第10章 函数（知识清单）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学“函数”单元知识清单系统梳理了常量与变量、函数概念、表示方法、图象及应用等核心内容，涵盖定义解析、判断方法、实际应用三大知识范畴，为学生搭建了从基础概念理解到函数关系判断再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识点分类+易错点剖析+例题验证”的方式构建知识体系，如将“函数唯一对应”“自变量取值范围”等标注为重点易错点，通过具体例题强化理解，培养学生的抽象能力和推理意识。特别设计“实际意义提示”等实用工具，如提醒“时间数量不能为负”，不同层次学生可高效掌握，教师能据此优化教学，提升课堂实效。

第十章 函数 知识点01 常量与变量 定义:①常量:在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量:在一个变化过程中，数值发生变化的量。 知识点02 函数的概念 1.定义:一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值:当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:①分式:分母≠0;②二次根式:被开方数≥0;③整式:全体实数④符合实际意义(如时间、数量不能为负) 4.函数判断(核心:唯一对应) ①关系式(x>0)不是函数(一个x对应两个y) ②图像:作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点是函数 知识点03 函数的表示方法 1.解析法(关系式法) 定义:用数学式子表示函数关系。优点:准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义:用表格列出自变量与函数的对应值。优点:直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义:在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤:列表描点连线(平滑曲线) 优点:形象、直观，能看到变化趋势 知识点04 函数的图象 1.画法步骤 ①列表:选自变量值，算对应函数值;②描点:在坐标系中标出(x,y);③连线:按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势(上升/下降);②找特殊点(与坐标轴交点、最高点、最低点);③读对应值(xy，yx) 知识点05 函数的应用 1.步骤:①分析问题，找变量;②确定自变量与函数;③列函数关系式;④结合取值范围与图象求解 2.常见类型:①行程问题:;②工程问题:工作量=效率时间;③销售问题:总价=单价数量;④几何问题:周长、面积、体积公式 易错点1 常量、变量的判断 错误：①认为“数字就是常量，字母就是变量”。 ②觉得一个量要么永远常量、要么永远变量。 注意：①看在这个变化过程中数值是否发生改变，不变是常量，变是变量。 ②常量与变量是相对某个变化过程而言。 例题1 如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 单价 数量，金额 【难度】0.94 【来源】第四章 一次函数 1 函数 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量、变量的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据事物变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量求解即可． 【详解】解：加油过程中，单价×数量=总价，此时，单价是常量，数量和金额是变量． 故答案为：单价；数量，金额． 易错点2 函数判断忽略唯一对应，误判“一对多”为函数 错误：函数定义三要素记不全，判断出错 注意：函数必须同时满足①有两个变量②对于自变量x每一个确定的值③y都有唯一确定的值与之对应 因此。一个x对应两个或多个y不是函数 。多个x对应同一个y是函数 例题2 下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据函数的概念，对四个图象逐一分析，再作判定． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合； 用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合； 故选：C． 易错点3 自变量与函数的判断 错误：在解决实际问题时，常常不能正确区分自变量和因变量，如”小明的身高与年龄的关系"中，学生可能将身高作为自变量，年龄作为因变量。 注意：正确理解"自变量是独立变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量"，即：主动变化的是自变量，跟着变的是它的函数 例题3 一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 【答案】 时间和路程 路程 时间 时间 【难度】0.94 【来源】第5章 一次函数 课时1 变量与函数（1） 【知识点】函数的概念 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于在取值范围内，x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中，变量有时间和路程，我们可以把路程看成是时间的函数，时间叫做自变量． 故答案为：时间和路程，路程，时间，时间． 易错点4自变量的取值范围的确定 错误：在求函数关系式时，忽略实际问题中的自变量取值限制。如”矩形的长与宽的关系"中，学生可能认为x可取任意正数，而忽略了矩形长和宽都为正数的限制。 注意：式子有意义:①分母0 ②二次根号下被开方数≥0 ③实际问题中必须同时满足:人数、次数、个数:为正整数，要养成"函数关系式必须符合实际意义"的思维习惯。 例题4 为了迎接学校“歌咏比赛”的到来，九年级学生组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站20排，第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人，则某排人数y与该排排数x之间的函数关系式为 ．(写出自变量的取值范围）． 【答案】y=x+9（，且x是整数） 【分析】根据第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人，得到y=10+（x-1）=x+9，由共站20排，且排数x为正整数，得到，且x是整数． 【详解】∵第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人， ∴y=10+（x-1）=x+9， ∵共站20排，且排数x为正整数， ∴，且x是整数， 故答案为：y=x+9（，且x是整数）． 【点睛】此题考查列函数关系式，自变量的取值范围，正确理解题意是解题的关键． 易错点5描点法画函数的图象 错误：忽视自变量的取值范围而画错函数的图象 注意：出现的错误是画图象时没有考虑自变量的取值范围，在画涉及实际问题的函数图象时，图象上的点的横坐标必须限定在自变量的取值范围内， 例题5 某蜡烛原长，点燃后每小时燃烧，求蜡烛的剩余长度与点燃时间之间的函数表达式，并画出函数的图象． 【答案】，图象见解析 【分析】 本题考查了一次函数的应用，抓住蜡烛的剩余长度蜡烛原长燃烧的长度，即可求解． 