浙江省杭州市第十四中学附属学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

浙江省杭州市第十四中学附属学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：6，6，7，7，7，8，8，这组数据的中位数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（3分）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D＝130°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣nx﹣3＝0，则该方程解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 6．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝4，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 8．（3分）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 9．（3分）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c＝0；②cx2+bx+a＝0（a≠c≠0）．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程①有一个解为x＝m（m≠0），则方程②一定有一个解为， 乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1＝1，x2＝﹣1， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠D＝45°，∠ACD＝90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF＝90°交AC的延长线于点F．记BE＝x，CF＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）当x＝2时，二次根式的值是　 　 ． 12．（3分）若一组数据2，3，5，x，8的众数是2，则这组数据的平均数是　 　 ． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根为2，则b的值为 　 　 ． 14．（3分）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步？若设宽为x步，则根据题意可列方程为 　 　 ． 15．（3分）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是　 　 ． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，CD＝13，将▱ABCD沿对角线AC翻折后，点B落到点B′处，CB′⊥AD，垂足为点F，B′F＝5，则AC＝　 　 ． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）解方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x2﹣4x﹣5＝0． 19．（8分）为了了解八年级学生双休日的上网时间（单位：小时），某校随机抽取了50名学生进行调查，得到了他们上周双休日上网时间的一组样本数据，整理并绘制成如下的统计图． （1）这50个样本数据的众数是　 　 小时，中位数是　 　 小时． （2）求出这50个样本数据的平均数． （3）根据样本数据，估算该校八年级500名学生双休日上网时间超过3小时的人数． 20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＞AB．以点C为圆心，CD为半径作弧，交边BC于点E，连接AE． （1）求证：∠ADE＝∠CDE； （2）若AE⊥BC，CE＝5，BE＝3，求ED的长． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k﹣3）x+k﹣4＝0． （1）求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． （2）若两根异号且负根的绝对值大，求k的取值范围． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD． （1）若BC＝2，，求AD的长． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由． ②若AD＝EC，求的值． 23．（10分）综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若枕头的售价定为每个50元时，每月可销售100个；若枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，枕头的进价为每个20元，假设枕头全部售完（进货量＝销售量），设每个枕头降价x元（x为签数），回答下列问题： 【问题】 （1）任务1：枕头的实际售价为　 　 （用含x的代数式表示），枕头的销售量为　 　 （用含x的代数式表示）； （2）任务2；若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价，反之，请说明理由；备注：利润＝（售价﹣进价）×销售量． （3）任务3：依靠试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 24．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝4，∠BCE＝30°． （1）求线段EC的长； （2）求证：∠EMC＝2∠AEM； （3）如果EM＝8﹣AE，求△AEM的面积． 浙江省杭州市第十四中学附属学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C B B B A C B 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：6，6，7，7，7，8，8，这组数据的中位数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】把一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，中间的一个数据或两个数据的平均数是这一组数据的中位数． 【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列，中间的一个数据是7， ∴这组数据的中位数是7． 故选：B． 【点评】本题主要考查中位数的求法，熟练掌握中位数的求法是解题关键． 2．（3分）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数得出x﹣4≥0，求解即可得解． 【解答】解：根据题意可知，x﹣4≥0， 解得：x≥4， ∴x的值可以是4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是关键． 3．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D＝130°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【分析】利用平行四边形的对角相等求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠B+∠D＝130°， ∴∠B＝∠D＝65°． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B． ×＝＝，所以B选项不符合题意； C． ÷＝＝，所以C选项符合题意； D． ＝3，所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣nx﹣3＝0，则该方程解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 【答案】B 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵Δ＝（﹣n）2﹣4×（﹣3） ＝n2+12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝4，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 【答案】B 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， x2﹣6x＝4， x2﹣6x+9＝4+9， （x﹣3）2＝13． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得， （n﹣2）•180°＝3×360°， 解得n＝8， ∴这个多边形的边数为8． 故选：B． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 8．（3分）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【分析】把式子变形，再利用根与系数的关系，代入数据求值即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，做题关键是掌握根与系数的关系式． 9．（3分）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c＝0；②cx2+bx+a＝0（a≠c≠0）．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程①有一个解为x＝m（m≠0），则方程②一定有一个解为， 乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1＝1，x2＝﹣1， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义可知x＝m（m≠0）是ax2+bx+c＝0的解，则有am2+bm+c＝0，因为m≠0，方程两边同时乘以，可得：，所以方程②一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程①②有公共解，则有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，可得解为：x＝1或﹣1，即这两个方程的公共解是x＝1或x＝﹣1中的一个． 【解答】解：由条件可知am2+bm+c＝0， 方程两边同时乘以， 可得：， ∴方程②一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； ∵方程①②有公共解， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a， 整理得：（a﹣c）x2＝a﹣c， ∴方程的公共解为：x＝1或﹣1， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠D＝45°，∠ACD＝90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF＝90°交AC的延长线于点F．记BE＝x，CF＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 【答案】B 【分析】证明△AME≌△CMF，推出AE＝CF可得结论． 【解答】解：连接CM，设AF，ME交于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝90°， ∵∠D＝45°， ∴∠CAD＝∠D＝45°， ∴CA＝CD， ∵AM＝MD， ∴CM＝AM＝MD，CM⊥AD， ∵∠AMC＝∠EMF＝90°， ∴∠AME＝∠CMF， ∵∠EAO＝∠FMO＝90°，∠AOE＝∠FOBE＝2M， ∴∠E＝∠F， ∴△AME≌△CMF（AAS）， ∴AE＝CF， ∵AE﹣BE＝AB＝2， ∴CF﹣BE＝2， ∴y﹣x＝2， ∴x﹣y＝﹣2的值不变． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）当x＝2时，二次根式的值是　2　 ． 【答案】2 【分析】把x＝2代入已知二次根式进行求值即可． 【解答】解：把x＝2代入，得 ＝＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的定义．注意：代入数值后，二次根式要化为最简形式． 12．（3分）若一组数据2，3，5，x，8的众数是2，则这组数据的平均数是　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据众数的定义可得x的值，再根据平均数的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵数据2，3，5，x，8的众数是2，即2出现的次数最多， ∴x＝2， ∴平均数是． 故答案为：4． 【点评】本题考查众数、平均数，理解众数的意义，掌握平均数的计算方法是正确解答的前提． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根为2，则b的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可． 【解答】解：将x＝2代入方程可得： 4+2b﹣2＝0， 解得b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的解：解决本题的关键是要将方程的已知解代入方程进行求解． 14．（3分）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步？若设宽为x步，则根据题意可列方程为 x（60﹣x）＝864　 ． 【答案】x（60﹣x）＝864． 【分析】根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：依题意，得：x（60﹣x）＝864， 故答案为：x（60﹣x）＝864． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（3分）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是　3.5　 ． 【答案】3.5 【分析】根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案． 【解答】解：平均数为：， 故方差是：[（4﹣5）2+（5﹣5）2+（8﹣5）2+（3﹣5）2]＝3.5． 故答案为：3.5． 【点评】本题主要考查方差以及算术平均数，解题的关键是掌握相关运算． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，CD＝13，将▱ABCD沿对角线AC翻折后，点B落到点B′处，CB′⊥AD，垂足为点F，B′F＝5，则AC＝　12　 ． 【答案】12． 【分析】根据平行四边形的性质求出AB＝CD＝13，∠B＝∠D，根据折叠的性质求出AB＝AB′＝13，∠B＝∠B′，则AB′＝CD，∠B′＝∠D，根据勾股定理求出AF＝12，利用AAS证明△AB′F≌△CDF，根据全等三角形的性质求出AF＝CF＝12，最后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝13，∠B＝∠D， 根据折叠的性质可得，AB＝AB′＝13，∠B＝∠B′， ∴AB′＝CD，∠B′＝∠D， ∵CB′⊥AD， ∴∠AFB′＝∠CFD＝∠AFC＝90°， ∵B′F＝5， ∴AF＝＝＝12， 在△AB′F和△CDF中， ， ∴△AB′F≌△CDF（AAS）， ∴AF＝CF＝12， ∴AC＝＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）11． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝4﹣+ ＝； （2）原式＝12﹣1 ＝11． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 18．（8分）解方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x2﹣4x﹣5＝0． 【答案】（1）x1＝0，x2＝4； （2）x1＝﹣1，x2＝5． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝0， 因式分解得：x（x﹣4）＝0， 解得：x1＝0，x2＝4； （2）x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得：（x+1）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝5． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 19．（8分）为了了解八年级学生双休日的上网时间（单位：小时），某校随机抽取了50名学生进行调查，得到了他们上周双休日上网时间的一组样本数据，整理并绘制成如下的统计图． （1）这50个样本数据的众数是　2　 小时，中位数是　2　 小时． （2）求出这50个样本数据的平均数． （3）根据样本数据，估算该校八年级500名学生双休日上网时间超过3小时的人数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义列式计算即可； （3）总人数乘以样本中上网时间超过3小时的人数所占比例即可． 【解答】解：（1）这50个样本数据的众数是2小时，中位数是＝2（小时）， 故答案为：2，2； （2）这50个样本数据的平均数为×（1×15+2×20+3×12+4×2+5）＝2.08（小时）； （3）500×＝30（人）， 答：估算该校八年级500名学生双休日上网时间超过3小时的人数为30人． 【点评】考查了直方图的作图及利用直方图获得所需要的信息的能力，要求学生对平均数，中位数，众数的求法熟练掌握，特别是中位数的意义． 20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＞AB．以点C为圆心，CD为半径作弧，交边BC于点E，连接AE． （1）求证：∠ADE＝∠CDE； （2）若AE⊥BC，CE＝5，BE＝3，求ED的长． 【答案】（1）见解析；（2）4． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可； （2）如图，过点C作CH⊥AD于点H．求出AE＝4，利用勾股定理求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED， ∴∠ADE＝∠CDE； （2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H． ∵AE⊥BC，AD∥BC， ∴∠AEC＝∠EAC＝∠CHA＝90°， ∴四边形AECH是矩形， ∴AH＝EC＝5， ∵BE＝3， ∴AD＝BC＝8， ∴DH＝AD﹣AH＝3， ∵CD＝CE＝5， ∴AE＝CH＝＝4， ∴DE＝＝＝4． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k﹣3）x+k﹣4＝0． （1）求证：无论k为何实数，此方程总有实数根． （2）若两根异号且负根的绝对值大，求k的取值范围． 【答案】（1）证明：Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×（k﹣4）＝k2﹣6k+9﹣4k+16＝k2﹣10k+25＝（k﹣5）2， ∵（k﹣5）2≥0， 即△≥0， ∴无论k为何实数，方程总有实数根； （2）k的取值范围为k＜3． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝（k﹣5）2≥0，由此可证出：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系列出关于k的不等式组，解不等式组可得出答案． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×（k﹣4）＝k2﹣6k+9﹣4k+16＝k2﹣10k+25＝（k﹣5）2， ∵（k﹣5）2≥0， 即△≥0， ∴无论k为何实数，方程总有实数根； （2）解：∵两根异号且负根的绝对值大， ∴， ∴k＜3， ∴k的取值范围为k＜3． 【点评】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及根与系数的关系． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD． （1）若BC＝2，，求AD的长． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由． ②若AD＝EC，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在直角三角形ACB中，利用勾股定理列方程，求解，根据问题的实际意义，对解作出取舍即可； （2）①根据勾股定理，用含a和b的式子表示出AD，再由公式法得出方程x2+2ax﹣b2＝0的解，二者对比即可得结论； ②由AD＝EC，AD＝AE得AD＝EC＝，根据勾股定理得关于a，b的等式，变形即可得答案． 【解答】解：（1）∵已知BC＝2，，∠ACB＝90°，由题中作图可知BD＝BC＝2 ∴由勾股定理得：（AD+2）2＝+22 ∴（AD+2）2＝16 ∴AD+2＝4或AD+2＝﹣4 ∴AD＝2或AD＝﹣6（舍） ∴AD的长为2． （2）①由勾股定理得：AB＝＝ ∴AD＝﹣a 解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝＝±﹣a ∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根． ②∵AD＝EC，AD＝AE ∴AD＝EC＝ ∴由勾股定理得：a2+b2＝ ∴a2+b2＝b2+ab+a2 ∴b2＝ab ∴＝． 【点评】本题考查了勾股定理在几何问题中的应用及一元二次方程的根的含义及公式法，本题难度中等，属于中档题． 23．（10分）综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若枕头的售价定为每个50元时，每月可销售100个；若枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，枕头的进价为每个20元，假设枕头全部售完（进货量＝销售量），设每个枕头降价x元（x为签数），回答下列问题： 【问题】 （1）任务1：枕头的实际售价为　（50﹣x）　 （用含x的代数式表示），枕头的销售量为　（100+10x）　 （用含x的代数式表示）； （2）任务2；若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价，反之，请说明理由；备注：利润＝（售价﹣进价）×销售量． （3）任务3：依靠试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 【答案】（1）（50﹣x）；（100+10x）； （2）枕头的售价为45元； （3）当售价为40元时，利润最大． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“利润＝（售价﹣进价）x销售量”，代入相应数据，列出方程，求解即可； （3）列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：枕头的实际售价为（50﹣x）元； 枕头的销售量为（100+10x）个； 故答案为：（50﹣x）；（100+10x）； （2）根据题意得，（50﹣x﹣20）（100+10x）＝3750， 整理得，x2﹣20x+75＝0， 解得，x1＝5，x2＝15， ∵进货不超过200个， ∴100+10x≤200， 解得，x≤10， ∴x＝5， ∴此时枕头的售价为50﹣5＝45元； （3）设利润为w元，根据题意得： w＝（50﹣x﹣20）（100+10x）＝﹣10（x﹣10）2+4000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝10时，w有最大值，为4000元． 此时售价为50﹣10＝40元． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用问题．此题具有一定难度，解题的关键是理解题意，根据利润＝（售价﹣进价）x销售量，列出函数关系式求出最值，注意灵活运用二次函数解决实际问题． 24．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝4，∠BCE＝30°． （1）求线段EC的长； （2）求证：∠EMC＝2∠AEM； （3）如果EM＝8﹣AE，求△AEM的面积． 【答案】（1）； （2）如图，延长EM，CD，相交于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠A＝∠MDN，∠AEM＝∠N，CE⊥CD， 在△AEM和△DNM中，， ∴△AEM≌△DNM（AAS）， ∴EM＝MN， ∴CM是Rt△CEN的斜边EN上的中线， ∴CM＝MN， ∴∠MCN＝∠N， ∴∠EMC＝∠MCN+∠N＝2∠N＝2∠AEM； （3）． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得BC＝AD＝8，再根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理即可得； （2）延长EM，CD，相交于点N，先根据平行四边形的性质、三角形全等的判定定理证出△AEM≅△DNM，再根据全等三角形的性质可得EM＝MN，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM＝MN，根据等腰三角形的性质可得∠MCN＝∠N，最后根据三角形的外角性质、等量代换即可得证； （3）延长EM，CD，相交于点N，过点E作EF⊥AM，交MA延长线于点F，先根据全等三角形的性质可得EM＝MN，AE＝DN，设AE＝DN＝x（x＞0），则EM＝8﹣x，再根据线段和差可得EN＝16﹣2x，CN＝4+2x，在Rt△CEN中，利用勾股定理可求出x的值，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理可得EF的长，最后利用三角形的面积公式即可得． 【解答】（1）解：∵点M为边AD的中点，AM＝4， ∴AM＝DM，AD＝2AM＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8， ∵CE⊥AB，∠BCE＝30°， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长EM，CD，相交于点N， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴∠A＝∠MDN，∠AEM＝∠N，CE⊥CD， 在△AEM和△DNM中，， ∴△AEM≅△DNM（AAS）， ∴EM＝MN， ∴CM＝MN， ∴∠MCN＝∠N， ∴∠EMC＝∠MCN+∠N＝2∠N＝2∠AEM． （3）解：如图，延长EM，CD，相交于点N，过点E作EF⊥AM，交MA延长线于点F， 由（2）已证：△AEM≌△DNM， ∴EM＝MN，AE＝DN， 设AE＝DN＝x（x＞0），则EM＝8﹣AE＝8﹣x， ∴EN＝EM+MN＝2EM＝16﹣2x， 由（1）已得：， ∴CN＝CD+DN＝AB+DN＝AE+BE+DN＝4+2x， ∵EC2+CN2＝EN2，即， 解得， 即， ∵CE⊥AB，∠BCE＝30°， ∴∠B＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠B＝60°， ∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝30°， ∴， 则△AEM的面积为． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°的直角三角形性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形全等的判定与性质、等边对等角、三角形的外角性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $