函数的概念 导学案-2027届高考数学一轮总复习（天津市适用）

高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数06函数的概念 1、 考情分析 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般会以函数作为载体，考查函数的定义域与值域，是新高考一轮复习的重点内容. 2、 知识梳理 知识点一 函数的概念及判断 1.函数的概念 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点二 函数的定义域 1.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数三要素：定义域、值域、对应法则. 3.同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 4.函数的定义域求法：求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 知识点三 分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 三、类型应用 类型一 函数的概念 例1：设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义一一判定选项即可. 【详解】集合到集合的函数即集合中的任意元素，在对应关系作用下，集合中都有唯一元素与之对应， 对于A，由图象可知符合函数的定义，即A正确； 对于B，显然定义域没有取尽集合中的元素，不符合函数定义，即B错误； 对于C，显然对于中的元素，中与之对应的元素并不唯一， 如时，对应值有2个，即C错误； 对于D，由图象，显然时，或，也不符函数定义，即D错误. 故选：A 变式训练1-1：下列表示函数图象的是（    ） A．    B．  B．  C．   D．   【答案】D 【知识点】图象法表示函数、函数关系的判断 【分析】结合各个选项，利用函数的定义，即可求解. 【详解】由A、B、C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应， 由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数， 对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，所以D正确． 故选：D. 变式训练1-2：下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：集合中的元素，按照对应关系在集合中没有实数与之对应，所以不是的函数； B：集合中的任何实数，按照对应关系在集合都有唯一的实数与之对应，所以是的函数； C：集合中非的实数，按照对应关系在集合都有两个实数与之对应，所以不是的函数； D：集合中的正奇数，按照对应关系在集合中没有自然数与之对应，所以不是的函数， 故选：B 变式训练1-3：在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 类型二 相同函数的判断 例2：下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】对于A，函数与的值域不同，不是同一函数，所以A错误； 对于B，函数与， 两函数的定义域都为，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D错误. 故选：B. 变式训练2：下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误； B：的定义域为的定义域为，则B错误； C：和的定义域均为，且，则C正确； D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：C 类型三 函数的定义域 例3：函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数表达式中根式、分式、对数的定义域要求列不等式组，求解不等式组得到函数定义域． 【详解】由题意得解得， 所以的定义域为． 故选A． 变式训练3-1：函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【详解】要使函数有意义，需使，解得或， 即函数的定义域为. 变式训练3-2：设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、具体函数的定义域 【详解】集合，根据二次根式的性质， 可得， 解得，即， 因为，所以， 又，解不等式， 可得，即， 所以，所以A选项正确. 变式训练3-3：求函数的定义域． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据偶次根式有意义的条件是被开方大于等于0，列不等式可解得. 【详解】由题意知，解得或， 所以定义域为. 变式训练3-4：函数的定义域为___________． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据具体函数对定义域的限制，列不等式求解即可得. 【详解】函数有意义，等价于， 解得 即函数的定义域为. 故答案为：. 变式训练3-5：函数 的定义域为_____． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据对数函数，根式的性质得，再解不等式即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为 变式训练3-6：函数的定义域为___________． 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 例4：已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 变式训练4-1：已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】抽象函数定义域求解注意两点，一是定义域为的取值范围，二是同一个函数符号下，括号内的取值范围一致. 【详解】由题意得，解得， 故的定义域为. 变式训练4-2：已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复合函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 类型四 由定义域求参数范围 例5：已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 变式训练5：若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】将函数的定义域转化为恒成立即可． 【详解】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D 类型五 分段函数求值 例6：若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求分段函数值、求函数值、对数的运算、指数幂的运算 【详解】由题意得， 则. 变式训练6-1：已知函数则___________. 【答案】3 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、求分段函数值 【分析】根据分段函数的解析式分别代入计算即可得出结果. 【详解】 变式训练6-2：已知函数则______. 【答案】2 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数解析式求值即可. 【详解】因为 所以， 故答案为：2 变式训练6-3：已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数值、对数的运算 【分析】结合函数的解析式计算可得的值. 【详解】因为函数，则. 类型六 由分段函数值求参数 例7：已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 变式训练7-1：已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分类讨论代入求值即可. 【详解】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 变式训练7-2：设函数，若，则______． 【答案】1 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 类型七 分段函数解不等式 例8：已知，则______；若，则的取值范围是______. 【答案】 0 【知识点】对数的运算、求分段函数值、解分段函数不等式 【分析】分别在各段上解不等式，并检验解是否在对应区间内即可. 【详解】因为， ， 当时，，得， 当时，，得， 故的取值范围是. 变式训练8：已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知f（g（x））求解析式、解分段函数不等式 【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可． 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 类型八 由分段函数单调性求参数范围 例9：已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，解得 又在上单调递增，即 ； 函数在上单调递增，即，解得， 综上，的取值范围是. 变式训练9：已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 类型九 分段函数解析式及图像 例10：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 【答案】(1)； (2)作图见解析. 【知识点】画出具体函数图象、分段函数模型的应用、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据给定条件，分段求出函数关系式作答. （2）由（1）中函数式，作出函数图象即可作答. 【详解】（1）依题意，令x为里程数（单位：公里），为行驶x公里的票价（单位：元）， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以票价与里程之间的函数关系式为. （2）由（1）得函数的图象，如下： 变式训练10：作函数的图象 【答案】详见解析. 【知识点】一次函数的图像和性质、画出具体函数图象、分段函数的定义域 【分析】根据分段函数，利用一次函数的图象求解. 【详解】函数， 其图象如图所示：    类型十 数学情境 1.所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【答案】D 【知识点】图象法表示函数、分段函数模型的应用 【分析】先逐一分析各事件对应的距离和时间的关系，找出与之相对应的图象，再根据事件的顺序对相应的图象进行排序，从而判断选项． 【详解】事件(1)：离开家返回家找作业本上学，距离变化为“上升下降为0保持为0上升”，对应图象为④； 事件(2)：匀速行驶堵车继续匀速行驶，距离变化为“匀速上升水平不变匀速上升”，对应图象为①； 事件(3)：缓缓加速，速度逐渐增大，距离关于时间的曲线斜率（速度）递增，对应图象为②； 综上，与所给3件事吻合最好的顺序为④①②，故D正确． 故选：D． 2.如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法表示函数 【分析】根据给定的图象，结合选项判断得解. 【详解】观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变， 选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求. 故选：D 3.‌莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，‌‌已知在上为减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】先求出每段函数单调递减时的取值范围，再根据分段点处的函数值关系求出的取值范围，最后取交集得到的最终取值范围. 【详解】因为在上为减函数，所以一次函数的斜率，即.   二次函数的二次项系数，图象开口向下， 要使在时单调递减，则对称轴，即.   在处，需要满足，解得.   综合以上三个条件，取交集可得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 4、 素养提升 1.对，，记，则函数的最小值为_____． 【答案】 【知识点】函数新定义、分段函数的值域或最值、图象法表示函数 【分析】由题意画出的图象，由图象可知当时，函数有最小值求解即可. 【详解】由题意画出的图象： 由图象可知当时，. 故答案为：. 2．已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【知识点】函数新定义、分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 3.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，则__________. 【答案】 【知识点】函数新定义、求函数值 【分析】将代入的解析式，再根据取整函数的定义计算即得. 【详解】. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数06函数的概念 1、 考情分析 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般会以函数作为载体，考查函数的定义域与值域，是新高考一轮复习的重点内容. 2、 知识梳理 知识点一 函数的概念及判断 1.函数的概念 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应 名称 称 为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点二 函数的定义域 1.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ，与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ． 2.函数三要素：定义域、值域、 . 3.同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则 时，两个函数才相同. 4.函数的定义域求法：求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母 零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于 ： （3）对数的真数 ，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不 ； （5对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 知识点三 分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ． 三、类型应用 类型一 函数的概念 例1：设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 变式训练1-1：下列表示函数图象的是（    ） A．    B．  B．  C．   D．   变式训练1-2：下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 变式训练1-3：在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 类型二 相同函数的判断 例2：下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式训练2：下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 类型三 函数的定义域 例3：函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 变式训练3-1：函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式训练3-2：设，，，则（   ） A． B． C． D． 变式训练3-3：求函数的定义域． 变式训练3-4：函数的定义域为___________． 变式训练3-5：函数 的定义域为_____． 变式训练3-6：函数的定义域为___________． 例4：已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式训练4-1：已知函数的定义域为，求函数的定义域． 变式训练4-2：已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 类型四 由定义域求参数范围 例5：已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式训练5：若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 类型五 分段函数求值 例6：若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 . 变式训练6-1：已知函数则___________. 变式训练6-2：已知函数则______. 变式训练6-3：已知函数，则（   ） A． B． C． D． 类型六 由分段函数值求参数 例7：已知，若，则实数a的值为________． 变式训练7-1：已知函数，若，则实数a的值为__________． 变式训练7-2：设函数，若，则______． 类型七 分段函数解不等式 例8：已知，则______；若，则的取值范围是______. 变式训练8：已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 类型八 由分段函数单调性求参数范围 例9：已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练9：已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型九 分段函数解析式及图像 例10：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里， (1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式； (2)画出该函数的图像． 变式训练10：作函数的图象 类型十 数学情境 1.所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 2.如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（    ） A． B． C． D． 3.‌莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，‌‌已知在上为减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4、 素养提升 1.对，，记，则函数的最小值为_____． 2．已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 3.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，则__________. 4．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第1页，共3页 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