第11章 一次函数（知识清单）数学新教材青岛版八年级下册

第11章 一次函数 知识点01一次函数的有关概念 1.正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k 0 ，k是正数也可以是负数． 2.一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 知识点02一次函数的图象与性质 1.正比例函数图象的性质 （1）正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． （2）当k＞0时，直线y=kx依次经过第 象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第 象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象． 2.一次函数的图象和性质 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-b/k，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而 ，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而 ，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的 半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的 半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数图象与系数的关系: 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在 象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在 象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在 象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在 象限． 知识点03一次函数的平移 (1)-次函数y=kx+b的图象向左平移m(m>0)个单位得 的图象; (2)-次函数y=kx+b的图象向右平移m(m>0)个单位得 的图象; (3)一次函数y=kx+b的图象向上平移n(n>0)个单位得 的图象; (4)一次函数y=kx+b的图象向下平移n(n>0)个单位得 的图象. 知识点04待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点05一次函数与方程、不等式之间的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 2.一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3.二元一次方程（组）与一次函数的关系 ①方程（y = kx + b ）的所有解（x, y）对应的点都在这条直线上。 ②方程组的解就是这两条直线的交点坐标。 三种情况： 两直线相交（k₁ ≠ k₂）→ 方程组有 解。 两直线平行（k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂）→ 方程组 解。 两直线重合（k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂）→ 方程组有 解。 知识点06一次函数的应用 1.利润(费用)最值问题 通过题中所给条件建立函数模型，再根据函数的增减性及自变量的取值范围确定最值 2.行程问题 (1)将实际问题转化为数学问题，分析横、纵坐标表示的意义; (2)根据图象确定一次函数的解析式,若是分段函数,注意自变量的 ; (3)关注转折点、交点(两直线的交点或与坐标轴的交点)等特殊点,并弄清该点坐标表示的 。 3.方案选取问题 方案选取问题的解题步骤 (1)建立一次函数模型; (2)根据限制条件列出不等式(组),求出自变量的取值范围,结合自变量取值范围进行方案设计; (3)结合实际,利用函数的性质选择最佳方案 易错01:混淆正比例函数与一次函数 错误：学生认为y=kx+b(k-0)是正比例函数，或认为正比例函数不是一次函数。 注意：学生对一次函数和正比例函数的从属关系理解不清。 例题1 下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 易错02:一次函数定义 错误：一次函数定义忽略系数限制条件 注意：明确形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数是一次函数，注意系数不为零的条件限制。 例题2 函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错03:一次函数的性质的综合应用 错误：不能灵活应用一次函数的性质，尤其是含有参数问题 注意：(1)k的符号决定直线从左向右星上升趋势还是下降趋势，当k>0时，呈上升趋势：当k<0时，呈下降趋势 (2)b的特号决定直线与y轴交点的位置，当b>0时，直线与y轴的交点在x轴的上方：当b<0时，直线与y轴的交点在x轴的下方：当b=0时，直线经过原点. 例题3 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 易错04:一次函数的平移 错误：没有理解一次函数的平移规律 注意：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加右减，上加下减 例题4 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 易错05:一次函数与坐标轴的交点问题 错误：不能正确求出一次函数与坐标轴的交点或者考虑不全面 注意：（1）一次函数与坐标轴围成的三角形面积为. (2)当已知线段长和其中一个端点的坐标，求另一个端点的坐标时，要注意可能存在两种情况，此时要注意分类讨论思想的运用 例题5 如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 易错06:利用一次函数的性质解决方案问题 错误： 不能正确确定自变量的取值范围或错误使用增减性 注意：先利用已知条件中的数量关系列出函数解析式，并确定自变量的取值范围，再根据实际情况将一次函数转化为方程和不等式，通过求解确定适合的方案 例题6 （25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 易错07:一次函数与行程问题 错误： 不能正确的借助图像提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 注意：一次函数与行程问题的解题核心是用函数表达式y=kx+b）表示“路程、时间、速度”的关系，通过分析函数图像或解析式，提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 例题7 （2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 易错点08一次函数的点的变化规律探究 错误：不能灵活应用一次函数和几何性质，没有找到变化的规律 注意：一次函数组与几何规律探究的解题核心是联立函数求关键点（交点、特殊线交点），结合几何图形性质（距离、面积、对称性等）推导规律 例题8 （2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 2．下列函数中，一定是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 3．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 4..已知点在第二象限，则直线的图像大致是（    ） A． B． C． D． 5.若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 6.设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 7.（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 8．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 9.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为x小时，、关于的函数图像如图所示： (1)根据图像，直接写出、关于的函数关系式． (2)求两车相遇时的值． (3)两车之间的距离为千米，请写出关于的函数关系式． 10（2023·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 一次函数 知识点01一次函数的有关概念 1.正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 2.一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 知识点02一次函数的图象与性质 1.正比例函数图象的性质 （1）正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． （2）当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象． 2.一次函数的图象和性质 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-b/k，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数图象与系数的关系: 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点03一次函数的平移 (1)-次函数y=kx+b的图象向左平移m(m>0)个单位得y=k(x+m)+b的图象; (2)-次函数y=kx+b的图象向右平移m(m>0)个单位得y=k(x-m)+b的图象; (3)一次函数y=kx+b的图象向上平移n(n>0)个单位得y=kx+b+n 的图象; (4)一次函数y=kx+b的图象向下平移n(n>0)个单位得y=kx+b-n的图象. 知识点04待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点05一次函数与方程、不等式之间的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 2.一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3.二元一次方程（组）与一次函数的关系 ①方程（y = kx + b ）的所有解（x, y）对应的点都在这条直线上。 ②方程组的解就是这两条直线的交点坐标。 三种情况： 两直线相交（k₁ ≠ k₂）→ 方程组有唯一解。 两直线平行（k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂）→ 方程组无解。 两直线重合（k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂）→ 方程组有无数组解。 知识点06一次函数的应用 1.利润(费用)最值问题 通过题中所给条件建立函数模型，再根据函数的增减性及自变量的取值范围确定最值 2.行程问题 (1)将实际问题转化为数学问题，分析横、纵坐标表示的意义; (2)根据图象确定一次函数的解析式,若是分段函数,注意自变量的取值范围; (3)关注转折点、交点(两直线的交点或与坐标轴的交点)等特殊点,并弄清该点坐标表示的实际意义。 3.方案选取问题 方案选取问题的解题步骤 (1)建立一次函数模型; (2)根据限制条件列出不等式(组),求出自变量的取值范围,结合自变量取值范围进行方案设计; (3)结合实际,利用函数的性质选择最佳方案 结合本章实际内容划分具体的易错点，先对易错内容进行总结或者说明，然后配相应的例题，通过实际应用加深理解。 易错01:混淆正比例函数与一次函数 错误：学生认为y=kx+b(k-0)是正比例函数，或认为正比例函数不是一次函数。 注意：学生对一次函数和正比例函数的从属关系理解不清。 例题1 下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】广西壮族自治区崇左市龙州县霞秀乡中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，需熟悉其一般形式并正确应用．根据一次函数的定义判断每个语句是否满足． 【详解】解：（1）行驶路程与时间的关系为，符合形式，是一次函数； （2）圆的面积与半径的关系为，是二次函数，不是一次函数； （3）树高与月数的关系为，符合形式，是一次函数； （4）花费与购买量的关系为，符合形式，是一次函数； 满足一次函数关系的有（1）、（3）、（4），共个． 故选：C． 易错02:一次函数定义 错误：一次函数定义忽略系数限制条件 注意：明确形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数是一次函数，注意系数不为零的条件限制。 例题2 函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【来源】江苏省江阴市云亭中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 易错03:一次函数的性质的综合应用 错误：不能灵活应用一次函数的性质，尤其是含有参数问题 注意：(1)k的符号决定直线从左向右星上升趋势还是下降趋势，当k>0时，呈上升趋势：当k<0时，呈下降趋势 (2)b的特号决定直线与y轴交点的位置，当b>0时，直线与y轴的交点在x轴的上方：当b<0时，直线与y轴的交点在x轴的下方：当b=0时，直线经过原点. 例题3 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题 【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若，那么正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限； 若，那么正比例函数过二、四象限，一次函数过一、三、四象限； 选项A，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限，不符合题意； 选项B，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限，符合题意； 选项C，正比例函数过二、四象限，一次函数过二、三、四象限，不符合题意； 选项D，正比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限，不符合题意； 故选：B． 易错04:一次函数的平移 错误：没有理解一次函数的平移规律 注意：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加右减，上加下减 例题4 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2025年陕西省西安市雁塔区中考数学四模试卷 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的性质及图像、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将一次函数向下平移2个单位后得到正比例函数，可知平移后的常数项为0，从而求出的值，将再代入原函数解析式，分析其经过的象限即可． 【详解】将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到的函数为：， ∵得到的函数为正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数为， ∴该一次函数图象不经过第三象限， 故选：C． 易错05:一次函数与坐标轴的交点问题 错误：不能正确求出一次函数与坐标轴的交点或者考虑不全面 注意：（1）一次函数与坐标轴围成的三角形面积为. (2)当已知线段长和其中一个端点的坐标，求另一个端点的坐标时，要注意可能存在两种情况，此时要注意分类讨论思想的运用 例题5 如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点坐标为或 【难度】0.65 【来源】江苏省扬州市梅岭中学2024-2025学年上学期八年级 数学第三次月考试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，绝对值方程．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，，即，待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）将代入，求得，即，将代入，求得，即，根据，设，则，由的面积等于的面积的，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将，代入得，，解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得，，解得，，即， 将代入得，，解得，，即， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或． 易错06:利用一次函数的性质解决方案问题 错误： 不能正确确定自变量的取值范围或错误使用增减性 注意：先利用已知条件中的数量关系列出函数解析式，并确定自变量的取值范围，再根据实际情况将一次函数转化为方程和不等式，通过求解确定适合的方案 例题6 （25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元 (2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的表达式，是解题的关键． （1）设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元，根据购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设应购买个“冰墩墩”， 投入资金是元．根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解，根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，设计可行方案进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元． 根据题意，得，解得． ∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元； （2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元． 根据题意，得，即． ∵， ∴随的增大而减小． 又∵，解得， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴． ∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元． 易错07:一次函数与行程问题 错误： 不能正确的借助图像提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 注意：一次函数与行程问题的解题核心是用函数表达式y=kx+b）表示“路程、时间、速度”的关系，通过分析函数图像或解析式，提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 例题7 （2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 易错点08一次函数的点的变化规律探究 错误：不能灵活应用一次函数和几何性质，没有找到变化的规律 注意：一次函数组与几何规律探究的解题核心是联立函数求关键点（交点、特殊线交点），结合几何图形性质（距离、面积、对称性等）推导规律 例题8 （2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 对本章易错内容进行训练，针对易错总结中的内容选题，题号从1开始依次罗列即可，建议试题量不低于10道，可结合具体内容自行调整。 1．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【难度】0.65 【来源】【智】27 23.1 一次函数的概念（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课外作业） 【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．下列函数中，一定是一次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】福建省漳州市诏安县某校2025-2026学年八年级上学期第二次考试数学试题 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，准确区分一次函数的概念是解题关键． 根据一次函数的定义，对选项依次判断即可． 【详解】解：一次函数的标准形式为， 对于：，其中，，故一定是一次函数； 对于：，在分母上，不是一次函数； 对于：，当时是一次函数，但当时，，不是一次函数，故不一定是一次函数； 对于：，的最高次数为，是二次函数，不是一次函数． 故选：． 3．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象和性质．熟悉正比例函数的图象所在象限与系数的关系，一次函数中系数、常数项的符号对图象经过象限的影响，是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵对于一次函数，， ∴图象从左到右呈下降趋势， ∵， ∴与轴交点在正半轴， 故选：． 4..已知点在第二象限，则直线的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知点所在的象限求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题象限中点的符号，一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据点在第二象限，可知，，然后根据一次函数的性质，即可得到直线的图象经过哪几个象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， 直线的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 5.若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】浙江省台州市白云中学 2024—2025学年下学期九年级适应性检测 数 学 试题 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据平移的规律求出的图象向左平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位后得到， 由题意，得， 解得． 故选：A． 6.设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市深圳实验学校初中部2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值； （3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 函数表达式为； （2）解：点在该函数图象上， ， ； （3）解：设点， 直线与轴交于点， 当时， 交点的坐标为， ， ， 或， 点坐标或． 7.（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 【答案】(1)A种20元/棵，B种5元/棵 (2)买A种10棵、B种90棵，最省费用650元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用及一次函数的性质（增减性）；掌握根据题意列出方程组和不等式确定变量范围，并利用一次函数增减性求最值是解题的关键．第一问通过设A、B两种花草单价为未知数，根据购买数量和总费用列出二元一次方程组并求解；第二问根据B种花草数量与A种的关系列出不等式确定变量范围，再结合费用函数的增减性求出最省费用及对应方案． 【详解】（1）解：设A种花草每棵x元，B种每棵y元， 列方程组： 第一个方程：， 第二个方程：． 化简第一个方程：， 第二个方程：， ②-第一个方程：，， 代入①：． 答：A种20元/棵，B种5元/棵． （2）解： 购买B种花草棵，由题意：，解得，又， 费用， ∵，W随m增大而增大，∴m最小时，W最省， 此时，（元）． 答：买A种10棵、B种90棵，最省费用650元． 8．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 【答案】(1) (2)从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元 (3)百元 【分析】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵从甲厂运往地防疫物资吨， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：设总费用为百元， 根据题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为百元， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元； （3）解：设总费用为百元， 根据题意得，， 当，即时，随的增大而减小， ∵， ∴时，的值最小，最小值为百元； 当，即时，百元； 当，即时，随的增大而增 大， ∴当时，的值最小，最小值为， 当时，， 此时的最小值为百元； 综上所述，总运费可以达到的最小值是百元． 9.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为x小时，、关于的函数图像如图所示： (1)根据图像，直接写出、关于的函数关系式． (2)求两车相遇时的值． (3)两车之间的距离为千米，请写出关于的函数关系式． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程的关系． 根据函数图象中的数据，用待定系数法求一次函数的解析式即可； 因为两车相遇时，两车距离甲地的距离相等，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 因为两车之间的距离为，又因为当时，两车相遇，此时，所以要分当和时，分别求出关于的函数关系式，当时，出租车到达目的地，不再行驶，此时两车之间的距离就是客车与甲地的距离，所以应分三段求出关于的函数关系式． 【详解】（1）解：设与的函数关系式是， 由函数图象可知：当时，，当时，， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是；， 设与的函数关系式是， 由函数图象可知：当时，，当时，， 可得：， 解得：， ； （2）解：当两车相遇时，可得：， 解得：， 答：两车相遇时，的值为 （3）解：两车之间的距离为， 关于的函数关系式为， 由可知，当时，两车相遇，此时， 当时，， 当时，， 当时，， ． 10（2023·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果． 【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 由题意得、是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， ∴正方形的面积， 同理，， ∴正方形的面积， … ， 由规律可知，正方形的面积， ∴正方形的面积， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $