11.1.2不等式的性质（第1课时 不等式的性质）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.1.2 不 等 式 的 性 质 第1课时 不 等 式 的 性 质 第十一章 不等式 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握不等式的三条基本性质，能准确表述性质内容；能运用不等式的性质对简单不等式进行变形，区分不等式性质2与性质3的不同之处. 经历类比等式性质、通过计算探究不等式性质的过程，提升观察、猜想、归纳、验证的数学思维能力；在运用性质变形的过程中，体会代数变形的逻辑严谨性. 通过自主探究获取知识，感受数学规律的严谨性，激发数学学习兴趣；通过对比等式与不等式性质，体会数学知识的内在联系，养成严谨细致的解题习惯. 三个核心概念 ● 不等式：表示不等关系的式子。 ● 不等式的解：使不等式成立的未知数的值（单个值）。 ● 不等式的解集：不等式的所有解的集合。 两种核心技能 ✓ 列不等式：将文字语言准确转化为数学不等式。 ✓ 表示解集：掌握用“式子”和“数轴”两种方式表示解集。 知识回顾 对于不等式我们已经学了哪些知识？ 注意：数轴表示解集时， 空心圈(○)代表不包含该点，实心点(●)代表包含该点； 箭头方向向右表示大于，箭头向左表示小于 导入新课 等式有哪些基本性质？用符号语言如何表示？ 等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 性质2 不等式有没有类似的性质？ 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 等式两边同时乘一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a=b，那么ac=bc， 如果a=b（c≠0），那么 今天，我们就来一起探索 —— 不等式的性质 新知探究 探究点1 探究不等式性质1 议一议 （1）用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变， （1）7 > 4， ① 7 + 2 ______ 4 + 2， ② 7 + 0______ 4 + 0， ③ 7+ (－2)______ 4 + (－2)； （2）－1 < 9， ① －1 + 4 ______ 9+ 4， ② －1 + 0______ 9+ 0， ③ －1 +（－7）______ 9 + (－7). > > < < 不等式两边都加上同一个数，不等号的方向________. 不变 > < －2 －2 －7 －7. 发现： 不等式两边都减去同一个数，不等号的方向________. 不变 新知探究 探究点2 探究不等式性质2、3 议一议 （1）6 > 2， ① 6×3 ______ 2×3. ② 6÷2 ______ 2÷2. （2）-2 < 3， ① -2×4 ______ 3×4. ② -2÷4 ______ 3÷4. > < 当不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向________. 不变 > < （2）用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变， 发现： 新知探究 探究点2 探究不等式性质2、3 议一议 （1）6 > 2， ① 6×5 ______ 2×5. ② 6÷5 ______ 2÷5. ③6×(-5) ______ 2×(-5). ④ 6÷(-5) ______ 2÷(-5). （2）-2 < 3， ① -2×4 ______ 3×4. ② -2÷4 ______ 3÷4. ③ - 2×(-0.5) ______ 3×(-0.5). ④ -2÷(-0.5) ______ 3÷(-0.5). > < 当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向_____. 改变 > < < < > > 如果不等式两边乘0，结果又如何呢？ 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变， 发现： 不等号变为等号 新知探究 探究点2 探究不等式性质2、3 归一归 不等式的性质总结 不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 符号语言： 如果 a ＞ b， 那么 a ± c ＞ b ± c. 不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 符号语言： 如果 a ＞ b，c＞0， 那么 ac ＞ bc（或 ）. 符号语言： 如果 a＞b，c＜0， 那么 ac＜bc（或 ） . 乘除负数，方向改变 如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc（或 ） 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc（或 ） 新知探究 探究点3 对比辨析，深化理解 议一议 不等式性质2 不等式性质3 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. （1）不等式性质2和不等式性质3有什么区别？ 对于乘法（或除法）运算，不等式性质要乘（或除）的数正负不同，结果也不同. 新知探究 探究点3 对比辨析，深化理解 议一议 （2）不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点： 类别 不同点 相同点 不等式 等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等 1.两边加（或减）同一个数（或式子），不等式和等式仍成立； 2.两边乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立 等式的性质有两条，它们表明了等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时、相等关系不变、 不等式的性质有三条、它们表明了不等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时、大小关系有时不变、有时改变、对于乘法和除法运算、不等式的性质要分两种情况论述. 典例分析 例1. 已知 a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据. （1）a + 3 与 b + 3 ；（2）-2a 与 -2b. 解：（1）∵ a＞b， ∴ a+3＞b+3. 根据不等式的性质1， 不等式两边同加上3，不等号方向不变 （2）∵ a＞b， ∴ -2a＜-2b. 根据不等式的性质3， 不等式两边同乘上-2，不等号方向改变 典例分析 例2．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 解：∵a＞b， A 根据不等式的性质1， 不等式两边同加上数c，不等号方向不变 ∴ a+c＞b+c． 新知巩固 1. 已知p＞q，用“＞”或“＜”填空，并说明依据： 【教材P125 练习 】 （2）p-2____q-2； （3）p+2m____q+2m； （4）-5p____-5q； （1）____ ； （5） ____ ； （6）4p+1____4q+1. ＞ 不等式的性质1 ＞ 不等式的性质1 ＞ 不等式的性质1 ＜ 不等式的性质3 ＞ 不等式的性质2 ＞ 第一步，根据不等式的性质2两边同乘4，不等号方向不变 第二步，根据不等式性质1，两边同加上1，不等号方向不变 两边同加，不等号方向不变 两边同，不等号方向不变 两边同，不等号方向不变 两边同乘-5，不等号方向改变 两边同除以3，不等号方向不变 新知巩固 2. 已知 m＞3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： 【教材P125 练习 】 （1）m+5； （3）-2m； （2） ； （4）3m-4. 解：（1）∵m＞3， ∴m+5＞3+5， 即m+5＞8. （2）∵m＞3， （3）∵m＞3， ∴-2m＜3×（-2）， 即-2m＜-6. （4）∵m＞3， ∴3m＞3×3， 即3m＞9. ∴ ＞ ， 即 ＞ . ∴3m-4＞9-4， 即3m-4＞5. 拓展提升 1．若不等式的解是，则不等式的解是 . 解：解不等式得： ， ∵该不等式的解是， ∴该不等式的解为，且， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴不等式 可化为： ， 即， ∴， 解得， 真题感知 1．（2025.南陵校考）若，则下列不等式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，当时，则，故本选项符合题意； D 真题感知 2．（2025.东营统考）下列不等式的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 解：A. 当时，， ，故选项错误，不符合题意；     B. 当，， ，故选项错误，不符合题意； C. 当，由， 得，故选项错误，不符合题意；     D. 由，得，故选项正确，符合题意． D 真题感知 3．（2025.新余质检）由，得，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D．2 解： ，两边同乘以-1，不等号方向改变 ， ，两边同乘以想x，不等号方向没变 D 本节课学习了不等式的三条基本性质： 性质1：是不等式两边加减同一个数或式子，不等号方向不变； 性质2：是不等式两边乘除同一个正数，不等号方向不变； 性质3：是不等式两边乘除同一个负数，不等号方向改变； 掌握了利用不等式性质将简单不等式变形为x>a或x<a的形式的方法. 课堂小结 知识 总 结 学习不等式性质采用类比等式性质的方法，快速把握知识规律； 探究性质时通过计算、猜想、验证、归纳的步骤，得出数学结论； 运用性质变形时，先判断乘除的数是正数还是负数，再确定不等号方向是否改变. 课堂小结 方法 总 结 （1）不等式两边乘（或除以）负数时，务必改变不等号方向，这是最易出错的点. （2）注意不等式性质与等式性质的区别，等式变形无需考虑符号，不等式变形要关注乘除的数的正负. （3）运用性质变形时，要保证两边运算完全一致，避免漏算、错算. 课堂小结 易错提醒 课后练习 教材p129页. 4. 已知 m ＞ n ，用“＜”或“＞”填空，并说明依据： （1） m－5_____ n－5 ； （2）6m _____ 6n； （3） （4） m + 3n _____ 4n. ＜ ＞ ＞ ＞ 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质3 不等式的性质1 习题11.1 课后练习 5. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1） x + 3＞ -1 ； 解：（1）x > -4. 0 -4 （2）x ≤ -7. 0 -7 （3） （3）y > -2. 0 -2 （4）x ≥ -3. 0 -3 教材p129页. 习题11.1 （4）4y ≥ -12. （2）6x ≤ 5x － 7； 课后练习 7. 已知 a ＞ b ，用“＜”或“＞”填空，并说明依据： （1） 2a－5_____ 2b－5 ； （2）-3.5b+1 _____ -3.5a+1. ＞ ＞ 解：（1）不等式的性质2 ∵a ＞ b ， ∴2a ＞ 2b 由不等式的性质1 2a -5＞ 2b-5 教材p129页. 习题11.1 解：（1）不等式的性质3 ∵a ＞ b ， ∴-3.5a ＜-3.5b 即：-3.5b ＞-3.5a 由不等式的性质1 -3.5b +1＞-3.5a +1 课后练习 10. 某市地铁票收费标准如下： 不超过 6 km 3 元；超过 6 km 到 12 km（含）4元；超过 12 km到 22 km（含）5元； 超过 22 km到 32 km（含）6 元； 超过 32 km 部分，每增加 1 元可再乘坐 20 km. 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了 8 元，设他乘坐地铁的里程为 x km，用不等式表示 x 的范围. 52 < x ≤ 72 教材p129页. 习题11.1 谢谢聆听 $