2.7 指数与对数的运算讲义——2027届高三数学一轮复习

第7节　指数与对数的运算 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 　　 指数幂的运算 1.根式 （1）一般地，如果xn＝a，那么　　　叫做a的n次方根； （2）式子叫做　　　　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； （3）（）n＝　　.当n为奇数时，＝　　　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 题组练透 1.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.＝ B.·（4y－a）＝4x C.÷＝－9a（a＞0，b＞0） D.－（1＋）－1＋（1＋）0＝3－2 2.〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　） A.a2＋a－2＝7 B.－＝±1 C.＋＝± D.＋＝2 3.（0.008 1－×［81－0.25＋－10×0.02＝　　　　. 指数幂的运算 对数式的运算 概念 一般地，如果　　　　　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　　　，其中a叫做对数的　　　，N叫做　　　　 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔　　　 loga1＝　　；logaa＝　　 ＝　 运算 性质 loga（MN）＝　　　　　 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝　　　　　 logaMn＝　　　　（n∈R） 换底 公式 logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1） 结论：（1）换底公式的变形：①logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）；②lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. （2）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. （1）log535＋2lo－log5－log514＝（　　） A.1　　　　B.2 C.3　　　　 D.4 （2）（2026·广东广州模拟）若log2m＋log4n＝2，则m2n＝（　　） A.3 B.4 C.9 D.16 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算； （3）ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 练1 已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝　　　　. 指对运算的应用 角度1　指数式与对数式的综合运算 （1）若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　　） A.－2 B. C. D.1 （2）（2024·北京高考9题）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　） A.log2 ＜ B.log2 ＞ C.log2 ＜x1＋x2 D.log2 ＞x1＋x2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　对于将等式logax＝logby＝logcz（或等式ax＝by＝cz）作为已知条件，求x，y，z的值的问题，通常设logax＝logby＝logcz＝k（或ax＝by＝cz＝k＞0），则x＝ak，y＝bk，z＝ck（或x＝logak，y＝logbk，z＝logck）. 角度2　实际应用 （2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20个小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A.2 B.4 C.20 D.40 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 （1）理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系； （2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 练2 （1）已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝　　　　； （2）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20 mg/m3.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100 mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：min）满足关系式：y＝N0（）t（N0为初始浓度），那么从现在起至少经过　　　min才能达到排放标准.（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果取整数） 第7节　指数与对数的运算 （时间：60分钟，满分：88分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　） A.＝－ B.（6 ＝36 C.若m8＝2，则m＝ D.＝2－π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.计算：2lg－lg ＝（　　） A.10 B.1 C.2 D.lg 5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝（　　） A.＋ B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.我们已经知道1 mol物质的原子个数为6.02×1023，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为2290.下列各数中与2290最接近的是（参考数据：lg 2≈0.301）（　　） A.1085 B.1086 C.1087 D.1088 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.（－60－（＝－1 B.（＋ln（ln e）＝7 C.log23×log34＝log67 D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕若10a＝4，10b＝25，则（　　） A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＞lg22 D.b－a＞lg 6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.若ex＝2 026，e－y＝1 013，则x＋y＝　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），若f（ln 2）·f（ln 4）＝8，则a＝　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.已知a＞1且－＝－，则a＝　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（10分）已知x－x－1＝2（x＞0），求的值. 11.已知2×3a＝5×7b＝1，则（　　） A.a＞b＞－1 B.b＞a＞－1 C.a＞－1＞b D.b＞－1＞a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.〔多选〕已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（　　） A.＋＝ B.3x＞4y＞6z C.x＋y＞（＋）z D.xy＞2z2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.〔情境创新〕已知函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做“企盼数”，则区间[1，2 026]上的“企盼数”共有　　　　个. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）设关于x的方程lg2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β. （1）求实数p的取值范围； （2）求logαβ＋logβα的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7节　指数与对数的运算 课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 指数幂的运算 1.根式 （1）一般地，如果xn＝a，那么　x　叫做a的n次方根； （2）式子叫做　根式　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； （3）（）n＝　a　.当n为奇数时，＝　a　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 题组练透 1.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.＝ B.·（4y－a）＝4x C.÷＝－9a（a＞0，b＞0） D.－（1＋）－1＋（1＋）0＝3－2 解析：BC　对于A，＝＝＝＝≠，所以A错误；对于B，·（4y－a）＝4·ya－a＝4xy0＝4x，所以B正确；对于C，÷＝－9·＝－9a（a＞0，b＞0），所以C正确；对于D，－（1＋）－1＋（1＋）0＝（－1－＋1＝－1－（－1）＋1＝1，所以D错误. 2.〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　） A.a2＋a－2＝7 B.－＝±1 C.＋＝± D.＋＝2 解析：ABD　将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为＝a－2＋a－1＝3－2＝1，，的大小不确定，所以－＝±1，故B正确；因为＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，又因为＞0，＞0，所以＋＝，故C错误；由立方和公式，可得＋＝＋＝（a－1＋a－1）＝×（3－1）＝2，故D正确.故选A、B、D. 3.（0.008 1－×［81－0.25＋－10×0.02＝　　0　　. 解析：原式＝－（3×1×［3－1＋－10×[（0.3）3＝－×－10×0.3＝－－3＝0. 练后悟通 指数幂的运算 对数式的运算 概念 一般地，如果　ax＝N　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　logaN　，其中a叫做对数的　底数　，N叫做　真数　 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔　x＝logaN　 loga1＝　0　；logaa＝　1　 ＝　N　 运算 性质 loga（MN）＝　logaM＋logaN　 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝　logaM－logaN　 logaMn＝　nlogaM　（n∈R） 换底 公式 logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1） 结论：（1）换底公式的变形：①logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）；②lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. （2）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. （1）log535＋2lo－log5－log514＝（　B　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析： 原式＝log535－log5－log514＋lo（）2＝log5＋lo2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. （2）（2026·广东广州模拟）若log2m＋log4n＝2，则m2n＝（　D　） A.3 B.4 C.9 D.16 解析：因为log2m＋log4n＝2，所以log2m＋log2n＝2，故log2m＋log2＝log24，化简得log2＝log24，所以m＝4，故m2n＝16. 规律方法 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算； （3）ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 练1 已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝　　. 解析：log1815＝＝＝＝. 指对运算的应用 角度1　指数式与对数式的综合运算 （1）若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　B　） A.－2 B. C. D.1 解析： 由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝××＝2，则log4（abc）＝log42＝. （2）（2024·北京高考9题）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　B　） A.log2 ＜ B.log2 ＞ C.log2 ＜x1＋x2 D.log2 ＞x1＋x2 解析：因为（x1，y1），（x2，y2）为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝，故选B. 规律方法 　　对于将等式logax＝logby＝logcz（或等式ax＝by＝cz）作为已知条件，求x，y，z的值的问题，通常设logax＝logby＝logcz＝k（或ax＝by＝cz＝k＞0），则x＝ak，y＝bk，z＝ck（或x＝logak，y＝logbk，z＝logck）. 角度2　实际应用 （2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20个小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A.2 B.4 C.20 D.40 解析：B　由题意，得klog2（1.024×109）－klog2106＝20，即klog2＝20，∴klog21 024＝20，∴10k＝20，解得k＝2，即T＝2log2N.∴2log2（4.096×109）－2log2（1.024×109）＝2log24＝4.故选B. 规律方法 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 （1）理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系； （2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 练2 （1）已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝　　； 解析： 因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3，所以am＋2n＝am·a2n＝am·＝. （2）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20 mg/m3.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100 mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：min）满足关系式：y＝N0（）t（N0为初始浓度），那么从现在起至少经过　16　min才能达到排放标准.（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果取整数） 解析：由题意得100（）t≤20，即（）t≤⇒tlg≤lg⇒t（2lg 3－1）≤－lg 5，故t≥＝≈≈15.26，所以从现在起至少经过16 min 才能达到排放标准. （时间：60分钟，满分：88分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　） A.＝－ B.（＝36 C.若m8＝2，则m＝ D.＝2－π 解析：B　对于A，＝＝，故A错误；对于B，（＝＝62＝36，故B正确；对于C，m8＝2，故m＝±，故C错误；对于D，＝｜2－π｜＝π－2，故D错误. 2.计算：2lg－lg ＝（　　） A.10 B.1 C.2 D.lg 5 解析：B　原式＝lg（）2＋lg＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B. 3.已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝（　　） A.＋ B. C. D. 解析：D　由b＝log23，得＝log32，则lg 3＝＝＝＝. 4.我们已经知道1 mol物质的原子个数为6.02×1023，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为2290.下列各数中与2290最接近的是（参考数据：lg 2≈0.301）（　　） A.1085 B.1086 C.1087 D.1088 解析：C　因为lg 2290＝290lg 2≈290×0.301＝87.29，所以2290≈1087.29，与2290最接近的是1087. 5.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.（－60－（＝－1 B.（＋ln（ln e）＝7 C.log23×log34＝log67 D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 解析：ABD　对于A，原式＝－1－＝－1，所以A正确；对于B，原式＝（＋ln（ln e）＝7＋ln 1＝7，所以B正确；对于C，原式＝×＝×＝2，所以C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2（lg 5＋lg 2）－lg ＝2－2＝0，所以D正确.故选A、B、D. 6.〔多选〕若10a＝4，10b＝25，则（　　） A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＞lg22 D.b－a＞lg 6 解析：ACD　由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，A选项正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg＜lg 10＝1，B选项错误；ab＝（lg 4）×（lg 25）＞（lg 2）×（lg 2）＝lg22，C选项正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg＞lg＝lg 6，D选项正确.故选A、C、D. 7.若ex＝2 026，e－y＝1 013，则x＋y＝　　ln 2　　. 解析：ex＝2 026，e－y＝1 013，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 8.已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），若f（ln 2）·f（ln 4）＝8，则a＝　　e　　. 解析：由f（ln 2）f（ln 4）＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝aln 8＝8，解得a＝e. 9.已知a＞1且－＝－，则a＝　　64　　. 解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2（a＞1），则t＞0，故3t－＝－，得t＝（t＝－1舍去），所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 10.（10分）已知x－x－1＝2（x＞0），求的值. 解：因为x－x－1＝2（x＞0）， 所以（x－x－1）2＝12，即x2＋x－2－2＝12， 所以x2＋x－2＝14，所以（x＋x－1）2＝x2＋x－2＋2＝16，故x＋x－1＝4， 所以＝＝＝. 11.已知2×3a＝5×7b＝1，则（　　） A.a＞b＞－1 B.b＞a＞－1 C.a＞－1＞b D.b＞－1＞a 解析：A　3a＝＞，则a＞－1，7b＝＞，则b＞－1.因为3a＝，所以a＝－log32.因为7b＝，所以b＝－log75.又log32＝log278＜log279＝，log75＝lo125＞lo49＝，所以－log32＞－log75，故a＞b＞－1.故选A. 12.〔多选〕已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（　　） A.＋＝ B.3x＞4y＞6z C.x＋y＞（＋）z D.xy＞2z2 解析：ACD　设3x＝4y＝6z＝t（t＞1），则x＝，y＝，z＝，因为＋＝logt3＋logt4＝logt6＝，故选项A正确.因为＝4logt3＝logt81，＝3logt4＝logt64，所以＞，即3x＜4y，故选项B不正确.因为＝＋＝＋＝＋（＋）＞＋，故选项C正确.因为＝×＝log36×log46＝＝＝1＋（＋）＞2，故选项D正确. 13.〔情境创新〕已知函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做“企盼数”，则区间[1，2 026]上的“企盼数”共有　　9　　个. 解析：令g（k）＝f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），因为f（k）＝log（k＋1）（k＋2）＝，所以g（k）＝××…×＝log2（k＋2）.令g（k）＝m，要使g（k）为整数，则k＋2＝2m，m∈N*.又k∈[1，2 026]，所以2m∈[3，2 028].因为22＝4，23＝8，…，210＝1 024，211＝2 048，所以m＝2，3，…，10.因此区间[1，2 026]上的“企盼数”共有9个. 14.（15分）设关于x的方程lg2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β. （1）求实数p的取值范围； （2）求logαβ＋logβα的取值范围. 解：（1）因为lg2x－lg x2＋3p＝0，即lg2x－2lg x＋3p＝0，设t＝lg x，则关于t的方程t2－2t＋3p＝0的两根为lg α和lg β，所以Δ＝（－2）2－12p≥0，解得p≤，故p的取值范围为（－∞，］. （2）由根与系数的关系，得所以logαβ＋logβα＝＋＝＝＝＝－2.因为3p≤1且3p≠0，所以≥4或＜0， 所以－2≥2或－2＜－2，所以logαβ＋logβα的取值范围为（－∞，－2）∪[2，＋∞） 学科网（北京）股份有限公司 $