“综合与实践”压轴题专题训练 2026 年中考数学专题复习

“综合与实践”压轴题专题训练

1.综合与实践
情境要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板如图，需找到合适的切割线．
模型已知矩形数据如图所示作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
操作嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．

如图，嘉嘉的思路如下： 连接，交于点； 过点作，分别交，于点，；

如图，淇淇的方法如下： 在边上截取，连接； 作线段的垂直平分线，交于点； 在边上截取，作直线．

探究根据以上描述，解决下列问题．
图中，矩形的周长为 ______；
在图的基础上，用尺规作图作出直线作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法；
根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．
拓展操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
当时，求的值；
当最大时，直接写出的长．

2.综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．

请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
如图，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上求起跳点与落地点的水平距离的长；
实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物请直接写出该平台的高度平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内．

 

 

 

 

 

 

 

 

3.综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平．
猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由；
拓展延伸：如图，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平连接交边于点，连接．
若，判断与的位置关系，并说明理由；
若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．