绿野牧原·2026年内蒙古中考数学本土原创模拟卷（二）

绿野牧原·2026内蒙古中考数学本土原创模拟卷（二） 适用版本：人教版教材　 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由倒数的定义可知：的倒数是， 故选：． 由倒数的定义可得出结论． 本题考查了倒数的定义及应用，明确倒数的概念是解题的关键． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，平方差公式和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：、与不是同类项，不能进行加减计算，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：． 3.“经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是(    ) A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】A  【解析】本题考查事件的分类．根据交通信号灯的变化特点，绿灯的出现是可能发生也可能不发生的，属于随机事件． 【详解】经过有交通信号灯的路口时，信号灯可能显示红灯、黄灯或绿灯，遇到绿灯的具体结果无法提前确定． 因此，“遇到绿灯”这一事件是否发生具有不确定性，属于随机事件． 故选A． 4.（原创试题）内蒙古某中学为组织草原研学活动，让学生互相赠送研学纪念徽章作为留念。若全班共送出徽章56枚，设该班有x人，根据题意可列方程得(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据该班有人，则每个人要送 张贺卡，因为全班共送出贺卡张，所以 ，即可作答． 【详解】解：设该班有人，每个人要送 张贺卡， 全班共送出贺卡张， 根据题意可列方程得 ， 故选：． 5.如图，直线被直线所截，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 6.如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，掌握其性质和准确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，     由题意可知：平分， ，， ， ， 故选：． 7.如图，中，平分交于点，且，若，，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】该题考查了相似三角形的性质和判定，根据等腰三角形的性质得出，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D  【解析】解：由题意可得， 方程的两根异号， ， 解得， 二次项系数，开口向上，故A不符合题意； 的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，故B不符合题意； 当时，， 最小值为，故C不符合题意； 当时，， ， 此时，故D符合题意； 故选：． 由二次函数图象与轴有两个交点且位于轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.在一次体育模拟考试中，某班个同学的跳绳成绩单位：次分如下：，，，，，，则这组数据的中位数是          ． 【答案】  【解析】本题考查中位数，根据中位数的求解方法，先将这组数据按照从小到大的顺序排列，找到第个数据即可求解． 【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，，， 则中位数为． 故答案为：． 10.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为           【答案】  【解析】本题考查了圆内接四边形的性质．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 11.如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是          ． 【答案】  【解析】本题考查了位似计算，熟练掌握位似比是解题的关键．设点的横坐标是，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：设点的横坐标是，根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12.我国魏晋时期数学家刘徽在为九章算术作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点若，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】解：边与相切于点， ， 四边形为矩形， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， 由勾股定理得：， 则， 故答案为：． 根据切线的性质得到，根据矩形的性质得到，得到，根据垂径定理求出，解直角三角形分别求出、，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、矩形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 【解析】解：原式 ； 原式 ． 根据实数运算的运算法则进行计算； 根据分式混合运算的运算法则进行计算． 本题考查了实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 14.本小题分（原创试题） 某中学组织学生参与内蒙古特色研学社团活动，为有序开展此项工作，学校对学生最喜欢的研学社团类别进行了调查，设置了草原文化类、科技创新类、社会实践类、非遗体验类（以下分别用A，B，C、D表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图。请根据以上信息，解答下列问题： 请根据以上信息，解答下列问题： 本次参加抽样调查的学生有______，扇形统计图中部分圆心角的度数为______； 将条形统计图补充完整； 甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 【解析】解：本次参加抽样调查的学生有人． 扇形统计图中部分圆心角的度数为． 故答案为：人；． 类型人数为人． 补全条形统计图如图所示． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中这两位同学选到同一类别的结果有种， 这两位同学选到同一类别的概率为． 用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次参加抽样调查的学生人数；用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． 求出类型人数，补全条形统计图即可． 列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选到同一类别的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 15.本小题分（原创试题） 内蒙古博物院推出的非遗文创产品深受游客喜爱，某网店上架了蒙古娃娃、敖包摆件两种文创玩偶。若购买3个蒙古娃娃玩偶和2个敖包摆件共花费140元，且购买一个蒙古娃娃玩偶比购买一个敖包摆件多花5元。 (1) 购买一个蒙古娃娃玩偶、一个敖包摆件各需多少元？ (2) 若某商店计划购买蒙古娃娃玩偶和敖包摆件共50个，总费用不超过1400元，则最多可以买多少个蒙古娃娃玩偶？ 【解析】设购买一个蒙古娃娃玩偶需要元，一个敖包摆件需要元，  由题意得，  解得，  即购买一个蒙古娃娃玩偶需要元，一个敖包摆件需要元，  答：购买一个蒙古娃娃玩偶需要元，一个敖包摆件需要元；  设购买蒙古娃娃玩偶个，则购买敖包摆件个，  由题意列一元一次不等式得，，  解得，  最大为，  答：最多可以买个蒙古娃娃玩偶． 设购买一个蒙古娃娃玩偶需要元，一个敖包摆件需要元，根据题意列二元一次方程组求解即可；  设购买蒙古娃娃玩偶个，则购买敖包摆件个，根据题意列出不等式求解即可． 此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式和方程组是关键． 16.本小题分 如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，． 求证：是的切线； 若，求证：； 在的条件下，若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【解析】证明：是的直径，是上的一点，如图，连接． ，， ，， ， ， ，即， ， 又为圆的半径， 是的切线； 证明：， ， ． 由知，， ， ， ， ； 解：由知，， ， 的半径为， ， 在中，， ． 连接证明即可证明是的切线； 根据，得到，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明； 根据解答即可． 本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 17.本小题分（原创试题） 那达慕大会会场要修建一个截面为抛物线形的拱门，其最大高度为4.5m，宽度为6米，现以地面为x轴建立平面直角坐标系。 (1) 求这条抛物线的函数表达式； (2) 如图所示，会场想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？ (3) 为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”ABCD（由四根木杆AB-BC-CD-DA组成），使B，C两点在抛物线上，A，D两点在地面上，请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？ 【答案】解：由题意知抛物线的顶点坐标为，则 设抛物线的解析式为：， 抛物线上有一点， ， ， 抛物线的解析式为， 即； 当时，， 解得，，， 该横幅的宽度为：米， 答：该横幅的宽度为米； 设 四边形是矩形， ， 根据抛物线的轴对称性，可得：， ，即， 矩形“支架“的周长 ． 当时，矩形“支架“的周长的最大值为， 、、、的长度之和最大值为米， 答：最多需要准备米该种木杆．  【解析】把抛物线的解析式设成顶点式，再代入，求得结果； 令，求出的解，再求其横坐标之差的绝对值便可； 设，用表示矩形的周长，根据周长关于的函数解析式求出其最大值便可． 本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，二次函数的最值的应用，第三小题关键是建立正确的函数关系式，运用函数的最大值的求法解决问题． 18.本小题分 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 观察猜想 如图，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______ ； 类比探究 如图，当为钝角时，请依据题意补全图形无需尺规作图，并判断中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； 拓展应用 当时，若，请求出的值，此时的度数为多少？    【解析】解：如图，过点作于点，  平分，，，  ，  在和中，  ，，  ≌，  ，  ，，，  ，  四边形是矩形，  ，  ，  故答案为：；  不成立，，证明如下：  如图，过点作于点，   平分，，，  ，  在和 中，  ，，  ≌，  ，  ，，，  ，  四边形是矩形，  ，  ；  当时，如图：  ，，  ，  ∽，  ，  ，  ，  在中，，，  ，  ，，  ，  ∽，  ． 如图，过点作于点，由角平分线的性质定理可得，再证明≌可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；  如图，过点作于点，由角平分线的性质定理可得，再证明≌可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；  利用的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 本题是相似形的综合题，主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绿野牧原·2026内蒙古中考数学本土原创模拟卷（二） 适用版本：人教版教材　 1． 命题双向细目表 题号 题型 分值 考查知识点 难易程度 1 选择题 3 实数基础概念 容易 2 选择题 3 整式与幂的运算 容易 3 选择题 3 简单随机事件概率 容易 4 选择题 3 一元二次方程实际应用（草原研学） 中等 5 选择题 3 平行线性质角度计算 容易 6 选择题 3 三角形角平分线综合计算 中等 7 选择题 3 相似三角形判定与性质 中等 8 选择题 3 二次函数图像与系数关系 较难 9 填空题 3 中位数统计（那达慕情境） 容易 10 填空题 3 圆内接四边形性质 容易 11 填空题 3 平面直角坐标系位似变换 中等 12 填空题 3 扇形及阴影面积计算 中等 13 解答题 10 实数运算、分式化简 容易 14 解答题 7 统计图表综合+概率计算 中等 15 解答题 10 方程组与不等式应用（非遗文创） 中等 16 解答题 12 圆的切线证明与几何计算 中等 17 解答题 12 二次函数实际应用（那达慕拱门） 中等 18 解答题 13 几何类比探究压轴题 较难 2． 试卷分析 本试卷依据初中数学课程标准及内蒙古中考命题趋势编写，试题融入草原研学、那达慕、非遗文创等内蒙本土特色情境，贴合本地教学实际。试卷题型、分值、结构严格参照中考标准，知识点覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率各大核心模块。难易梯度合理，基础、中档、难题配比适中，侧重考查学生运算能力、几何推理、统计分析及实际应用与综合探究素养。试题原创改编度高，适合九年级中考模拟检测。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绿野牧原·2026内蒙古中考数学本土原创模拟卷（二） 适用版本：人教版教材　 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.“经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是(    ) A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 4.（原创试题）内蒙古某中学为组织草原研学活动，让学生互相赠送研学纪念徽章作为留念。若全班共送出徽章56枚，设该班有x人，根据题意可列方程得(    ) A. B. C. D. 5.如图，直线被直线所截，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，平分交于点，且，若，，则为(    ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.在一次体育模拟考试中，某班个同学的跳绳成绩单位：次分如下：，，，，，，则这组数据的中位数是          ． 10.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为     11.如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是          ． 12.我国魏晋时期数学家刘徽在为九章算术作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点若，则图中阴影部分的面积为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题分（原创试题） 某中学组织学生参与内蒙古特色研学社团活动，为有序开展此项工作，学校对学生最喜欢的研学社团类别进行了调查，设置了草原文化类、科技创新类、社会实践类、非遗体验类（以下分别用A，B，C、D表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图。请根据以上信息，解答下列问题： 本次参加抽样调查的学生有______，扇形统计图中部分圆心角的度数为______； 将条形统计图补充完整； 甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 15.本小题分（原创试题） 内蒙古博物院推出的非遗文创产品深受游客喜爱，某网店上架了蒙古娃娃、敖包摆件两种文创玩偶。若购买3个蒙古娃娃玩偶和2个敖包摆件共花费140元，且购买一个蒙古娃娃玩偶比购买一个敖包摆件多花5元。 (1) 购买一个蒙古娃娃玩偶、一个敖包摆件各需多少元？ (2) 若某商店计划购买蒙古娃娃玩偶和敖包摆件共50个，总费用不超过1400元，则最多可以买多少个蒙古娃娃玩偶？ 16.本小题分 如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，． 求证：是的切线； 若，求证：； 在的条件下，若的半径为，求图中阴影部分的面积． 17.本小题分（原创试题） 那达慕大会会场要修建一个截面为抛物线形的拱门，其最大高度为4.5m，宽度为6米，现以地面为x轴建立平面直角坐标系。 (1) 求这条抛物线的函数表达式； (2) 如图所示，会场想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？ (3) 为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”ABCD（由四根木杆AB-BC-CD-DA组成），使B，C两点在抛物线上，A，D两点在地面上，请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？ 18.本小题分 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 观察猜想 如图，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______ ； 类比探究 如图，当为钝角时，请依据题意补全图形无需尺规作图，并判断中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； 拓展应用 当时，若，请求出的值，此时的度数为多少？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $