6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2 《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

一、课标及课标分析

课标要求

理解正交分解的概念，明确正交分解是将向量分解为两个互相垂直的向量，是平面向量基本定理的特殊情形.

掌握平面向量的坐标表示，理解有序实数对与平面向量之间的一一对应关系.

能够对平面向量进行正交分解，并准确写出向量的坐标，体会数形结合思想，提升数学抽象、直观想象与数学运算核心素养.

课标分析

本节是平面向量从“几何运算”向“代数运算”转化的关键内容.课标强调：以平面向量基本定理为基础，通过引入互相垂直的基底建立向量坐标表示，实现“几何问题代数化”.要求学生理解正交分解的意义，掌握向量坐标的定义与求法，为后续向量的坐标运算、数量积坐标运算、解析几何应用奠定基础，在整个向量知识体系中起到承上启下的核心作用.

二、教材分析

“平面向量的正交分解及坐标表示”是人教A版2019必修第二册6.3.2节内容.教材承接平面向量基本定理，先引入正交分解概念，再通过平面直角坐标系中单位正交基底，给出向量坐标表示的定义；明确向量坐标与点坐标的关系；通过例题讲解由图写坐标、由定义求坐标等基本方法.内容遵循“定理→特殊化（正交）→坐标化→应用”的逻辑，直观易懂、工具性极强，是连接向量几何与代数的桥梁.

三、学情分析

授课人个案修改记录：

学生已经掌握平面向量基本定理，理解任意向量可由基底唯一表示.但对正交（互相垂直）这一特殊基底的优势理解不深；对向量坐标与点坐标的区别与联系容易混淆；在图形中进行正交分解并写出坐标时，容易忽略方向导致符号错误.学生熟悉坐标系，适合通过对比、图示、例题训练突破难点.

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：由平面向量基本定理抽象出正交分解与坐标表示概念.
2. 直观想象素养：借助正交分解与坐标系，理解向量坐标的几何意义.
3. 数学运算素养：能准确对向量进行正交分解，并写出向量坐标.
4. 逻辑推理素养：理解向量坐标表示的唯一性与一一对应关系.

5. 数学建模素养：将平面向量问题转化为坐标运算模型，实现几何问题代数化.

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：正交分解的概念；平面向量的坐标表示；向量坐标的求法.

2. 难点：理解向量坐标与点坐标的联系与区别；起点不在原点的向量坐标表示.

六、教学过程

环节一：检查预习

教师活动

1. 展示预习问题，学生独立完成，巡视并请学生回答.
2. 对回答正确的学生给予肯定，对错误的学生引导分析原因.

预习问题及答案

1. 把一个向量分解为两个________的向量，叫做正交分解.（答案：互相垂直）
2. 与轴、轴同向的单位向量记作，，则________，

________.（答案：；）

3. 若，则的坐标为________.（答案：）
4. 零向量的坐标为________.（答案：）

学生活动

独立作答，举手订正，明确预习薄弱点.

设计目的

检测预习效果，快速聚焦正交分解与坐标表示.

环节二：引入课题

教师活动

1. 回顾平面向量基本定理：

若是同一平面内两个不共线向量，则对平面内任一向量，有且只有一对实数，使.

2. 追问：当基底互相垂直时，会带来什么方便？引入本节课：正交分解及坐标表示.

学生活动

回顾定理，思考特殊基底的意义，进入新课学习.

设计目的

复习旧知，由一般基底过渡到正交基底，自然引入课题.

环节三：合作探究

1. 正交分解的概念（5 分钟）

教师活动