【详解】解：∵蜡烛点燃后每小时燃烧， ∴ 列表如下： 图象如下： 易错点6图象与实际问题的对应关系理解错误 错误：无法从图象中正确读出实际问题的含义，如"气温变化图“中，无法正确理解图象上升表示气温升高，下降表示气温降低。 注意：培养将抽象图象与具体实际问题联系起来的能力。 例题6 如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ） B． C． D． 【答案】D 【分析】 分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可 【详解】 当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4； 当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7； 点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11， 故选D． 【点拨】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键． 易错点7函数图象的"连续性"理解错误 错误：认为函数图象必须是连续的曲线，如错误认为"某学校每天的出勤人数"的图象是连续的，而实际上应该是离散的点。 注意：函数图象可以是连续的，也可以是离散的 例题7 在1－7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（ ） A．3月份 B．4月份 C．5月份 D．6月份 【答案】B 【详解】 解：各月每斤利润：3月：7.5-4.5＝3元， 4月：6-2.5＝3.5元， 5月：4.5-2＝2.5元， 6月：3-1.5＝1.5元， 所以，4月利润最大， 故选B． 易错点8 函数图象与几何图形的综合 错误：不能根据图形位置变化(如点在线上、形内)分情况讨论，出现漏解。 注意：①坐标转化:设图形顶点坐标(常在函数图象上)，利用函数解析式表示点的坐标。 ②列方程:根据图形性质(如面积、边长、角度)，代入几何条件列方程求解。 ③分类讨论，避免出现漏解 例题8 （2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上，在原点，在轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解． 【详解】解：①当点在轴上运动，时，连接． ∵，， ∴，，， 设点的坐标是， ∵， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是； ②当点在原点时，， ∴点的坐标为； ③当点在轴上运动，时，连接， 设点的坐标是， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是． 故答案为：或或． 1.乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【答案】B 【难度】0.85 【来源】【智】50 1 现实中的变量（学海风暴2026春七年级数学下册北师大版-课时检测） 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】需先明确常量的定义，再判断购物小票中各量是否固定不变，从而选出常量对应的选项． 【详解】解：常量是在变化过程中固定不变的量： A、金额随购买数量变化，是变量，不符合题意； B、单价是每瓶矿泉水的固定价格，是常量，符合题意； C、数量是购买的瓶数，可随购买需求变化，是变量，不符合题意； D、金额是变量，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了常量的概念，掌握常量是在变化过程中固定不变的量是解题的关键． 2.下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数关系的判断． 函数的定义：对于自变量每一个取值，因变量有唯一值与之对应． 函数关系要求每个自变量值对应唯一因变量值．A、B、C均符合此定义，D中数学成绩与物理成绩可能不满足唯一对应． 【详解】解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系； ∴不一定是函数关系的是D． 3.有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.85 【来源】广东省梅州市梅江区芹洋学校2025-2026学年学年八年级上学期数学期中考试 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数定义的核心是“唯一确定性”，即每个自变量对应唯一因变量．注意平方根函数通常取非负值，定义域受限但不影响函数关系．判断每个等式是否表示是的函数，依据是对于每一个的值，是否有唯一确定的值与之对应，解答即可． 【详解】解：对于① ：∵ 对于每一个，都有唯一值，∴ 是函数． 对于② ：∵ 对于某些（如），有两个值（），∴ 不是函数． 对于③ ：∵ 对于每一个，有两个可能值（或），∴ 不是函数． 对于④ ：∵ 对于每一个，唯一，但有两个值（正负），∴ 不是函数． 对于⑤ ：∵ 对于，有唯一值（算术平方根），∴ 是函数． 综上，只有①和⑤是函数，共2个． 故选：A． 4.秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为______________ ，其中自变量为___________，____________ 是________ 的函数． 【答案】 y 【难度】0.85 【来源】安徽省安庆市望江县部分学校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】函数的概念、函数解析式 【分析】本题考查了函数的概念及列函数解析式，理解每升高米降低是解题的关键．根据每升高降低，则上升的高度，下降，据此即可求得函数解析式，再根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由题意，山脚温度为，每升高降低，上升高度为，温度为， 则y与x的函数解析式为，其中x是自变量，y是x的函数． 故答案为：，x，y，x． 5.下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【答案】 【难度】0.94 【来源】第5章 一次函数 课时1 变量与函数（1） 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键；因此此题可根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：可以把Q看成是h的函数； 故答案为Q，h． 6．.函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【难度】0.4 【来源】安徽省六安市2025-2026学年上学期八年级数学期中仿真卷 【知识点】分式有意义的条件、零指数幂、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 7游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度放水．当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 ____ 546 ___ ___ (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为，游泳池的存水量为，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)放水时间和游泳池的存水； (2)624，468，390； (3)，取值范围为． 【难度】0.65 【来源】第四章 一次函数 考点小卷1 变量与函数 【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识． （1）根据题意即可解答； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格； （3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水量； （2）解：补充表格如下： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 546 （3）解：根据题意，得， 令，解得， 所以与的函数关系式为的取值范围为． 8.用一根长为的铁丝围成一个正方形，该正方形的面积为． (1)求S关于C的函数关系式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象，求时正方形的周长； (4)根据图象，求出C取何值时， 【答案】(1) ()． (2)见解析 (3)周长是 (4)当时， 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握正方形的周长正方形的边长，正方形的面积=正方形的边长×正方形的边长， （1）首先根据周长求出正方形的边长，进而得到S与C的关系式， （2）列表、描点、连线直接作出图形即可； （3）把代入函数关系式中计算即可求周长； （4）根据函数关系式中，建立关于C的不等式可得出C的取值． 【详解】（1）解：根据题意，知正方形的边长为， 由正方形面积公式得 ()． （2）列表、描点、连线(如图所示)． C … 2 4 6 8 … … 1 4 … （3）根据图象知，，即正方形的周长是． （4）观察图象可知，当时，． 9.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表 离开学校的时间/ 离学校的距离/ （Ⅱ）填空： ①书店到陈列馆的距离为________； ②李华在陈列馆参观学的时间为_______h； ③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为_______h． （Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，． 【分析】 （Ⅰ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式，根据表格中x，代入相应的解析式，得到y； （Ⅱ）①根据图象进行分析即可； ②根据图象进行分析即可； ③根据时的函数解析式可求； ④分和两种情况讨论，将距离为4km代入相应的解析式求出时间x； （Ⅲ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式即可． 【详解】 对函数图象进行分析： ①当时，设函数关系式为，由图象可知，当x=0.6时，y=12， 则，解得 ∴当时，设函数关系式为 ②由图象可知，当时， ③当时，设函数关系式为，由图象可知，当x=1时，y=12；当x=1.5时，y=20， 则 ，解得 ∴当时，设函数关系式为 ④由图象可知，当时， ⑤当时，设函数关系式为，由图象可知，当x=4.5时，y=20；当x=5时，y=6， 则，解得 ∴当时，设函数关系式为 ⑥当时，设函数关系式为，由图象可知，当x=5时，y=6；当x=5.5时，y=0， 则，解得 ∴当时，设函数关系式为 （Ⅰ）∵当时，函数关系式为 ∴当x=0.5时，．故第一空为10． 当时，．故第二空为12． 当时，．故第二空为20． （Ⅱ）①李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离； ②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学的时间； ③当时，设函数关系式为，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28； ④当李华离学校的距离为时，或 由上对图象的分析可知： 当时，设函数关系式为 令，解得 当时，设函数关系式为 令，解得 ∴当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为或． （Ⅲ）由上对图象的分析可知： 当时，； 当时，； 当时，． 【点拨】本题考查函数的图象与实际问题．解题的关键在于读懂函数的图象，分段进行分析． 10.变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点拨】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 11．（2025·山西长治·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示． (1)________； (2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】（1）根据图象得出当点P运动到点A时，求解即可； （2）过点作交于点，证明则四边形为矩形，得出，，结合，，，得出，勾股定理求出，则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，当点在上，即时，根据待定系数法即可解出与之间的函数关系式； （3）先求出在上时，与之间的函数关系式，再代入时，即或，求解即可． 【详解】（1）解：根据图象可得， ∵， ∴当点P运动到点A时，， ∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：过点作交于点， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， 则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为， 当点在上，即时，设， 代入，，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：在上，即时，设， 代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 当时，即或， 解得：或， 综上所述：当的值为解得或时，的面积为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 函数 知识点01 常量与变量 定义:①常量:在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量:在一个变化过程中，数值发生变化的量。 知识点02 函数的概念 1.定义:一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值:当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:①分式:分母≠0;②二次根式:被开方数≥0;③整式:全体实数④符合实际意义(如时间、数量不能为负) 4.函数判断(核心:唯一对应) ①关系式(x>0)不是函数(一个x对应两个y) ②图像:作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点是函数 知识点03 函数的表示方法 1.解析法(关系式法) 定义:用数学式子表示函数关系。优点:准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义:用表格列出自变量与函数的对应值。优点:直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义:在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤:列表描点连线(平滑曲线) 优点:形象、直观，能看到变化趋势 知识点04 函数的图象 1.画法步骤 ①列表:选自变量值，算对应函数值;②描点:在坐标系中标出(x,y);③连线:按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势(上升/下降);②找特殊点(与坐标轴交点、最高点、最低点);③读对应值(xy，yx) 知识点05 函数的应用 1.步骤:①分析问题，找变量;②确定自变量与函数;③列函数关系式;④结合取值范围与图象求解 2.常见类型:①行程问题:;②工程问题:工作量=效率时间;③销售问题:总价=单价数量;④几何问题:周长、面积、体积公式 易错点1 常量、变量的判断 错误：①认为“数字就是常量，字母就是变量”。 ②觉得一个量要么永远常量、要么永远变量。 注意：①看在这个变化过程中数值是否发生改变，不变是常量，变是变量。 ②常量与变量是相对某个变化过程而言。 例题1 如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 易错点2 函数判断忽略唯一对应，误判“一对多”为函数 错误：函数定义三要素记不全，判断出错 注意：函数必须同时满足①有两个变量②对于自变量x每一个确定的值③y都有唯一确定的值与之对应 因此。一个x对应两个或多个y不是函数 。多个x对应同一个y是函数 例题2 下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 易错点3 自变量与函数的判断 错误：在解决实际问题时，常常不能正确区分自变量和因变量，如”小明的身高与年龄的关系"中，学生可能将身高作为自变量，年龄作为因变量。 注意：正确理解"自变量是独立变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量"，即：主动变化的是自变量，跟着变的是它的函数 例题3 一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 易错点4自变量的取值范围的确定 错误：在求函数关系式时，忽略实际问题中的自变量取值限制。如”矩形的长与宽的关系"中，学生可能认为x可取任意正数，而忽略了矩形长和宽都为正数的限制。 注意：式子有意义:①分母0 ②二次根号下被开方数≥0 ③实际问题中必须同时满足:人数、次数、个数:为正整数，要养成"函数关系式必须符合实际意义"的思维习惯。 例题4 为了迎接学校“歌咏比赛”的到来，九年级学生组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站20排，第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人，则某排人数y与该排排数x之间的函数关系式为 ．(写出自变量的取值范围）． 易错点5描点法画函数的图象 错误：忽视自变量的取值范围而画错函数的图象 注意：容易出现的错误是画图象时没有考虑自变量的取值范围，在画涉及实际问题的函数图象时，图象上的点的横坐标必须限定在自变量的取值范围内， 例题5 某蜡烛原长，点燃后每小时燃烧，求蜡烛的剩余长度与点燃时间之间的函数表达式，并画出函数的图象． 易错点6图象与实际问题的对应关系理解错误 错误：无法从图象中正确读出实际问题的含义，如"气温变化图“中，无法正确理解图象上升表示气温升高，下降表示气温降低。 注意：培养将抽象图象与具体实际问题联系起来的能力。 例题6 如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ） B． C． D． 易错点7函数图象的"连续性"理解错误 错误：认为函数图象必须是连续的曲线，如错误认为"某学校每天的出勤人数"的图象是连续的，而实际上应该是离散的点。 注意：函数图象可以是连续的，也可以是离散的 例题7 在1－7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（ ） A．3月份 B．4月份 C．5月份 D．6月份 易错点8 函数图象与几何图形的综合 错误：不能根据图形位置变化(如点在线上、形内)分情况讨论，出现漏解。 注意：①坐标转化:设图形顶点坐标(常在函数图象上)，利用函数解析式表示点的坐标。 ②列方程:根据图形性质(如面积、边长、角度)，代入几何条件列方程求解。 ③分类讨论，避免出现漏解 例题8 （2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 1.乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 2.下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 3.有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为______________ ，其中自变量为___________，____________ 是________ 的函数． 5.下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 6．.函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 7游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度放水．当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 ____ 546 ___ ___ (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为，游泳池的存水量为，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 8.用一根长为的铁丝围成一个正方形，该正方形的面积为． (1)求S关于C的函数关系式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象，求时正方形的周长； (4)根据图象，求出C取何值时， 9.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表 离开学校的时间/ 离学校的距离/ （Ⅱ）填空： ①书店到陈列馆的距离为________； ②李华在陈列馆参观学的时间为_______h； ③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为_______h． （Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 10.变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（ ） A． B． C． D． 11．（2025·山西长治·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示． (1)________； (2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式； (3)当的面积为时，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $