20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理的逆定理及其应用（第1课时） 数学人教版八年级下册 1 直角三角形的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余；反过来，有一个角是直角、其余两个角互余的三角形是直角三角形． 从角的角度看 从边的角度看 直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（勾股定理）；反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，这个三角形是否是直角三角形？ 特例验证 观察猜想 推理论证 怎样研究？ 问题1 如图，给出确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角．请你通过测量进行验证，并想一想，这组边长满足什么数量关系？你能从数学的角度描述这个方法的原理吗？ 32＋42＝52 直角三角形 2.5 cm └ 问题2 一个三角形三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，另一个三角形三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，它们都满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，请你画一画，量一量，判断一下这两个三角形是否是直角三角形． └ 6 cm 8.5 cm 7.5 cm 4 cm 6.5 cm 均为直角三角形 问题3 结合绳结案例和画图验证的结果，你能得到怎样的猜想？ 猜想：如果一个三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． （勾股定理的逆命题） 如何证明？ 问题4 如图，已知△ABC 三边长分别为 a，b，c，满足 a2＋b2＝c2，求证△ABC 是直角三角形． 分析： 作一个两条直角边长分别为 a 和 b 的直角三角形 证明△ABC 与该直角 三角形全等 △ABC 是直角三角形 全等三角形的性质 问题4 第一步：构造直角三角形． 如图，已知△ABC 三边长分别为 a，b，c，满足 a2＋b2＝c2，求证△ABC 是直角三角形． 如图，作一个 Rt△A'B'C'， 使 B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°． 根据勾股定理，A'B'2＝B'C'2＋A'C'2＝a2＋b2． 因为 a2＋b2＝c2，所以 A'B'＝c； c 第二步：证全等，得直角． 问题4 证明：如图，已知△ABC 三边长分别为 a，b，c，满足 a2＋b2＝c2，求证△ABC 是直角三角形． 在△ABC 和△A'B'C'中， 所以△ABC ≌△A'B'C' （SSS）．因此∠C＝∠C'＝90°，即△ABC 是直角三角形． 还能想到其他证明方法吗？ 问题4 证明：作一个 Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，A′B′＝c． ∵ ∠C′＝90°，∴ A′C′2＝c2－a2． ∴ A′C′＝b． 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．∴∠C＝∠C'＝90°，即△ABC 是直角三角形． 新知 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．它是判定直角三角形的一个依据． 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 分析：判定一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 11 解：（1）因为 82＋152＝64＋225＝289，172＝289， 所以 82＋152＝172． 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角 三角形． 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 12 解：（2）因为 142＋132＝196＋169＝365，152＝225， 所以 142＋132≠152． 可以尝试用反证法解释 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 不满足勾股定理的逆定理，能否说明组成的三角形不是直角三角形？ 13 分析：（2）假设由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形，那么 c 是斜边，c2＝225，a2＝196，b2＝169． a2＋b2≠c2，与“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边长的平方”矛盾， 因此假设不成立，这个三角形不是直角三角形． 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 14 解：（2）因为 142＋132＝196＋169＝365，152＝225， 所以 142＋132≠152． 根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形． 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 15 新知 像 8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 常见勾股数：3，4，5；6，8，10；7，24，25． 归纳 判断三角形是否为直角三角形的“三步法” （1）找最长边长，计算平方； （2）计算较小两边长的平方和； （3）比较是否相等． 17 例2 在△ABC 中， ，试判断△ABC 是否是直角三角形？ 解：依题意知 b 是最长边， 设 a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， 因为 a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2， 所以 a2＋c2＝b2，即△ABC 是直角三角形． 18 　　1．判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝4，b＝5，c＝6； （2）a＝2.5，b＝0.7，c＝2.4； 　　解：（1）因为 42＋52＝16＋25＝41，62＝36， 所以 42＋52≠62，所以这个三角形不是直角三角形. 　 （2）因为 2.42＋0.72＝5.76＋0.49＝6.25，2.52＝6.25， 所以 2.42＋0.72＝2.52，所以这个三角形是直角三角形. 　　1．判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （3）a＝ b＝ c＝ （4）a＝1，b＝ c＝ 　　解：（3）因为 所以 ，所以这个三角形不是直角三角形. 　（4）因为 12 ＋ ＝1＋2＝3， ＝3， 所以 12 ＋ ＝ ，所以这个三角形是直角三角形． 非正整数组 a，b，c即使满足 a2＋b2＝c2， 也不是勾股数． 　　2．如图，以△ABC 的三边为直径，分别画三个半圆，三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3．若 S1＋S2＝S3，判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由． 　　解：△ABC 是直角三角形．理由如下： 　　因为 S1＋S2＝S3，即 　　所以 AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC 是直角三角形． 勾股定理的逆定理 内容 如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形 判断一个三角形是否为直角三角形 应用 满足 a2＋b2 ＝c2 的正整数 a，b，c 称为勾股数 勾股数 $