8.3 列联表与独立性检验 课件 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦分类变量关联性及独立性检验，从生活实例（如父高与子高、性别与锻炼）对比数值变量入手，通过问题链搭建从直观比较到统计推断的学习支架，衔接回归分析与独立性检验。 其亮点是以自主研读和问题驱动，结合数学眼光（从实例抽象变量）、数学思维（假设检验逻辑推理）、数学语言（列联表与卡方公式规范表达）。通过吸烟与肺癌等实例，用类比“疑罪从无”助理解检验原理，培养学生数据分析能力，为教师提供结构化探究式教学资源，提升教学效率。

回忆与展望 父高x与子高y 树胸径d与树高h 年份t与短跑世界纪录y … 数值变量 分类变量 取值为实数. 其大小和运算都有实际含义. 性别与锻炼经常性 吸烟与是否患肺癌 物理与数学成绩关联 … 取值可以用实数来表示； 这些数值只作为编号使用，用来表示不同的类别，并没有通常的大小和运算意义（如班级用1，2，3等表示，男性、女性用1，0表示等）。 反映不同的现象或性质 为区别不同的现象或性质 本节我们主要讨论取值是{0,1}的分类变量的关联性问题. 回归分析 独立性检验 8.3 列联表与独立性检验 8.3.1 分类变量与列联表 自主研读 P124~P127，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 什么是分类变量？ 它与我们之前学习的数值变量有什么不同？请从生活中再举出2-3个分类变量的例子。 什么是2×2列联表？ 它长什么样子？表格中的每个部分分别代表什么含义？ 如何初步判断两个分类变量是否有关联？ 课本介绍了哪些方法？ 问题一：教材采用了哪些方法研究了一对分类变量之间是否存在差异？  原理：用频率稳定于概率推断 方法一：比较频率大小 需保存原始数据 方法二：比较概率大小 将数据分类统计，并做成2×2列联表加以保存 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 2×2列联表 1124 320 804 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 性别对体育锻炼的经常性有影响： 性别对体育锻炼的经常性无影响： 频率稳定于概率 问题一：教材采用了哪些方法研究了一对分类变量之间是否存在差异？  方法三：等高堆积条形图 利用统计软件画条形图直观推断 P126 例1 88 17 71 合计 45 7 38 乙校(X=1) 43 10 33 甲校(X=0) 优秀(Y=1) 不优秀(Y=0) 合计 数学成绩 学校 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 甲校 乙校 比较可以发现，两校学生的数学成绩优秀率存在差异， 甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高. 依据频率稳定于概率的原理，可推断 P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1). 不优秀 0.7674 0.8444 优秀 0.2326 0.1556 列联表： X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存。我们将如上表这种形式的数据统计表称为2×2列联表。 它包含了X和Y的如下信息：最后一行的前两个数分别是事件{ Y=0 }和{ Y=1 }中样本点的个数；最后一列的前两个数分别是事件{ X=0 }和{ X=1 }中样本点的个数；中间的四个格中的数是表格的核心部分，给出了事件{ X=x，Y=y }(x，y=0，1)中样本点的个数；右下角格中的数是样本空间中样本点的总数。 问题二：上例中“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？  有可能是错误的. 因此，需要找到一种更为合理的推断方法判断两变量之间有无关系，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算. 因为样本具有随机性，频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大. 8.3.2 独立性检验 【问题】烟草公司的代表们认为虽然吸烟与不吸烟者的肺癌患病率有所不同，但都属于小概率事件（小于5％），因此没有充分的证据证明吸烟与患肺癌之间有关联，根据“疑罪从无”的原则，他们提出“吸烟与患肺癌无关”，你认同他们的观点吗？为什么？ 类比 不患肺癌(Y=0) 患肺癌（Y=1) 合计 不吸烟(X=0) 7775 42 7817 吸烟(X=1) 2099 49 2148 总计 9874 91 9956 【需要解决的问题】：如何判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联？ 需要判断下面的假定关系是否成立 H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 零假设或原假设 { X=1 }与{ Y=1 }独立 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为： H0：分类变量 X 和 Y 独立 问题一般化 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价: 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为： H0：分类变量 X 和 Y 独立 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 【需要解决的问题】：如何基于上述四个等式及列联表中数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断？ 自主研读 P129（最下面）~P131，梳理知识，记录疑问 什么是零假设？ 在吸烟与患肺癌的例子中，零假设应该怎么表述？ 统计量（卡方统计量）是用来干什么的？ 它的计算公式是什么？公式中的分别代表什么？ 什么是临界值？ 课本给出的常用临界值表有哪些？对应的临界值是多少？ 独立性检验的决策规则是什么？ 什么情况下拒绝？什么情况下不拒绝？ 关注以下问题： 问题三：教材给出的推断分类变量X和Y是否独立的方法是什么？如何推断的？ X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 卡方独立性检验 下表给出了2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 χ2≥xα是小概率事件 找(指定)某个值xα来界定χ2的大小 基于小概率值α的检验规则： χ2统计量的含义 ad−bc反映了实际频数与“独立假设下的期望频数”的偏差. 如果两个变量完全独立，理论上应该等于，即. 取平方是为了防止正负抵消，同时放大差异，使结果始终为正. 乘以是为了协调样本容量的影响：样本越大，同样的偏差就越“可信”，值也越大. 统计量本质上度量的是“实际观测频数”与“假设独立下的期望频数”之间的差异程度. 这个值越大，说明实际数据越偏离“独立”的假设. 【临界值理解】——小概率事件的含义 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 α是显著性水平，表示“拒绝零假设时可能犯错误的概率”. 也就是说，如果实际上两个变量是独立的，但我们错误地认为它们有关，这种错误的概率不超过. ，所以可以在的水平上拒绝，即认为两个变量有关联，犯错误的概率不超过1%. “99%的把握”意味着：如果我们得出结论“两个变量有关联”，那么这种推断正确的可能性是99%，犯错误的可能性不超过1%. 这是一种概率性的把握，不是绝对的确定性. 典例精析 例2：依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,分析例1中的抽样数据, 能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ 88 17 71 合计 45 7 38 乙校(X=1) 43 10 33 甲校(X=0) 优秀(Y=1) 不优秀(Y=0) 合计 数学成绩 学校 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 解：零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异根据表中的数据，计算得到 根据小概率值α=0.1的卡方独立性检验，没有充分证据推断H0不成立. 因此可以认为H0成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 例1中没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以那里的推断依据不太充分，结论不可靠；例2中用 χ2 独立性检验得到的结果更理性、更全面，虽然也可能犯错误，但若 α 越大，犯错误的概率越小 典例精析 例3.为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示.依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌得风险. 吸烟 肺癌 合计 不患肺癌 患肺癌 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 9115 9965 P(χ2≥xα)=α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 一个核心思想： 独立性检验的思想——类似反证法，基于小概率原理：在零假设成立的条件下，小概率事件几乎不会发生。如果发生了，就有理由拒绝零假设 两个核心概念： 零假设H0​：两个分类变量独立（无关） χ2统计量：度量实际频数与期望频数的差异 独立性检验的一般过程 归纳总结 归纳总结 (卡方)独立性检验的步骤 (1)认清分类变量，提出零假设H0：X 和 Y 独立，即…与…无关联(无差异)； (2)列表：列出2×2列联表. (3)求值：由表中数据计算χ2的值. (4)推断：将χ2值与临界值xα比较，根据小概率值α的独立性检验规则，得出结论 若χ2≥xα，则推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 若χ2<xα，则我们没有充分证据推断H0不成立，可认为X 和 Y独立. P(χ2≥xα)=α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验 课本P128 4 随堂小测 (2)推断可能犯错误．因为样本是通过随机抽样得到的，频率具有随机性，因此推断可能犯错误． 课后作业 课本P134 3，4 课本P135 5，6 $