，1＜x≤2，所以实数x的取值范围是（1，2].故选C. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 离散型随机变量的均值与方差 目 录 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn （1）均值（数学期望）：称E（X）＝ ＝ xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的 ⁠ ⁠； x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　 平均水 平　 高中总复习·数学 目 录 （2）方差：称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋… ＋（xn－E（X））2pn＝ （xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并 称 为随机变量X的 ，记为σ（X），它们都可以度量 随机变量取值与其均值的 ⁠. 标准差　 偏离程度　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；②E（aX＋b）＝aE （X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；③E（X1＋X2）＝E（X1）＋E （X2）；④D（X）＝ pi－（E（X））2＝E（X2）－（E（X）） 2；⑤若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）. （2）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－ p）. 高中总复习·数学 目 录 角度1　均值与方差的性质 随机变量Y的分布列如下表，且E（Y）＝3，则D（3Y－5）＝（　） Y 0 2 a P m A. 10 B. 15 C. 40 D. 45 √ 解析：由题意得 ＋m＋ ＝1，得m＝ ，所以E（Y）＝0× ＋2× ＋ a＝3，解得a＝6，所以D（Y）＝（0－3）2× ＋（2－3）2× ＋ （6－3）2× ＝5，所以D（3Y－5）＝32D（Y）＝9×5＝45，故选D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 计算均值与方差的基本方法 （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接用定义 公式求； （2）已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均 值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求. 高中总复习·数学 目 录 角度2　离散型随机变量的均值与方差 （2026·河北保定模拟）某书店年终为回馈广大书友拟举办“赢书 卡”答题活动.该活动设立两个关卡，分别为A号关卡和B号关卡.若小明 在A号关卡通关率为 ，通关奖励是500元购书卡；在B号关卡通关率为 ，通关奖励是600元购书卡；未通关则无奖励. （1）若书店只允许随机选择一个关卡闯关，求小明通关的概率； 解：设事件M表示小明选择A号关卡并通关，事件N表示小明选择B号关 卡并通关，∴P＝P（M）＋P（N）＝ × ＋ × ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若书店规定在第一关通关后必须连续闯关，通关即可获得对应通关 奖励，第一关通关失败后终止游戏，两关奖励互不影响.小明通过掷骰子 选择闯关的序号，若他掷出的点数小于3，则先选择A号关卡，否则选择B 号关卡，记小明赢得购书卡金额为X元，则X的分布列和数学期望. 解：小明选择A号关卡的概率：P1＝ ，小明选择B号关卡的概率： P2＝ ， 由题意，X的可能取值为0，500，600，1 100， ∴P（X＝0）＝ ×（1－ ）＋ ×（1－ ）＝ ， 高中总复习·数学 目 录 P（X＝500）＝ × ×（1－ ）＝ ， P（X＝600）＝ × ×（1－ ）＝ ， P（X＝1 100）＝ × × ＋ × × ＝ ， X的分布列为 X 0 500 600 1 100 P ​ ​ ​ ​ ∴E（X）＝0× ＋500× ＋600× ＋1 100× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X的所有可能取值； （2）求X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）〔一题多解〕设随机变量X的分布列如下（其中0＜p＜1），D （X）表示X的方差，则当p从0增大到1时（　　） X 0 1 2 P A. D（X）增大 B. D（X）减小 C. D（X）先减后增 D. D（X）先增后减 √ 高中总复习·数学 目 录 解析：法一　由分布列可得E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ＋p，则D（X）＝ （ ＋p）2＋ （ ＋p－1）2＋ （ ＋p－2）2＝－p2＋p＋ ＝－（p－ ）2＋ ，因为0＜p＜1，所以D（X）先增后减，故选D. 法二　E（X）＝ ＋p，E（X2）＝0× ＋1× ＋4× ＝ ＋2p， ∴D（X）＝E（X2）－[E（X）]2＝ ＋2p－（ ＋p）2＝－p2＋p＋ ＝－（p－ ）2＋ ，因为0＜p＜1，所以D（X）先增后减，故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知某校有甲、乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组 成，乙队由4名男生和1名女生组成. ①先从两队中选取一队，选取甲队的概率为 ，选取乙队的概率为 ，再从 该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； ②在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记X为乙队中男 生与女生人数之差，求X的分布列与期望. 高中总复习·数学 目 录 解：①设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男 生”， 则P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜B）＝ × ＋ × ＝ ＋ ＝ . ②从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，X的可能取值为1，3，5， 则P（X＝1）＝ ＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ ＝ ， 高中总复习·数学 目 录 P（X＝5）＝ ＝ ＝ ， 故X的分布列为 X 1 3 5 P ​ ​ ​ 数学期望为E（X）＝1× ＋3× ＋5× ＝3. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 均值与方差在决策中的应用 目 录 （2026·江西南昌模拟）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计 划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经 济形势好，投资有25％的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有10％ 的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案 一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形 势，聘请费用为5 000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则 执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行 该计划. 高中总复习·数学 目 录 根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形 势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好， 咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定， 投资期间经济形势好的概率是40％，经济形势不好的概率是60％. （1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率； 解：记投资期间经济形势好为事件B1，投资期间经济形势不好为事件B2， 投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件A， 则P（B1）＝0.4，P（B2）＝0.6， 因此P（A）＝P（B1A＋B2A）＝0.4×0.8＋0.6×0.3＝0.5. 高中总复习·数学 目 录 （2）根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明 理由. 解：若采取方案一，则该公司获得的利润值X万元的分布列是 X 50 －20 P 0.4 0.6 E（X）＝50×0.4－20×0.6＝8万元； 若采取方案二：设该公司获得的利润值为Y万元，有以下情况， 投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y＝49.5， 其发生的概率为：P（B1A）＝0.4×0.8＝0.32， 投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y＝－1.5， 高中总复习·数学 目 录 其发生的概率为：P（B1 ）＝0.4×0.2＝0.08， 投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y＝－20.5， 其发生的概率为：P（B2A）＝0.6×0.3＝0.18， 投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y＝－1.5， 其发生的概率为：P（B2 ）＝0.6×0.7＝0.42， 因此，随机变量Y的分布列为： Y －20.5 －1.5 49.5 P 0.18 0.5 0.32 因此，E（Y）＝－20.5×0.18－1.5×0.5＋49.5×0.32＝－3.69－0.75 ＋15.84＝11.4万元， 因为E（X）＜E（Y），所以甲公司应该选择方案二. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 用均值、方差进行决策的方法 （1）当均值不同时，直接在均值意义下根据两个随机变量取值的平均水 平，对问题作出判断； （2）若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来 研究随机变量的离散程度或者稳定程度，做出符合实际问题要求的决策 判断. 高中总复习·数学 目 录 练3 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个 球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10 元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. 高中总复习·数学 目 录 解：设顾客所获的奖励额为X（元）. ①由题意，得P（X＝60）＝ ＝ ，即顾客所获的奖励额为60元的概率 为 . ②由题意，得X的所有可能取值为20，60， 则P（X＝60）＝ ，P（X＝20）＝ ＝ ， 高中总复习·数学 目 录 所以X的分布列为 X 20 60 P ​ ​ 因此E（X）＝20× ＋60× ＝40（元）. 高中总复习·数学 目 录 （2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有 面值10元和50元的两种球组成，或由标有面值20元和40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励 额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一种合适的设计， 并说明理由. 解：根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，先寻找期望为60的 可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况， 如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60是面值之和的最大值，所以 数学期望不可能为60； 高中总复习·数学 目 录 如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60是面值之和的最小值，所以 数学期望也不可能为60. 因此可能的方案是（10，10，50，50），记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和 （40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记 为方案2. 对于方案1，设顾客所获的奖励额为X1元，则X1的分布列为 X1 20 60 100 P ​ ​ ​ 高中总复习·数学 目 录 所以E（X1）＝20× ＋60× ＋100× ＝60， D（X1）＝（20－60）2× ＋（60－60）2× ＋（100－60）2× ＝ . 对于方案2，设顾客所获的奖励额为X2元，则X2的分布列为 X2 40 60 80 P ​ ​ ​ 所以E（X2）＝40× ＋60× ＋80× ＝60， D（X2）＝（40－60）2× ＋（60－60）2× ＋（80－60）2× ＝ . 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求， 但方案2的奖励额的方差比方案1的小，故应该选择方案2. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a c 则P（｜X｜＝1）＝（　　） A. B. C. D. 解析：　P（｜X｜＝1）＝a＋c＝1－ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 离散型随机变量ξ的概率分布规律为P（ξ＝n）＝ （n＝1， 2，3），其中a是常数，则P（ ＜ξ＜3）＝（　　） A. B. C. 1 D. 解析：由题知 ＋ ＋ ＝1，解得a＝ ，所以P（ξ＝n）＝ （n＝1，2，3），又P（ ＜ξ＜3）＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝ ＋ ＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4 颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（　　） A. 2.44 B. 3.3 C. 2.4 D. 2.376 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意知ξ所有的取值为0，1，2，3.由题知，该射手对靶射击，每次命中的概率为0.6，所以没有命中的概率为0.4.∵当ξ＝0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，∴P（ξ＝0）＝0.43＝0.064；∵当ξ＝1时，表示前两次都没射中，第三次射中，∴P（ξ＝1）＝0.42× 0.6＝0.096；∵当ξ＝2时，表示第一次没射中，第二次射中，∴P（ξ＝2）＝0.4×0.6＝0.24；∵当ξ＝3时，表示第一次射中，∴P（ξ＝3）＝0.6.∴ξ的数学期望E（ξ）＝0×0.064＋1×0.096＋2×0.24＋3×0.6＝2.376，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 小智参加投篮比赛，比赛规则为投中1次得1分，投不中扣1分.已知小智 投篮的命中率为0.5，记小智投篮3次后的得分为ξ，则D（｜ξ｜）＝ （　　） A. 0.375 B. 0.75 C. 1.5 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意得：ξ的可能取值是－3，3，－1，1，P（ξ＝3）＝P（ξ＝－3）＝0.53＝0.125，P（ξ＝1）＝P（ξ＝－1）＝ 0.53＝3×0.53＝ 0.375，所以｜ξ｜的取值范围是1，3，P（｜ξ｜＝1）＝P（ξ＝1）＋P （ξ＝－1）＝0.375×2＝0.75，P（｜ξ｜＝3）＝P（ξ＝3）＋P（ξ＝－ 3）＝0.125×2＝0.25，｜ξ｜分布列为 ｜ξ｜ 1 3 P 0.75 0.25 故E（｜ξ｜）＝1×0.75＋3×0.25＝1.5，D（｜ξ｜）＝（1－1.5） 2×0.75＋（3－1.5）2×0.25＝0.75.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X －2 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 A. 投资股票A的期望收益较小 B. 投资股票B的期望收益较小 C. 投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D. 投资股票B的风险比投资股票A的风险小 下列说法正确的是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：股票A收益X的期望为E（X）＝－2×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1，方差为D（X）＝（－2－1）2×0.1＋（0－1）2×0.3＋（2－1）2×0.6＝1.8，股票B收益Y的期望为E（Y）＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差为D（Y）＝（0－1）2×0.3＋（1－1）2×0.4＋（2－1）2×0.3＝0.6，所以E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y），投资股票A的期望收益等于投资股票B的期望收益，投资股票B的风险比投资股票A的风险小，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕盒中有3个球，其中1个红球，2个黄球.从盒中随机取球，每次 取1个不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，E（ξ），D（ξ） 分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是 （　　） A. P（ξ＝0）＝ B. E（ξ）＝1 C. E（3ξ＋1）＝3 D. D（3ξ＋1）＝6 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：ξ＝0 表示停止取球时没有取到黄球，所以 P（ξ＝0）＝ ，故A正确；又随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则 P（ξ＝1）＝ × ＝ ，P（ξ＝2）＝ × ＝ ，故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 所以E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝1，故B正确；由E（3ξ＋1）＝3E （ξ）＋1＝3×1＋1＝4，故C错误；D（ξ）＝ ×（0－1）2＋ ×（1－ 1）2＋ ×（2－1）2＝ ，D（3ξ＋1）＝9×D（ξ）＝6，故D正确.故选 A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷 两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机 变量X＝｜m－n｜，则P（X＝1）的值为 ⁠. 解析：连续投掷两次质地均匀的正方体骰子，则总共有6×6＝36种情况， X＝1时，两次投掷点数相差1，共有10种情况，（1，2），（2，1）， （2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4）， （5，6），（6，5），故P（X＝1）＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记 “花”面朝上的概率为p，令随机变量X＝ 则D（2X） ＝ ⁠. 解析：由题知，X服从两点分布，且P（1）＝p，P（0）＝1－p，所以 D（X）＝p（1－p），D（2X）＝4D（X）＝4p（1－p）. 4p（1－p） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2025·全国Ⅰ卷14题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4， 5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1 次的球的个数，则X的数学期望E（X）＝ ⁠. 解析：X的所有取值为1，2，3，X＝1表示3次取同一个数字的球，则P （X＝1）＝ （ ）3＝ ；X＝3表示3次取不同数字的球并排序，则P （X＝3）＝ （ ）3＝ ；X＝2表示3次取2个不同数字的球，其中一个 球取了两次并排序，P（X＝2）＝ ×2×3×（ ）3＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 所以X的分布列为 X 1 2 3 P ​ ​ ​ 所以E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）（2026·湖南长沙模拟）在某人工智能的语音识别系统开发 中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响. （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语 音识别成功的概率为0.6.某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为 0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7，求测试结果为语音识别成功的概率； 解：记事件A是“安静环境”，则 是“嘈杂环境”，记事件B是“语音识别成功”. 所以P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜ ）P（ ）＝0.3×0.9 ＋0.7×0.6＝0.69. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种 测试方案： 方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2 次，则再测试2次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望 值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 解：设每次测试成本固定为a， 设方案一和方案二测试成本分别为X，Y， 方案一：测试4次，则E（X）＝4a； 方案二：Y可取3a，5a， P（Y＝3a）＝0.8×0.8×0.8＝0.512， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 P（Y＝5a）＝1－0.8×0.8×0.8＝0.488， 随机变量Y的分布列如下表所示： Y 3a 5a P 0.512 0.488 所以E（Y）＝3a×0.512＋5a×0.488＝3.976a. 所以E（X）＞E（Y），即方案一测试成本的期望值大于方案二测试成 本的期望值，所以应选择方案二. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 〔知识交汇〕已知随机变量X的分布列如下表，则“E（X）＝ ”是 “D（X）＝ ”的（　　） X 0 1 P a b A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　由分布列可得E（X）＝0×a＋1×b＝b，D（X）＝a（0－ b）2＋b（1－b）2＝ab2＋b（1－b）2＝（1－b）b2＋b（1－b）2＝b （1－b），若E（X）＝ ，则b＝ ，此时D（X）＝b（1－b）＝ ， 故充分性成立；若D（X）＝ ，则b（1－b）＝ ，解得b＝ 或b＝ ， 故必要性不成立，因此“E（X）＝ ”是“D（X）＝ ”的充分不必要 条件，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知 ＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确 的有（　　） X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 A. P（X＝2）的值最大 B. P（X＝0）＜P（X＝1） C. E（X）随p的增大而减小 D. E（X）随p的增大而增大 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：当p＝ 时，P（X＝2）＝ ，P（X＝1）＝1－ ＝ ＞ ，A错误；因为 ＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜ P（X＝1），B正确；E（X）＝1－p＋2p2＝2（p－ ）2＋ ，因为 ＜ p＜1，所以E（X）随p的增大而增大，C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔创新考法〕体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可 发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一 次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E （X）＞1.75，则p的取值范围是 ⁠. 解析：由题意，可得P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝（1－p）·p，P （X＝3）＝（1－p）2·p＋（1－p）3＝（1－p）2，所以期望为E （X）＝1×p＋2（1－p）·p＋3（1－p）2＝p2－3p＋3，令p2－3p＋3 ＞1.75，即4p2－12p＋5＞0，解得p＜ 或p＞ ，又由0＜p＜1，可得p∈ （0， ），即p的取值范围为（0， ）. （0， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·山东滨州模拟）某学校组织“一带一路”有奖知识 竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确 得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得 奖金x元，回答错误得奖金0元.甲同学回答A，B两个问题正确与否相互 独立. （1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解：设甲同学答对问题A的概率为P（A），答对问题B的概率为P（　B　）. 易知P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，又回答A，B两个问题正确与否相互 独立， 所以仅答对其中一个问题的概率为 P＝P（A）[1－P（B）]＋[1－P（A）]P（B）＝0.6×（1－0.5）＋ （1－0.6）×0.5＝0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若 甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值. 解：设甲先回答A问题所获得的奖金总额为X， 则X的所有可能取值为0，10，10＋x. 易知P（X＝0）＝1－0.6＝0.4，P（X＝10）＝0.6×（1－0.5）＝0.3， P（X＝10＋x）＝0.6×0.5＝0.3. 此时期望值为E（X）＝0×0.4＋10×0.3＋（10＋x）×0.3＝6＋0.3x. 设甲先回答B问题所获得的奖金总额为Y， 则Y的所有可能取值为0，x，10＋x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 易知P（Y＝0）＝1－0.5＝0.5，P（Y＝x）＝0.5×（1－0.6）＝0.2， P（Y＝10＋x）＝0.5×0.6＝0.3. 此时期望值为E（Y）＝0×0.5＋0.2x＋（10＋x）×0.3＝3＋0.5x. 由E（X）＝E（Y）可得6＋0.3x＝3＋0.5x， 解得x＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $