精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一下学期期中数学试题

哈三中2025—2026学年度下学期 高一学年期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接由共轭复数的定义及复数的几何意义可得. 【详解】因为复数，是的共轭复数，所以， 所以复平面内对应的点为，位于第一象限. 2. 向量，的夹角为，并且，是单位向量，向量满足，那么向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由数量积的定义可得，进而可得，再由数量积直接计算夹角可得. 【详解】因为向量，的夹角为，并且，是单位向量，所以， 所以， 且， 所以，且，所以. 所以向量与的夹角为. 3. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由数量积的几何意义求投影向量可得. 【详解】因为，，所以， 且， 所以向量在向量上的投影向量为. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，且，则与为异面直线 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则与为异面直线 D. 若，，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系依次判断即可． 【详解】对于A，若，，且， 则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误； 对于B，若，，且， 则，，故B正确； 对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示： 所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误； 对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示： 也可能为异面直线， 所以若，，且，则为假命题，故D错误. 5. 如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点.测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是.那么测得建筑的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，， 所以， 即此建筑物的高度是. 6. 在中，，，，点为的中点，为上的点，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共线可得，再由数量积的定义可得. 【详解】因为点为的中点，所以， 由，且共线， 所以，， . 7. 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 8. 在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目考查解三角形的综合应用，重点考查余弦定理，正弦定理，三角恒等变换与三角形内角和定理.解题关键是通过余弦定理的代入运算，利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，再利用三角恒等式化简，得到内角之间的数量关系，进而求出未知角. 【详解】中，因为，由，， 所以，； 又因为，(为的外接圆的半径)， ，，，得， 又，，， 所以， 两角和的正弦公式，得，，， 中，，当时，所以，. 当时，矛盾，不存在，故选项D正确. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值为6 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，，则，根据复数的运算依次判断ABC，根据复数的几何意义判断D. 【详解】设，，，则 对于A，，， 所以，故A正确； 对于B，当时，，， 此时，故B错误； 对于C，，， 故不一定成立，故C错误； 对于D，表示点在复平面内以为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， 所以的最大值为，故D正确； 10. 已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 侧面积为 B. 过两条母线的截面面积的最大值为2 C. 圆锥的内切球半径为 D. 设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由扇形的面积公式计算判断A；根据圆锥的性质计算判断B；设内切球球心为，半径为，过作，根据相似三角形计算判断C；根据异面直线所成角的求法计算判断D. 【详解】对于A，设圆锥的母线长为，由题意可知， 所以圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且， 所以顶角为锐角，故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积， 其面积为，故B正确； 对于C，设内切球球心为，半径为，过作， 则，，则与相似， 则，即，故C正确； 对于D，过点作交底面圆于，如图所示： 则即为与所成角或其补角， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以为弧的中点，为弧的中点， 故， 所以， 所以则与所成角的余弦值为，故D正确. 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 设，若是的重心，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若是的内心，满足，则的值为 D. 若且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A根据重心定理及三点共线定理可得；对于B，由条件可得与到的距离比，进而可得三角形面积比；对C，先由内心可知，结合条件可得，再由正弦定理可得；对D，由条件可得及，再可得，故D错误. 【详解】对于A，设是的中点，所以， 因为，所以，，故A正确； 对于B，设是的中点，由，得， 所以，所以到的距离与到的距离的比为， 所以，故B错误； 对于C，因为是的内心，所以是的三个内角的角平分线的交点， 设延长交于点，记内切圆半径为. 因为是的平分线，所以， 所以， 同理在，，又因为，所以， 所以，因此， 所以， 所以，即， 所以，由条件，得， 再由正弦定理可得，故C正确； 对于D，由，得， ，即， ，， ，，即，得. 同理，， ，， ，，， ，，所以. 又因为，所以，， 因为，所以，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由实系数一元二次方程在复数集内的根与系数的关系解得. 【详解】因为是关于的方程的一个根，且，为实数， 所以也是关于的方程的一个根， 由根与系数的关系可得：，解得， 所以. 13. 若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径， 因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，. 所以，球的表面积为. 14. 的内角，，所对的边分别为，，，其面积为，若点满足，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，根据余弦定理，， 化简，使用基本不等式求最值，再检验最值可以取到． 【详解】，． 设，，则． ，即得， 由得，即， 平方得， 即，解得． 由余弦定理， 而，代入所求式： 当且仅当时取等号，此时，可以构成三角形． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）结合（1）可知或其补角即为所求，在中，设值求解即可. 【小问1详解】 连接，， 在中， ，分别为，的中点， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 由（1）知， 或其补角即为所求， 在中，设， 则，， 所以. 16. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量平行的坐标条件求出，代入求解即可 (2)将转化为关于的二次根式，再配方求解最值即可 【小问1详解】 ，且 ， 所以， ，解得 ，，，； 【小问2详解】 的值域为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； （3）若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可； （3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为 所以，所以， 所以 【小问2详解】 因为， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， ，所以. 【小问3详解】 设，则，，， 所以， 在中， 在中，， 作商得， 设，因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 所以. 19. 若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且，记.如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得. （1）在，上分别取点，（异于端点），连交于点，证明：为的中点，且； （2）已知，. ①若，求的最大值； ②若，，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用定理及三角形的面积公式即可证明为的中点，根据，和，即可证明； （2）①由题意可得，从而可得， ， ，设，，利用正弦、余弦定理及三角函数的性质求解即可； ②由正弦定理及，可得，根据，可得，从而得，，由余弦定理求得，即可求出的值. 【小问1详解】 证明： ， 其中为的高， 为中点； ， 又， ， ， . 【小问2详解】 由（1）知，，， , ， 又为中点，， ， 设，， ①，，， 由，可得， 平方得，，. 在中，由正弦定理可得：， 将，代入， ， ，，， 当，即时，等号成立， ， , 当时，取最大值; ②，, ,， 又， ， 联立,得，， ， , . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025—2026学年度下学期 高一学年期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 向量，的夹角为，并且，是单位向量，向量满足，那么向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，且，则与为异面直线 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则与为异面直线 D. 若，，且，则 5. 如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点.测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是.那么测得建筑的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，点为的中点，为上的点，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值为6 10. 已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 侧面积为 B. 过两条母线的截面面积的最大值为2 C. 圆锥的内切球半径为 D. 设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 设，若是的重心，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若是的内心，满足，则的值为 D. 若且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则________. 13. 若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 14. 的内角，，所对的边分别为，，，其面积为，若点满足，且，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，求函数的值域. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； （3）若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 19. 若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且，记.如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得. （1）在，上分别取点，（异于端点），连交于点，证明：为的中点，且； （2）已知，. ①若，求的最大值； ②若，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $