第5节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 课标要求 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义；结合古典概 型，利用独立性计算概率，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件 概率. 2.结合古典概型，理解[课标变化：了解→理解]条件概率与独立性的关 系，会利用乘法公式计算概率. 3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 目录/ CONTENTS 考点一 相互独立事件（事件相互独立性的判断） 01 考点二 条件概率 02 考点三 全概率公式 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 相互独立事件（事件 相互独立性的判断） 目 录 1. 概念：设A，B为任意两个事件，若P（AB）＝ ⁠ ，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 2. 性质：若事件A与B相互独立，那么A与 ， 与B， 与 也都相互 独立. 3. 相互独立事件的概率公式的推广：若事件A1，A2，…，An相互独立， 则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）. P（A）·P （B）　 结论： （1）事件A与事件B是互斥事件，则A与B不相互独立； （2）当P（A）＞0时，事件A与B相互独立的充要条件是P（B｜A）＝ P（　B　）. B 高中总复习·数学 目 录 （1）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件N表示“第二次朝上的数 字为偶数”，则下列事件中与事件N相互独立的是（　C　） A. 第二次朝上的数字是奇数 B. 第二次朝上的数字为2 C. 两次朝上的数字之和为9 D. 两次朝上的数字之和为10 C 高中总复习·数学 目 录 解析：抛掷骰子两次，共有6×6＝36个基本事件数，则N＝{（1，2）， （1，4），（1，6），（2，2），（2，4），（2，6），（3，2）， （3，4），（3，6），（4，2），（4，4），（4，6），（5，2）， （5，4），（5，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，共18个基本事 件，则P（N）＝ ＝ ，设事件M为第二次朝上的数字是奇数，则事件 M与事件N是对立事件，故A错误；设事件F为第二次朝上的数字是2，则 F⊆N，故B错误；设事件E为两次朝上的数字之和是9，则E＝{（6，3），（3， 6），（5，4），（4，5）}共4个基本事件，则P（E）＝ ＝ ，且EN＝{（3，6），（5，4）}，则P（EN）＝ ＝ ，P（EN）＝P（N） 高中总复习·数学 目 录 P（E），所以事件E与事件N相互独立，故C正确；设事件Q为两次朝上的数字之和是10，则Q＝{（6，4），（4，6），（5，5）}，则P（Q）＝ ＝ ，且NQ＝{（6，4），（4，6）}，则P（NQ）＝ ＝ ，因为P（NQ）≠P（N）P（Q），所以事件Q与事件N不相互独立，故D错误，故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·四川成都模拟）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场 乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为 ，比赛采取三局两胜制 （当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为 （　B　） A. B. C. D. B 高中总复习·数学 目 录 解析：分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的 概率为： × ＝ ；②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为： （1－ ）× × ＝ ；③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜 的概率为： ×（1－ ）× ＝ .故甲获胜的概率为： ＋ ＋ ＝ ， 故选B. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1.判断两个事件是不是相互独立的方法 （1）直接法：直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概 率； （2）定义法：判断P（AB）＝P（A）P（B）是否成立； （3）转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与 ， 与B， 与 也 相互独立. 高中总复习·数学 目 录 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法 （1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； （2）正面求解较麻烦（如“至多”“至少”问题）或难以入手时，可从 其对立事件入手计算. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·山东菏泽模拟）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红 球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次 在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件A＝“两次均未摸出 红球”，事件B＝“两次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的两个 球中有红球”，事件D＝“第二次摸出的两个球中有白球”，则（　D　） A. A与B相互独立 B. A与C相互独立 C. B与C相互独立 D. C与D相互独立 D 高中总复习·数学 目 录 解析：依题意得P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ 0≠P（A）P（B），故A错误；P（C）＝ ＝ ，P（AC）＝ 0≠P（A）P（C），故B错误；P（BC）＝ ＝ ≠P（B）P（C），故C错误；P（D）＝ ＝ ，P（CD）＝ ＝ ＝P（C）P（D），故D正确.故 选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）投壶是从春秋延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，在晋代开展 的投壶活动中，对投壶的壶又做了改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在 投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”.每一局投壶， 每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分.现 有甲、乙两人进行投壶比赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四 支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率 为 ，投中壶耳的概率为 .四支箭投完，以得分多者为赢.请问乙赢得这局 比赛的概率为（　A　） A. B. C. D. A 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两 类：①第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝ × ＝ ；②第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2 ＝ ×（ ＋ ）＝ ，所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ .故选A. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 条件概率 目 录 1. 概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P （B｜A）＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概 率，简称条件概率. 2. 两个公式：（1）利用古典概型：P（B｜A）＝ ⁠； （2）概率的乘法公式：P（AB）＝ ⁠. 　 　 P（A）P（B｜A）　 高中总复习·数学 目 录 （1）（2025·云南红河三模）广东省第十二届大学生运动会于2025 年5月5日至5月29日在广州市举行.某电视台为了报道此次运动会，计划从 甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道.若记者甲被选 中，则记者乙也被选中的概率为（　D　） A. B. 解析：设“记者甲被选中”为事件A，“记者乙被选中”为事件B，则 “记者甲和记者乙都被选中”为事件AB. 因为n（A）＝4，n（AB）＝ 1，所以P（B｜A）＝ ＝ .故选D. D C. D. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕（2024·天津高考13题）A，B，C，D，E五种活 动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ；已知乙选了 A活动，他再选择B活动的概率为 ⁠. ​ ​ 解析：法一（缩小样本空间法）　从五个活动中选三个的情况有：ABC， ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种 情况，其中甲选到A有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，则甲选到A的概率为：P＝ ＝ ；乙选A活动有6种可能性： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，其中再选择B有3种可能性： 高中总复习·数学 目 录 ABC，ABD，ABE，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 ＝ . 法二（定义法）　甲选到A的概率为P＝ ＝ ； 设乙选到A为事件M， 乙选到B为事件N，乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P（N｜M）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求条件概率的常用方法 （1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝ ； （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n（A），再 在事件A发生的条件下，求事件B包含的样本点数，即n（AB），得P （B｜A）＝ . 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常 工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正 常工作的概率依次是 ， ， ，已知在系统正常工作的前提下，求只有K 和A1正常工作的概率是（　C　） A. B. C. D. C 高中总复习·数学 目 录 解析：设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并 联元件A1，A2能正常工作的概率为1－（1－ ）（1－ ）＝ ，所以P （A）＝ × ＝ ，又因为P（AB）＝P（B）＝ × ×（1－ ）＝ ， 所以P（B｜A）＝ ＝ ，故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知男性中有5％患色盲，女性中有0.25％患色盲，从100个男人和 100个女人中任选一人，设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女 人”为事件B，“任选一人患色盲”为事件C，如果此人患色盲，则此人 是男性的概率为 ⁠. ​ 高中总复习·数学 目 录 解析：此人患色盲的概率P（C）＝P（AC）＋P（BC）＝P（A）P （C｜A）＋P（B）P（C｜B）＝ × ＋ × ＝ .又P （AC）＝P（A）P（C｜A）＝ × ＝ ，∴P（A｜C）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 全概率公式 目 录 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝ Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P （B）＝ .我们称为全概率公式. P（Ai）P（B｜Ai）　 高中总复习·数学 目 录 结论：贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件， A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事 件B⊆Ω，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝ ＝ ，i＝1，2，…，n. 高中总复习·数学 目 录 （2026·湖南长沙模拟）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独 立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知 发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概 率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率 为（　　） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.9 √ 高中总复习·数学 目 录 解析：根据题意，设事件A0为“发送信号0”，事件A1为“发送信号1”，事件B0为“接收信号为0”，事件B1为“接收信号为1”，则P（B0｜A0）＝0.8，P（B1｜A0）＝0.2，P（B0｜A1）＝0.1，P（B1｜A1）＝0.9.设发送信号为1的概率为x，则接收信号为1的概率P＝P（A0）P（B1｜A0）＋P（A1）P（B1｜A1）＝（1－x）×0.2＋x×0.9＝0.76，解得x＝0.8，即发送信号为1的概率为0.8，故选C. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用全概率公式的思路 （1）按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝ 1，2，…，n）； （2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P （B｜Ai）； （3）代入全概率公式计算. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）（2026·江西赣州模拟）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有 2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随 机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球 的概率为（　B　） A. B. C. D. B 高中总复习·数学 目 录 解析：分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球，用事 件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，由题意可知P（A1）＝ ，P （A2）＝ ，P（B｜A1）＝ ＝ ，P（B｜A2）＝ ＝ ，所以P （B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝ × ＋ × ＝ ，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·四川成都模拟）已知某公司男员工与女员工人数比为 3∶1，男员工中有 的人有驾照，女员工中有 的人有驾照，随机从该公司 抽取一名员工，该员工有驾照的概率为 ⁠. 解析：设抽取一名员工为男性为事件A，抽取一名员工有驾照为事件B， 则P（A）＝ ，P（ ）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（B｜ ）＝ ，则 P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝ × ＋ × ＝ ，故从该公司抽取一名员工，该员工有驾照的概率为 . ​ 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B： “出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （　　） A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 解析：因为A＝{2，4，6}，B＝{3，4}，所以A∩B＝{4}，所以P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（AB）＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与事件B是相互独立事件，不是互斥事件，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·湖北襄阳模拟）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示 小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：设事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，那么在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为P（B｜A）＝ ＝ ＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·山西临汾模拟）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机 下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是 （　　） A. B. C. D. 解析：由题意可得每个人在某个站下车的概率为 ，则恰有两人在第4站下车的概率为3× × × ＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·陕西咸阳模拟）甲、乙两队篮球比赛中，甲队每局获胜的概率 为 ，甲队中A队员上场的情况下甲队获胜的概率为 ，不上场的情况下甲 队获胜的概率为 ，则A队员每局上场的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：设A队员每局上场的概率为p，则不上场的概率为1－p，由全概率公式可知 p＋ （1－p）＝ ，解得p＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是2∶1，鲢鱼和鲫 鱼被钓上来的概率分别是0.03，0.01.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是 鲢鱼的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：设事件A表示鱼被钓上来，事件B表示随机钓一条鱼且该鱼是鲢鱼，则P（A）＝ ×0.03＋ ×0.01＝ ，P（AB）＝ ×0.03＝0.02，所以P（B｜A）＝ ＝ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕设样本空间Ω＝{1，2，3，4}含有等可能的样本点，且A＝ {1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则下列结论正确的是（　　） A. P（AB）＝P（A）P（　B　） B. P（A｜C）＝P（C｜A） C. P（ABC）＝P（A）P（B）P（　C　） D. P（BC）＝P（B）P（　C　） B C C √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，由题意可得P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B），故A正确；对于B，P（C）＝ ＝ ，P（AC）＝ ，P（A｜C）＝ ＝ ，P（C｜A）＝ ＝ ，所以P（A｜C）＝P（C｜A），故B正确；对于C，因为P（ABC）＝ ，P（A）P（B）P（C）＝ × × ＝ ，所以P（ABC）≠P（A）P（B）P（C），故C错误；对于D，因为P（BC）＝ ，所以P（BC）＝P（B）P（C）.故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·四川绵阳模拟）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答 甲、乙、丙3个问题，已知他答对甲、乙、丙的概率分别为0.8，0.5， 0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获 得额外加分，则小张获得额外加分的概率为 ⁠. 解析：由题意，至少能够连续将2道题都答对，包含的情况有：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对，则小张获得额外加分的概率为0.8×0.5＋（1－0.8）×0.5×0.2＝0.42. 0.42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·浙江宁波模拟预测）已知某种疾病的患病率为0.002，在患该 种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.99，则患该种疾病且血检呈阳性的 概率为 ⁠. 解析：设患该种疾病为事件A，血检呈阳性为事件B，依据题意得P（A）＝0.002，P（B｜A）＝0.99，根据条件概率P（B｜A）＝ ，得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝0.002×0.99＝0.001 98. 0.001 98 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 某中学举办知识竞赛，题库中共有1 000道试题，其中有500道A类题， 300道B类题，200道C类题.根据以往经验，某同学答对A，B，C三类试 题的概率分别为80％，60％，50％.若该同学从题库中随机选一道试题作 答，则他答对的概率是 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：设学生选1道A类试题为事件A，学生选1道B类试题为事件B，学 生选1道C类试题为事件C，设学生答对试题为事件D，则P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ＝ ，P（D｜A）＝ ，P （D｜B）＝ ，P（D｜C）＝ ，所以P（D）＝ × ＋ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）（2025·湖北襄阳三模）某技术部门招工需经过四项考核， 已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9， 0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一 项考核不通过即被淘汰. （1）求该部门招工的淘汰率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解：设B表示最终通过考核，A1，A2，A3，A4分别表示通过第一、二、三、四项考核. 因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为P（B）＝ 0.6×0.8×0.9×0.65＝0.280 8， 因此该部门招工的淘汰率为P（ ）＝1－P（B）＝1－0.280 8＝ 0.719 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 解：在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P（B｜A1A3）＝ ＝ ＝0.52， 因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1－P（B｜A1A3）＝1 －0.52＝0.48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 据调查，某学校学生中大约有 的学生每天玩手机超过1 h，这些人近 视率约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他近 视的概率大约是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　设事件A为“任意调查一名学生，每天玩手机超过1 h”，事件 B为“任意调查一名学生，该学生近视”，则P（A）＝ ，P（B｜A） ＝ ，所以P（ ）＝1－P（A）＝ ，P（B｜ ）＝ ，则P（B）＝P （A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　） A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率 为（1－α）（1－β）2 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1－β）2 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1－β）2＋（1－β）3 D. 当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，因为信号的传输是相互独立的，所以采用单次传输方案依次发送1，0，1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）（1－α）（1－β）＝（1－α）（1－β）2，则A正确；对于B，因为信号的传输是相互独立的，所以采用三次传输方案发送1，即发送3次1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）·β（1－β）＝β（1－β）2，则B正确；对于C，因为信号的 传输是相互独立的，所以采用三次传输方案发送1，译码为1包含两种情 况：2次收到1，3次都收到1.而这两种情况是互斥的，所以采用三次传输 方案发送1，收到译码为1的概率p＝ （1－β）2β＋ （1－β）3＝3β（1 －β）2＋（1－β）3，则C错误；对于D，设“采用单次传输方案发送0，译 码为0”为事件B，则P（B）＝1－α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 设采用三次传输方案发送0，收到的信号为0的次数为X，则P（X≥2）＝ P（X＝2）＋P（X＝3）＝ （1－α）2α＋ （1－α）3＝（1＋2α）（1 －α）2.又当0＜α＜0.5时，P（X≥2）－P（B）＝（1＋2α）（1－α）2 －（1－α）＝α（1－α）（1－2α）＞0，所以采用三次传输方案译码为0的 概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，则D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔知识交汇〕（2026·江西景德镇模拟）一质点落在三棱锥A-BCD的 顶点A处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事 件Ei（i∈N*）表示“该质点移动i次后落在顶点A”， 为Ei的对立事 件，则P（ ｜E6）＝ 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：我们将B，C，D三个点作为一个整体，如果某次在点A，则下次 一定不在点A的概率为1；如果某次不在点A，则下次在A与不在A的概率 分别为 ， ，因为P（E3）＝1× × ＝ ，P（E6｜E3）＝1× × ＝ ，则P（E3E6）＝P（E3）·P（E6｜E3）＝ × ＝ ，因为P（ ） ＝1－ ＝ ，P（E6｜ ）＝ ×1× ＋ × × ＝ ，则P（ E6） ＝P（ ）·P（E6｜ ）＝ × ＝ ，则根据贝叶斯公式可得P （ ｜E6）＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中 者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投 中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响. （1）求乙获胜的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中， 则P（Ak）＝ ，P（Bk）＝ ，k＝1，2，3. 记“乙获胜”为事件C， 则P（C）＝P（ B1）＋P（ B2）＋P（ B3） ＝P（ ）P（B1）＋P（ ）P（ ）P（ ）P（B2）＋P（ ） P（ ）P（ ）P（ ）P（ ）P（B3） ＝ × ＋（ ）2×（ ）2＋（ ）3×（ ）3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率. 解：记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D， 则P（D）＝P（ B2）＋P（ A3） ＝P（ ）P（ ）P（ ）P（B2）＋P（ ）P（ ）·P（ ） P（ ）P（A3） ＝（ ）2×（ ）2＋（ ）2×（ ）2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $